পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

সেপ্টেম্বর মাসের দিন সংখ্যা ৩০ দিন।
৫ দিন বৃষ্টি হয়ে থাকলে যে কোন একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৫/৩০ = ১/৬
অর্থাৎ, ১৭ তারিখ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা ১/৬

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

প্রশ্ন: 40 থেকে 50 এর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
40 থেকে 50 এর মধ্যে সংখ্যা আছে = 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 = 9টি 
কারণ, 40 থেকে 50 এর মধ্যে উল্লেখ থাকায় 40 এবং 50 বাদ যাবে। 

এবং 40 থেকে 50 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো: 41, 43, 47 = 3টি 
∴ সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা)/(মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা) = 3/9 = 1/3
----------------------------
প্রশ্ন: 40 থেকে 50 পর্যন্ত একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
40 থেকে 50 পর্যন্ত বলতে সাধারণত 40 থেকে 50 সহ সব স্বাভাবিক সংখ্যা বোঝায়।
অর্থাৎ সংখ্যাগুলো হলো: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50
∴ মোট সংখ্যা = 11টি

∴ 40 থেকে 50 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো: 41, 43, 47 = 3টি

∴ সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা)/(মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা)
= 3/11

সুতরাং, 40 থেকে 50 পর্যন্ত একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা = 3/11.

প্রশ্নের ভাষাগত ইস্যু আছে। প্রশ্নের ভাষা অনুযায়ী সঠিক উত্তর হয় = 1/3 কিন্তু অপশনে 1/3 অনুপস্থিত। 
অপশনে 1/3 না থাকায়, অপশন (ক) 3/11 কে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
সুতরাং, মোট ফলাফল সংখ্যা = 6টি

জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = {2, 4, 6}
সুতরাং, অনুকূল ঘটনা= 3টি

∴ জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ফলাফল সংখ্যা
= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৪টি লাল, ৫টি সবুজ ও ৬টি নীল বল আছে। একটি বল তোলা হলে, বলটি লাল অথবা নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
এবং লাল বা নীল বল পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = লাল বলের সংখ্যা + নীল বলের সংখ্যা
= ৪ + ৬ = ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা​/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= ১০/১৫
= ২/৩

প্রশ্ন: ২১, ২৩, ২৭, ৭, ১১, ১২, ৭, ৮, ১৪ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ও মধ্যক যথাক্রমে-

সমাধান:
প্রচূরক = সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত উপাত্ত = ৭ যা দুইবার রয়েছে।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: ৭, ৭, ৮, ১১, ১২, ১৪, ২১, ২৩, ২৭
এখানে উপাত্তের সংখ্যা n = ৯, যা একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ম পদ

∴ ৫ম পদ হলো ১২

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি রাজা (King) হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা (মোট তাস) = ৫২ টি
মোট রাজা (King) এর অনুকূল ঘটনা = ৪ টি (প্রতিটি রঙের 1টি করে)
∴ তাসটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনার সংখ্যা
= ৪/৫২ 
= ১/১৩  

প্রশ্ন: ১১, ২৫, ১৮, ৯, ২১, ৩৩, ৬, ২৪ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই: ৬, ৯, ১১, ১৮, ২১, ২৪, ২৫, ৩৩

যেহেতু মোট উপাত্ত আছে ৮টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(৮/২) তম পদ + {(৮/২) + ১} তম পদ]/২
= (৪র্থ পদ + ৫ম পদ)/২
= (১৮ + ২১)/২
= ৩৯/২
= ১৯.৫

∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো = ১৯.৫

থলেতে,
লাল বল আছে 6টি
সাদা বল আছে 8টি
মোট বল আছে 14টি
প্রতিবার 2টি ভিন্ন রংয়ের বল পাওয়ার সম্ভাবনা = (⁶c₁ × ⁸c₁)/¹⁴c₂
= (6 × 8)/91
= 48/91

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 30 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60

সমাধান:

18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60
এখানে মোট ৯টি উপাত্ত রয়েছে যা বিজোড় সংখ্যক।
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ তম পদ

∴ মধ্যক = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + 6 = 30
∴ x = 24

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৬০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৪০, ৬০ এর গড় = (৪০ + ৬০)/২
= ৫০

∴ গড় ব্যবধান = {।৪০ - ৫০। + ।৬০ - ৫০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২টি নীল কলম, ১৮টি কালো কলম এবং ১০টি লাল কলম আছে। দৈবভাবে একটি কলম তোলা হলে কলমটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট কলম সংখ্যা = ১২ + ১৮ + ১০ = ৪০

কালো কলমের সংখ্যা = ১৮
∴ কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৪০ = ৯/২০

∴ কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৯/২০)
= (২০ - ৯)/২০
= ১১/২০

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৬ টি।
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ মোট ঘটনা সংখ্যা, n(S) = 6

এখন, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলো হলো: 1, 2
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 2

∴ সম্ভাবনা, P(A) = (অনুকূল ঘটনা সংখ্যা)/(মোট ঘটনা সংখ্যা)
= n(A)/n(S)
= 2/6
= 1/3

মনে করুন,
A = অংকটি সন্ধি সমাধান করতে পারে
B = অংকটি সৌম্য সমাধান করতে পারে।
P(A) = ৬০% = ০.৬০ সন্ধির অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
P(B) = ৫০% = ০.৫০ সৌম্যর অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
সন্ধি অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(A) = ১ - ০.৬০ = ০.৪০
সৌম্যর অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(B) = ১ - ০.৫০ = ০.৫০
এখানে,
A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন তাই সন্ধি ও সৌম্যের উভয়ই অংকটি সমাধান না করতে পারার সম্ভাবনা = ০.৪০ X ০.৫০ = ০.২০

মোট তাস = ৫২ টি,
টেক্কা = ৪টি
∴ সম্ভাবনা = ^৪c_৩/^৫২c_৩
= ৪/২২১০০
= ১/৫৫২৫

প্রশ্ন: একটি বক্সের মধ্যে যথাক্রমে ৬ টি লাল কলম, ৮ টি সবুজ কলম ও ১০ টি নীল কলম আছে। ঐ থলি হতে দৈবভাবে একটি কলম তোলা হলে তা নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট কলম সংখ্যা = (৬ + ৮ + ১০) টি = ২৪ টি 
​নীল কলম = ১০ টি 
​
​কলমটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২৪ = ৫/১২ 
​
​∴ কলমটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/১২) 
​= (১২ - ৫)/১২ 
​= ৭/১২ 
​
​বিকল্প:
​নীল না হওয়ার অর্থ হলো কলমটি হবে লাল বা সবুজ।
​লাল ও সবুজ কলম = ১৪ টি 
​
​নির্ণেয় সম্ভাবনা = ১৪/২৪ = ৭/১২ 

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুণফল ১২ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপে মোট ঘটনা = ৬^২ = ৩৬ টি
দুটির সংখ্যার গুণফল ১২ হওয়ার অনুকূল ঘটনা = (৬, ২), (২, ৬), (৩, ৪), (৪, ৩)  = ৪ টি

∴ সম্ভাবনা = ৪/৩৬
= ১/৯

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে=HH, HT, TH, TT
কমপক্ষে একটি H আসার এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনার = 3/4

প্রশ্ন: একটি থলিতে ১২টি নীল বল, ১৪টি সাদা বল এবং ২২টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
থলিতে মোট বল আছে = (১২ + ১৪ + ২২) টি 
= ৪৮টি
∴ নীল বল উঠার সম্ভাবনা = ১২/৪৮
= ১/৪

∴ নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = (১ - ১/৪)
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪

প্রশ্ন: ৭, ১১, ১৫, ১৯ সংখ্যার গাণিতিক গড় ৯, ১২, ১৫ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
ধরি সংখ্যা = ক 

প্রশ্নমতে, 
(৭ + ১১ + ১৫ + ১৯)/৪ = (৯ + ১২ + ১৫ + ক)/৪ 
⇒ ৫২/৪ = (৩৬ + ক)/৪ 
⇒ ৩৬ + ক = ৫২ 
⇒ ক = ৫২ - ৩৬ 
∴ ক = ১৬ 

সুতরাং, ৭, ১১, ১৫, ১৯ এর গাণিতিক গড় = ৯, ১২, ১৫, ১৬ এর গাণিতিক গড়

মোট সংখ্যা = 6টি
4 থেকে বড় নয় এরুপ সংখ্যা = 4টি
∴ সম্ভবনা = 4/6 = 2/3

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
∴ পরিসর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= ১৯ - ২
= ১৭

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 5 অথবা তার থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6 টি
নমুনা ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

এখন,
5 বা তার থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = 5, 6
= 2 টি সংখ্যা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 2/6
= 1/3

প্রশ্ন: 2, 5, 8, 9 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে,
তথ্য সংখ্যা, n = 4
∴ গাণিতিক গড় (x̄) = (2 + 5 + 8 + 9)/4
= 24 / 4
= 6

আমরা জানি, ভেদাঙ্ক (σ²) = Σ(x_i - x̄)²/n

∴ ভেদাঙ্ক = {(2 - 6)² + (5 - 6)² + (8 - 6)² + (9 - 6)²}/4
= {(- 4)² + (- 1)² + (2)² + (3)²}/4
= (16 + 1 + 4 + 9)/4
= 30/4
= 7.5

∴ তথ্যসারিটির ভেদাঙ্ক = 7.5

একটি ছক্কা ৩ বার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে ৬^৩ বা ২১৬টি
প্রতিবারে একই সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ৬ টি।
(১, ১, ১), (২, ২, ২), (৩, ৩, ৩), (৪, ৪, ৪), (৫, ৫, ৫) ও (৬, ৬, ৬)
সুতরাং নির্ণেয় একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = ৬/২১৬
= ১/৩৬

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মোট সংখ্যা = ৮০

এখন, বর্গ সংখ্যা (Perfect Square) হবে-
১^২ , ২^২, ৩^২, ৪^২, ৫^২, ৬^২, ৭^২, ৮^২.......- এভাবে যতক্ষণ না বর্গফল ≤ ৮০ হয়।

অতএব, বর্গ সংখ্যা আছে মোট ৮ টি

অতএব, সংখ্যাটি বর্গ হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / সম্ভাব্য মোট ফলাফল
= ৮/৮০ 
= ১/১০

সুতরাং, সংখ্যাটি বর্গ হওয়ার সম্ভাবনা ১/১০ 

প্রশ্ন: অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের টেলিফোনগুলো ছয় অংকবিশিষ্ট যার প্রথম স্থানে 7 এবং দ্বিতীয় স্থানে 1 আছে। ফোন ডায়ালের জন্য 0 থেকে 9 ব্যবহার করে মোট কতটি টেলিফোন সংযোগ দেওয়া সম্ভব?

সমাধান:
মোট ৬ অংকের টেলিফোন নম্বর।
প্রথম অংক = 7
দ্বিতীয় অংক = 1
অতএব, প্রথম দুইটি অংক স্থির (৭ ও ১)।
বাকি থাকে 6 - 2 = 4 

প্রতিটি বাকি অংক ০ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে — অর্থাৎ প্রতিটি স্থানে ১০টি সম্ভাবনা।

সুতরাং, সম্ভাব্য টেলিফোন নম্বরের সংখ্যা:
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴

মধ্যমা = (৯৯+১)/২
= ৫০

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক
= {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২
= ২১.৫