পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= 8 টি
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, কমপক্ষে একটি T আছে {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} ৭টিতে।
সুতরাং কমপক্ষে একটি T আসার সম্ভাবনা = 7/8।

Question: A box contains 5 red cubes, 3 black cubes, and 8 white cubes. Two cubes are drawn one after another without replacement. What is the probability that both cubes drawn are not red and not white?

Solution:
Given,
Red cubes = 5
Black cubes = 3
White cubes = 8
Total cubes = 5 + 3 + 8 =16

We have to find = both cubes drawn sequentially are black

Probability of first black cube:
P(first black) = 3/16

Probability of second black cube:
P(second black ∣ first black) = 2/15 [black cube= 2, total cube= 15]

Probability of both black cubes:
P(both black) = 3/16 × 2/15
= 6/240
= 1/40

∴ Probability of both cubes are not red and not white is 1/40

প্রশ্ন: 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা= 10টি 
29 থেকে 38 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 29, 31, 37 = 3টি 

মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা =3/10

প্রশ্ন: ১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 

এখানে,
২ আছে ৪ বার এবং ৩ আছে ২ বার
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2015 সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 5 দিন।

বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/7)
=(7 - 5)/7
= 2/7

১, ২, ৩ সংখ্যাগুলোর গড় = ২
∴ পরিমিতি ব্যবধান = √[{(২-১)^২ + (২-২)^২ + (২-৩)^২}/৩]
= √(২/৩)

প্রশ্ন: P(A ∩ B) = 1/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A) = 1/4 হলে, P(B) = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
P(A ∩ B) = 1/3
P(A ∪ B) = 5/6
P(A) = 1/4

আমরা জানি,    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
বা, P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
1/3 = (1/4) + P(B) - (5/6)
P(B) = (1/3) - (1/4) + (5/6)
P(B) = (4  - 3 + 10)/12
P(B) = 11/12

n(S) = number of ways of sitting 12 persons at round table:
= (12 - 1)! = 11!
Since two persons will be always together, then number of persons:
= 10 + 1 = 11
So, 11 persons will be seated in (11 - 1)! = 10! ways at round table and 2 particular persons will be seated in 2! ways.
n(A) = The number of ways in which two persons always sit together = 10! × 2
P(A) = n(A)/n(S) = (10!×2!) / 11! = 2/11

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 9 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 9

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/9
= 7

বাক্সে,
সবুজ মার্বেল সংখ্যা = 4 টি
বেগুনী মার্বেল সংখ্যা = 12 টি
মোট মার্বেল সংখ্যা = 20 টি
3 টি মার্বেল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁸c₃ + ¹²c₃)/²⁰C₃
= 276/1140
= 23/95

প্রশ্ন: 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গনিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থীকে দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে তার কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি,
গনিতে ফেল করার ঘটনা = A
∴ P(A) = 40/200 = 1/5

পরিসংখ্যানে ফেল করার ঘটনা = B
∴ P(B) = 20/200 = 1/10

উভয় বিষয়ে ফেল করার ঘটনা = P(A ∩ B) = 10/200 = 1/20

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = P(A' ∩ B) + P(A ∩ B')
= P(B) - P(A ∩ B) + P(A) - P(A ∩ B)
= (1/10) - (1/20) + (1/5) - (1/20)
= (2 - 1 + 4 - 1)/20
= 4/20
= 1/5

বিকল্প:
শুধু গনিতে ফেল করে = (40 - 10) জন = 30 জন
শুধু পরিসংখ্যানে ফেল করে = (20 - 10) জন = 10 জন

কেবল এক বিষয়ে ফেল করে = 30 + 10 
= 40 জন

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = 40/200 = 1/5

মোট বল = ৭ + ৪ + ৯ = ২০ টি
একটি বল তুললে বলটি কমলা হবার সম্ভাবনা ৪/২০
আবার, একটি বল তুললে বলটি সবুজ হবার সম্ভাবনা ৯/২০
ঘটনা দুটি পরষ্পর বর্জনশীল।
এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা = ৪/২০ + ৯/২০ = ১৩/২০

ছক্কায় মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = মোট 6 টি
জোড় মৌলিক সংখ্যা = {2} = মোট 1 টি
∴ সম্ভাবনা = 1/6

প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭ এবং ক এর গড় মান ৫.৫ হলে ক-এর মান কত? 

সমাধান: 
(৪ + ৬ + ৭ + ক)/৪ = ৫.৫ 
বা, (১৭ + ক)/৪ = ৫.৫ 
বা, ১৭ + ক = ৫.৫ × ৪ 
বা, ১৭ + ক = ২২ 
বা, ক = ২২ - ১৭ 
∴ ক = ৫ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলির মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো:
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১
মোট সংখ্যা = ৭ 

মোট সংখ্যা বিজোড় হওয়ায় মধ্যক হবে মধ্যবর্তী সংখ্যা, অর্থাৎ ৪র্থ সংখ্যা।
∴ মধ্যক = ১২

৫ম সংখ্যা = ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি - (১ম ৪ টির সমষ্টি + শেষ ৫ টির সমষ্টি)
= ৫৬২ - (৪ × ৫২ + ৫ × ৩৮)
= ১৬৪

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করা হলো। তাদের সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬টি
আমরা চাই সমষ্টি ≥ ১১ অর্থাৎ ১১ অথবা ১২

যেসব জোড়ার সমষ্টি ১১ বা ১২ হয়,
সমষ্টি = ১১ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৫, ৬), (৬, ৫) = ২টি ফলাফল
এবং সমষ্টি = ১২ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৬, ৬) = ১টি ফলাফল

∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ২ + ১ = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ৩/৩৬
= ১/১২

সুতরাং, সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা = ১/১২

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3, P(B) = 2/5 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(A|B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

আমরা জানি, স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
এবং শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র হলো P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

এখন,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/3) × (2/5)
= 2/15

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/(2 + 6 + 7)
= 6/15
= 2/5
লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1-(2/5)
= 3/5

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, প্রাপ্ত সংখ্যার গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬

এখন, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসে।
জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬ = মোট ৩টি এবং বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = মোট ৩টি

গুণফল জোড় হবে না শুধুমাত্র যখন দুটি ছক্কাতেই বিজোড় সংখ্যা আসবে।
দুটি ছক্কায় বিজোড়-বিজোড় আসার সম্ভাব্য ফলাফল, 
(১, ১), (১, ৩), (১, ৫), (৩, ১), (৩, ৩), (৩, ৫), (৫, ১), (৫, ৩), (৫, ৫) = ৯টি
অর্থাৎ,
গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৯/৩৬ = ১/৪

∴ গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ - (গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা)
= ১ - (১/৪)
= ৩/৪

সুতরাং, গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৩/৪

প্রশ্ন: 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 4 বার।
3 আছে 2 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 2 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (4 বার),
∴ 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 2

বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য = ২, ৪, ৬
বিজোড় সংখ্যা অথবা ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ={১, ৩, ৫} ∪ {২, ৪, ৬}
= {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
একটি ছক্কার নমুনা বিন্দু = ৬
সম্ভাব্যতা = ৬/৬ = ১

ধরি,
সংখ্যাটি a,
∴ (৬ + ৮ + ১০)/৩ = (৭ + ৯ + a)/৩
বা, ১৬ + a = ২৪
বা, a = ৮

100 জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = 75 × 100 = 7500
60 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = 60 × 71 = 4260
∴ 40 জন ছাত্রের মোট নম্বর = 7500 - 4260 = 3240
40 জন ছাত্রের গড় নম্বর = 3240/40 = 81

প্রশ্ন: A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(A) = 1/4, P(B) = 2/7 হলে, P(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P(A) = 1/4 এবং P(B) = 2/7

আমরা জানি, 
A ও B স্বাধীন ঘটনা হলে, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
∴ P(A ∩ B) = (1/4) × (2/7)
= (1 × 2)/(4 × 7)
= 2/28
= 1/14

∴ P(A ∩ B) = 1/14

এখানে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫১ = ২৫৫
শেষের ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪ × ৪৭ = ১৮৮
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৫৩৩ - (২৫৫ + ১৮৮)
= ৫৩৩ - ৪৪৩
= ৯০

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা = 30টি
এখন, কোনো সংখ্যা 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হলে তা তাদের লসাগু -এরও গুণিতক হবে।
2 এবং 5 এর ল.সা.গু. হলো 10।

1 থেকে 30 পর্যন্ত 10-এর গুণিতকগুলো হলো = 10, 20 এবং 30।
∴ মোট অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা = 3টি

একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

এখানে, অনুকূল ফলাফল (10-এর গুণিতক) = 3
মোট সম্ভাব্য ফলাফল (মোট সংখ্যা) = 30

∴ 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/30 = 1/10

52 টি তাসের মধ্য রুইতনের তেক্কা আছে 1 টা।
∴তাসটি রুইতনের টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 1/52