পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

১ম পাত্রে মোট বল = ৫ টি
২য় পাত্রে মোট বল = ৭ টি
১ম ও ২য় পাত্রে বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫)×(৩/৭) = ৬/৩৫
১ম ও ২য় পাত্রে বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৫)×(৪/৭) = ১২/৩৫
∴ বল একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা = (৬/৩৫)+(১২/৩৫) = ১৮/৩৫

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
গড় = (২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯)/৮ = ৯.৬২

প্রশ্ন: ১১, ১২, ১৩, ১৪, ৭, ৮, ৯, ১০, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে, পদ সংখ্যা = ১০
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০ +  ১৫ + ১৬​ = ১১৫

∴ গড় = ১১৫/১০ = ১১.৫

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা (নমুনা বিন্দু) হবে: 2³ = 8 টি।
মোট নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার অনুকূল ঘটনা বলতে বোঝায় যেখানে কোনো হেড নেই (0 Head) অথবা একটি হেড আছে (1 Head)।

অনুকূল ঘটনাগুলো হলো:
0 Head: {TTT}
1 Head: {HTT, THT, TTH}
মোট অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 1 + 3 = 4 টি।

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 4/8
= 1/2

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

এগুলো হলো: (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6) (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা = 3/12
= 1/4

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

মোট কার্ড সংখ্যা = ৫২ টি, রাজা = ৪টি, রানী = ৪টি, টেক্কা = ৪টি
∴ কার্ডটি রাজা বা রানী বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪ + ৪ + ৪) / ৫২
= ১২/৫২
= ৩/১৩

এক প্যাকেট তাসে ৫২ টি তাস থাকে এবং এর মধ্যা রাজা থাকে ৪ টি।
সুতরাং ১ টি তাস নিলে সেটা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৪/৫২ বা ১/১৩।

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 4 টি
যথা, HH, HT, TH, TT
একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2
দ্বিতীয়বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2

∴ উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = (1/2) × (1/2)
= 1/4
= 0.25

নমুনাক্ষেত্র
মোট নমুনাবিন্দু = 36
দু'টি সংখ্যার গড় 3 এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = 5
∴ সম্ভাবনা = 5/36

প্রশ্ন: P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P(A) = 0.5 = 1/2
এবং P(B) = 0.8 = 8/10 = 4/5

আমরা জানি,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/2) × (4/5)
= 2/5

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/5)/(1/2)
= (2/5) × (2/1)
= 4/5

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলে কার্ডটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট তাস থাকে = ৫২ টি 

৫২ টি তাসে রাজা বা রাণীর সংখ্যা = (৪ + ৪) টি = ৮ টি 

∴ তাসটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৫২ = ২/১৩ 

প্রশ্ন: 5, 7, 9 এবং 15 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
গড়, x̄ = (5 + 7 + 9 + 15)/4
= 36 / 4
= 9

গড় বিচ্যুতি, MD = Σ|x_i - x̄|/n
= (|5 - 9| + |7 - 9| + |9 - 9| + |15 - 9|)/4
= (4 + 2 + 0 + 6)/4
= 12/4
= 3

∴ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি = 3

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান:
১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪২০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০} = মোট ২০টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২০/৪২০
= ১/২১

প্রশ্ন: 4, 16 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ 4, 16 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 16 × 64)^1/3
= (2² × 2⁴ × 2⁶)^1/3
= (2¹²)^1/3
= 2⁴
= 16

১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে মোট নম্বর = ৭০ x ১০০ = ৭০০০
৪০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ৪০ x ৬২.৫ = ২৫০০
তাহলে, ৬০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = ৭০০০ – ২৫০০ = ৪৫০০
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ৪৫০০/৬০ = ৭৫

প্রশ্ন: বাংলা বর্ণমালায় থেকে এলোমেলো ভাবে একটা বর্ণ বেছে নিলে সেটা ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বাংলা বর্ণমালায় মোট বর্ণ = ৫০টা
যেখানে, স্বরবর্ণ = ১১টা এবং ব্যঞ্জনবর্ণ = ৩৯টা

∴ ব্যঞ্জনবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৩৯/৫০
∴ ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩৯/৫০)
= (৫০ - ৩৯)/৫০  
= ১১/৫০

সুতরাং, ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা ১১/৫০। 

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৯ এবং ঢাকা থেকে বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৩/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৯
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৯)
= ৪/৯

 ঢাকা থেকে বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ৩/৮

 ∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৮)
= ১২/৭২
= ১/৬

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

মোট নমুনা বিন্দু = ৬, ২ থেকে বড় সংখ্যার অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ৪
∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা

এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ

সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২ = ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩) = (১৩ - ১)/১৩= ১২/১৩