পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

সংখ্যা দু'টির গড় = -30 -40/2
= -35
∴ গড় ব্যবধান = {|-30 - (-35)| + |-40 - (-35)|}/2
= |5| + |-5|/2
= 10/2
= 5

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ৩ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০ = ১০  টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২০ = ১/২ 
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/১৯
∴ তৃতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৮ = ৪/৯ 

∴ ৩ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (১/২) × (৯/১৯) × (৪/৯) 
= ২/১৯ 

সুতরাং, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ২/১৯। 

(৪০ + ১০) = ৫০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৫০ × ১৫·২) = ৭৬০ বছর
৪০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ১৫) = ৬০০ বছর
∴ নতুন ১০ জনের বয়সের গড় = ১৬০/১০ = ১৬ বছর

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে ২৫ জন ছাত্রের মধ্যে ১২ জন জীববিজ্ঞান এবং ৭ জন জীববিজ্ঞান ও উচ্চতর গণিত উভয় বিষয় নিয়েছে। ২ জন ছাত্র কোনো বিষয় নেয়নি। কতজন ছাত্র শুধু  উচ্চতর গণিত নিয়েছে?

সমাধান:

কোনো বিষয় নেয়নি = ২ জন 
উভয় বিষয় নিয়েছে = ৭ জন
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (১২ - ৭) জন = ৫ জন 
ধরি,
শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে = x জন

প্রশ্নমতে,
৫ + x + ৭ + ২ = ২৫
⇒ ১৪ + x = ২৫
⇒ x = ২৫ - ১৪
⇒ x = ১১

অর্থাৎ ১১ জন ছাত্র শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে। 

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪

প্রশ্ন: 1 থেকে 15 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 15 
আবার, 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 6 টি 
যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13 

∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা 
= 6/15 
= 2/5

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = 5 + 7 + 3 = 15

নীল অথবা লাল না অর্থাৎ সাদা বল আছে = 3 টি
∴ নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভবনা অর্থাৎ সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/15
= 1/5

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো এবং প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি 10। 5 সংখ্যাটি অন্তত একবার পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো
প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = 10
এখন,
সমষ্টি 10 হওয়ার সম্ভাব্য জোড়াসমূহ (প্রথম ছক্কা, দ্বিতীয় ছক্কা), (4, 6), (5, 5), (6, 4)
∴ মোট ফলাফল = 3টি
এবং, অন্তত একবার 5 প্রকাশ পাওয়ার ফলাফল, 
উপরের জোড়াসমূহ থেকে শুধুমাত্র (5, 5) জোড়ায় অন্তত একটি 5 আছে।
∴ অনুকূল ফলাফল = 1টি
∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল = 1/3

প্রশ্ন: ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে।
এখানে মোট সংখ্যা = ৭টি (বিজোড় সংখ্যা)।
বিজোড় সংখ্যক ক্ষেত্রে মধ্যক = (৭+১)/২-তম সংখ্যা
= ৪র্থ সংখ্যা।
৪র্থ সংখ্যা = ১৪

∴ সঠিক উত্তর খ) ১৪

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তগুলো মধ্যক কোনটি? 
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ 

সমাধান: 
প্রদত্ত উপাত্তগুলো,
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১  

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজিয়ে পাই,
৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫ = ১১টি (বিজোড় সংখ্যক)  

আমরা জানি, 
উপাত্ত বিজোড় সংখ্যক হলে মধ্যক,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১১ + ১)/২
= ৬ তম পদ   

∴ ৬ তম পদটি হলো ১৫ 

মোট কলম = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪,
কলো নয় এমন কলম = ৮ + ১০ = ১৮টি
∴ সম্ভাবনা = ১৮/২৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = (৪০ - ২০) + ১ = ২১ টি
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ 

প্রশ্ন: একটা থলেতে 5 টি লাল, 6 টি সাদা ও 7 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
থলেতে লাল বলের সংখ্যা = 5 টি
থলেতে সাদা বলের সংখ্যা = 6 টি
থলেতে কালো বলের সংখ্যা = 7 টি

∴ থলেতে মোট বলের সংখ্যা (5 + 6 + 7) = 18 টি।
দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 18 টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে।
সুতরাং মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 18।

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 7/18 

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (7/18) = (18 - 7)/18
= 11/18

মধ্যমার সংজ্ঞানুসারে।

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 1/3; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত?

সমাধান:
X ও Y স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y)
= (2/5) × (1/3)
= 2/15

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X)
= (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

মোট তাস = 52টি
ইস্কাপন = 13টি
∴ 2টি তাস নিলে তা ইস্কাপন হওয়ার সম্ভাবনা = ¹³c₂/⁵²c₂
= 78/1326
= 1/17

প্রশ্ন: P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/4
P(B) = 1/3

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 1/4 × 1/3
= 1/12

আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 1/4 + 1/3 - 1/12
= (3 + 4 - 1)/12
= 6/12
= 1/2

∴ P(A ∪ B) = 1/2

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে লাল আছে = ৭টি 
বাক্সে  কালো আছে = ৯টি 
সাদা বল আছে = ৬টি 

∴ মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি  = ২২ টি 

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১  
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২

∴ বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা  = (৩/১১) + (৭/২২)
= (৬ + ৭)/২২
= ১৩/২২

সুতরাং, বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা ১৩/২২।

মোট বল = 6 + 7 = 13
∴ একটি সাদা ও একটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (6/13 × 7/12) + (7/13 × 6/12)
= 7/(2 × 13) + 7/(2 × 13)
= 7/13

প্রশ্ন: 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো,
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় = (2 × 8 × 32)^1/3
= (2¹ × 2³ × 2⁵)^1/3
= (2^{1 + 3 + 5})^1/3
= (2⁹)^1/3
= (2)^9/3
= 2³
= 8

∴ গুণোত্তর গড় = 8

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার টেল ও ছক্কার 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান; 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি 

মুদ্রার টেল ও ছক্কার ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2T, 4T, 6T} = 3টি 

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুইটি পিঠ (H, T) এবং একটি ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6) থাকে।

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

সম্ভাব্য ঘটনাসমূহ:
(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা:
(H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট অনুকূল ঘটনা = 3

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা / মোট ঘটনা সংখ্যা
= 3/12
= 1/4

প্রশ্ন: দৈবভাবে একটি দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা বাছাই করা হলে সেটি 18 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে = 99 - 10 + 1 = 90 টি

18 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো- 18, 36, 54, 72, 90 অর্থাৎ 5 টি

∴ সম্ভাবনা = 5/90 = 1/18

1 থেকে 40 এর মধ্যে 32 এর চেয়ে বড় সংখ্যা হলো {33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40} মোট 8 টি
∴টিকিটের নম্বর 32 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = 8/40 = 1/5

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক = {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২ = ২১.৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট বল = ৮ + ৭ + ৬ = ২১টি
লাল নয় এবং সবুজও নয় 
অর্থাৎ, শুধু নীল বল। 
∴ নীল বলের সংখ্যা = ৭টি

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

∴ P(নীল বল) = ৭/২১ = ১/৩ ​