পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হচ্ছে - গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: একটি সভায় 5 জন মহিলা এবং 5 জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে 3 জন প্রার্থী নির্বাচন করলে 3 জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট ব্যক্তি = 5 + 5 = 10 জন 
∴ 5 জন মহিলা থেকে 3 জন নির্বাচন করার উপায় = ⁵C₃ = 5!/(3! × 2!) = 10
∴ 10 জন লোক থেকে 3 জন নির্বাচন করার উপায় = ¹⁰C₃ = 10!/(3! × 7!) = 120

∴ সম্ভাবনা = 10/120 = 1/12

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে দুইটিই ছয় উঠার সম্ভাভনা কত?

সমাধান:
যখন দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়, তখন মোট 36টি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, কারণ প্রথম ছক্কার জন্য 6 টি (1 থেকে 6) এবং দ্বিতীয় ছক্কার জন্যও 6 টি (1 থেকে 6) সম্ভাবনা রয়েছে। তাই, মোট সম্ভব ফলাফল হবে = 6 × 6 = 36
এখন, দুটি ছক্কায় দুইটি ছয় (6, 6) ওঠার একমাত্র একটি ফলাফল রয়েছে।

এখানে,
A = ১ম বার ৬
B = ২য় বার ৬

তাই,
P(দুইবারই ৬) = (১/৬) × (১/৬) = ১/৩৬

L = প্রচুরক শ্রেণীর নিম্নসীমা = 48
f₁ = 25 - 18
= 7
f₂ = 25 - 8
= 17
d = শ্রেণী ব্যবধান = 6
প্রচুরক = L + f₁/(f₁ + f₂)× d
= 48 + 7/(7 + 17) × 6
= 48 + 7/24 × 6 
= 48 + 42/24
= 48 + 1.75
= 49.75

প্রশ্ন:  ১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত অর্থাৎ:
১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭

মোট সংখ্যা = ২৭ - ১৩ + ১ = ১৫টি সংখ্যা

ক্রমিক সংখ্যা গড় = (প্রথম সংখ্যা + শেষে সংখ্যা)/২
= (১৩ + ২৭)/২
= ৪০/২
= ২০

∴ক্রমিক সংখ্যা গড় = ২০  

একজন লোকের ঢাকা হতে খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 5/7 এবং খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 3/5
∴ খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (1 - 3/5) = 2/5
∴ লোকটি খুলনায় বাসে ও রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = 5/7 × 2/5 = 2/7

প্রশ্ন: ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড়, ৩, ৮, ১০ ও ১৪ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৩ + ৭ + ৯ + ১৫ + ২১)/৫ = (৩ + ৮ + ১০ + ১৪ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫/৫ = (৩৫ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫ = ৩৫ + ক
⇒ ক = ৫৫ - ৩৫
∴ ক = ২০ 

∴ ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড় = ৩, ৮, ১০, ১৪ ও ২০ এর গাণিতিক গড়।

মোট নমুনা ক্ষেত্র ১২ টি
মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা এর নমুনা ক্ষেত্র = {২H, ৪H, ৬H} = ৩ টি
∴মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১২ = ১/৪

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালের মে মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৪ = ৩ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৩/৭

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার টিকিটগুলো মিশিয়ে একটি টিকিট দৈবচয়নে তোলা হলো। তোলা টিকিটটির সংখ্যা যদি 4 অথবা 6-এর গুণিতক হয়, তবে সেই টিকিট তোলার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
4-এর গুণিতক = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} (7টি সংখ্যা)
6-এর গুণিতক = {6, 12, 18, 24, 30} (5টি সংখ্যা)
কমন সংখ্যা = {12, 24} (2টি সংখ্যা)
∴ n(E) = 7 + 5 - 2 = 10

আমরা জানি,
P(E) = n(E)/n(S)
= 10/30
= 1/3

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/৪ + ১/২ + ৩/৪
= (১+২+৩)/৪
= ৬/৪
= ৩/২
সুতরাং সংখ্যাগুলোর গড় = ৩/২ ÷ ৩
= ৩/২ × ১/৩
= ১/২

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার, 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 70
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (70 × 120) = 8400

এখন, ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।
∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8400)
= 4600
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4600/80
= 57.5

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3; A ও B স্বাধীন হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 2/3 

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হবে 2³= 8টি।

নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}

∴ অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 7টি।

∴ কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
= 7/8

30, 40 এর গড় = (30 + 40)/2
= 35
∴ গড় ব্যবধান = {।30 - 35। + ।40 - 35।}/2
= (5 + 5)/2
=10/2
= 5

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
= 11 টি।
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11, 13, 17, 19
আবার, 10 থেকে 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 10, 15, 20

মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (4 + 3) টি
= 7টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 7/11 

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল ৬ পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 6), (3, 2), (2, 3), (6, 1)} = 4 টি

∴ গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/36
= 1/9

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে ২ টি H (Head) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হবে:
= HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি 

এর মধ্যে কমপক্ষে ২ টি Head আসলে অনুকূল ফলাফল হয় = HHH, HHT,HTH THH অর্থাৎ ৪ টি 

∴ মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে ২ টি Head আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২

মোট লটারি ৫৭০টি। সাইফুলের ক্রয়কৃত টিকেট ১৫টি। সাইফুলের প্রথম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = ১৫/৫৭০
= ১/৩৮.

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় কেবলমাত্র দুইটি হেড (H) এবং একটি টেইল (T) আসার প্রতিকূলে সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা n(S) = 8

কেবলমাত্র দুইটি হেড ও একটি টেল আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো:
{HHT, HTH, THH}

∴ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = 3

∴ ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S) = 3/8

আমরা জানি,
কোনো ঘটনা প্রতিকূলে অর্থাৎ, না ঘটার সম্ভাবনা: P(A') = 1 - P(A)
= 1 - 3/8
= 5/8

প্রশ্ন: তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ঠিক দুটি হেড (H) আসার সম্ভাবনা শতকরা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে, প্রতিটি মুদ্রার দুটি সম্ভাব্য ফলাফল আছে: হেড (H) অথবা টেল (T)।
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮টি
সবগুলো সম্ভাব্য ফলাফল হলো, {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখন ঠিক দুটি হেড (অর্থাৎ দুটি H এবং একটি T) আসার ক্ষেত্রগুলো হলো = {HHT, HTH, THH}
অর্থাৎ অনুকূল ফলাফল = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল = ৩/৮

∴ শতকরা হিসাবে = (৩/৮) × ১০০ = ৩৭.৫%

প্রথমটিতে head আসার সম্ভাব্যতা ½. দ্বিতীয়টিতে tail আসার সম্ভাব্যতা ½.
দুইটিতে একত্রে head এবং tail আসার সম্ভাব্যতা ½ × ½ = ¼ .

একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা = 2, 4, 6 এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা এমন সংখ্যা = 2, 3, 4, 6.
সুতরাং জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৪০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

 সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৮
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

 ∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ১৮) + ১
= ৩২ + ১
 = ৩৩

প্রশ্ন: PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি letter নিলে, বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট letter আছে ১১ টি
Vowel আছে (O, A, I, I)  ৪টি
বাকী (১১ - ৪) = ৭টি consonant 

বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা  = ৭/১১

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 4 অথবা 4 এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা শতকরা কত? 

সমাধান: 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল 6টি। যথা, 1, 2, 3, 4, 5, 6

আবার, 
4 অথবা 4-এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা
অর্থাৎ, 4, 5 অথবা 6 আসার সম্ভাবনা
অনুকূল ফলাফল = 3টি 

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= 3/6
= 1/2

∴ শতকরা হিসাবে = (1/2) × 100% = 50%

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

• 1 থেকে 81 পর্যন্ত বর্গসংখ্যা 9টি এবং মোট সংখ্যা 81টি।
• সুতরাং একটি সংখ্যা দৈবচয়ন করা হলে, বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 9/81 = 1/9।

30 থেকে 40 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা = 31, 37
এবং 3 এর গুণিতক = 30, 33, 36, 39
∴ মৌলিক অথবা 3 এর গুণিতক সংখ্যা মোট = 6 টি
∴ সম্ভাবনা = 6/11

৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০
৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩
১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৪৩
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০
= ৩৪.৩

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HH, HT, TH, TT} = ৪ টি নমুনা বিন্দু
১ম মুদ্রায় টেল এবং ২য় মুদ্রায় হেড এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ১ টি
∴ সম্ভাবনা = ১/৪

প্রশ্ন: P(A) = 1/5, P(B) = 1/2 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/5, P(B) = 1/2

আমরা জানি, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........(১)

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

এখন (১) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - {P(A) × P(B)}
= (1/5) + (1/2) - {(1/5) × (1/2)}
= {(2 + 5)/10} - (1/10)
= (7/10) - (1/10)
= (7 - 1)/10
= 6/10
= 3/5

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
∴ n(A) = 6
মৌলিক সংখ্যার অনুকূলে নমূনা বিন্দু = {2, 3}
∴ সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3