পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

মোট বল সংখ্যা (6+8+10) = 24 টি। সাদা বলের সংখ্যা 8 টি।
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাব্যতা (24-8)/24 = 18/24 = ⅔

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 
= ২/৬ 
= ১/৩ (কারণ ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ২ টি যথা ৩ ও ৬)

২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 
= ৩/৬ 
= ১/২ (কারণ ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৩ টি যথা ২, ৪ এবং ৬)

২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 
= ১/৬ (কারণ ৬ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ১ টি যথা ৬)

২ অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 
= (১/৩ + ১/২) - ১/৬
= ২/৩

প্রশ্ন: P = {x, y, z, 0, 1} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x, y, z, 0, 1} সেটের উপাদান সংখ্যা 5 টি।

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ P সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল পাবার সম্ভাব্যতা কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি, 
ছক্কার সম্ভাব্য ফলাফল- 1, 2, 3, 4, 5, 6
মুদ্রার সম্ভাব্য ফলাফল- H (হেড), T (টেল)
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা বিন্দু গুলো -
(1H), (1T), (2H), (2T), (3H), (3T), (4H), (4T), (5H), (5T), (6H), (6T)
মোট 12 নমুনাবিন্দু আছে।

এখন, 
ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল পাওয়া যায় এমন নমুনাবিন্দু মাত্র একটি (4T) পাওয়া যায়।

∴ ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল পাবার সম্ভাব্যতা = 1/12

এখানে, তিন জনের (পিতা, মাতা ও পুত্র) বয়সের সমষ্টি = ৪৩ × ৩ = ১২৯ বছর
আবার, পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = ৪৯ × ২ = ৯৮ বছর
সুতরাং পুত্রের বয়স = ১২৯ - ৯৮ = ৩১ বছর।

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ৩য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

উপাত্তসমূহে ৭ সংখ্যাটি দুইবার আছে বাকীগুলো একবার করে। সুতরাং প্রচুরক ৭।

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলো। কেবলমাত্র একটি হেড (H) এবং দুইটি টেইল (T) আসার প্রতিকূলে সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা n(S) = 8

কেবলমাত্র একটি হেড ও দুইটি টেইল আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো: {HTT, THT, TTH}
∴ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = 3

∴ ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S) = 3/8

আমরা জানি,
কোনো ঘটনা প্রতিকূলে অর্থাৎ না ঘটার সম্ভাবনা: P(A') = 1 - P(A)
= 1 - (3/8) 
= (8 - 3) / 8
= 5/8
সুতরাং, ঘটনাটির প্রতিকূলে সম্ভাবনা 5/8

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = ৩/৭

ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ২/৫

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৭) × (২/৫)
= ৬/৩৫

A × B = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)},
B × C = {(3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5)}
∴ (A × B) ∩ (B × C) = {(3, 4)}

সংখ্যাগুলোর গড় = (3 + k + 2 + 8 + m + 3)/6 = 8
বা, (m + k + 16)/6 = 4
বা, m + k + 16 = 24
∴ m + k = 8
= 1 + 7
= 2 + 6
= 3 + 5
m, k এর ১ম সম্ভাব্যমান নিয়ে পাই,
3, 1, 2, 8, 7, 3
= 1, 2, 3, 3, 7, 8 ; মোট 6 টি উপাত্ত
∴ মধ্যক = (3 + 3)/2
= 3

প্রশ্ন: P(A) = 1/8 এবং P(B) = 3/4; A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/8) × (3/4)
= 3/32

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/32)/(1/8)
= 3/4

প্রশ্ন: একটি লুডুর ছক্কা দুবার নিক্ষেপ করলে, মোট 13 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি লুডুর ছক্কা দুবার নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ (6 + 6) 12 পাওয়া যেতে পারে।
13 পাওয়া সম্ভব নয়, অর্থাৎ 13 পাওয়ার সম্ভাব্যতা 0।

কোনো পরীক্ষণের S নমুনাক্ষেত্রের অধীনে E একটি ঘটনা হলে, 0 ≤ P(E) ≤ 1
সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 এবং অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 0।
তাই সকল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান 0 বা 0 থেকে বড় হতে পারে অথবা 1 বা 1 থেকে ছোট হতে পারে।
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান কখনোই 0 থেকে ছোট হতে পারে না এবং 1 থেকে বড় হতে পারে না।
একটা কাজ বা ঘটনা অবশ্যই ঘটলে, তার সম্ভাবনা = ১০০% = ১
একটা কাজ বা ঘটনা কখনোই না ঘটলে, তার সম্ভাবনা = ০% =০

প্রশ্ন: একটি বক্সে ৭ টি লাল, ৯ টি কালো এবং ৬ টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বক্সটিতে মোট বল = (৭ + ৯ + ৬) টি = ২২ টি 

লাল ও সাদা বলের সংখ্যা = (৭ + ৬) টি = ১৩ টি 

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা(লাল বা সাদা)/মোট ঘটনা
= ১৩/২২ 

ধরি 
সংখ্যাটি=   x 

এখন 
(৬ + ৮ + ১০)/৩ = (x + ৭ + ৯)/৩ 
বা, ২৪ = x  + ১৬ 
বা, ২৪ - ১৬ = x
∴ x = ৮

A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)
= A ∪ (A ∩ B)
= A

বিকল্প পদ্ধতিঃ
A = {1, 2, 3}
B = {2, 4, 6}
A∪B = {1, 2, 3, 4, 6}

∴ A ∩ (A∪B) = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4, 6}
= {1, 2, 3}
= A

∴ A ∩ (A ∪ B) = A

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার গড় ১০। একটি সংখ্যা ১২ হলে, নিচের কোনটি একমাত্র প্রচুরক হতে পারে?
 
সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৩টি সংখ্যার গড় ১০
∴ মোট সমষ্টি = ৩ × ১০ = ৩০ 
এবং একটি সংখ্যা = ১২
 
একটি সংখ্যা ১২। সুতরাং, বাকি দুটি সংখ্যার সমষ্টি হবে = ৩০ - ১২ = ১৮ 
এখন, ১৮ কে দুইটি সংখ্যায় প্রকাশ করা যায় = (১০ + ৮), (৯ + ৯), (১২ + ৬),......

এখানে, ১৮ = শুধুমাত্র (৯ + ৯) নিলে প্রচুরক হতে পারে ৯। 
∴ সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে, ১২, ৯, ৯ হলে একমাত্র প্রচুরক ৯। 

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১৮ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১৮ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮}
১৮ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৬} = ৪ টি  [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ৯, ১৮ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩ 

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36

গুণফল জোড় হওয়ার জন্য অন্তত একটি সংখ্যা জোড় হতে হবে।

গুণফল বিজোড় হওয়ার ঘটনা = উভয় সংখ্যা বিজোড় হলে
= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} = 9 টি

∴ গুণফল জোড় হওয়ার ঘটনা = 36 - 9 = 27 টি

∴ সম্ভাবনা = 27/36 = 3/4

প্রশ্ন: ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
উপাত্তগুলো ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ৪৮ + ৫২ + ৫৬ + ৬০ + ৬৪ + ৬৮ + ৭২ = ৪২০

আমরা জানি, 
গড় = মোট যোগফল/উপাত্তের সংখ্যা
= ৪২০/৭
= ৬০

প্রশ্ন: ২০২১ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৫ সাল অধিবর্ষ না হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৮ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৮ - ১৯ = ৯ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৮ 

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৩ সালের মার্চ মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ১ দিন । ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?  

সমাধান:
এক সপ্তাহে মোট দিন = ৭
বৃষ্টি হয়েছে মোট দিন = ১

∴ P(বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা) = ১/৭
∴ P(সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা) = ১ - (১/৭) = (৭ - ১)/৭ = ৬/৭

সুতরাং, ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা ৬/৭

প্রশ্ন: ২, ৫, ৩, ৭, ২, ১০, ১১, ১৩, ৮, ৪, ১৪, ১৫, ১, ১২ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাত্তগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি সংখ্যক থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে ২ সংখ্যাটি  সর্বোচ্চ ২ বার আছে।
∴ ২, ৫, ৩, ৭, ২, ১০, ১১, ১৩, ৮, ৪, ১৪, ১৫, ১, ১২ সংখ্যাগুলোর মধ্যে প্রচুরক হবে = ২

প্রশ্ন: 2, 3, 4 এবং 7 সংখ্যাগুলির গড় বিচ্যুতি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/ উপাত্তগুলোর সংখ্যা 
= (2 + 3 + 4 + 7)/4
= 16/4
= 4

আমরা জানি,  
গড় বিচ্যুতি, MD = ∑|x_i - x|/n
অর্থাৎ, গড় বিচ্যুতি = (বিচ্যুতিগুলির সমষ্টি)/(সংখ্যার পরিমাণ)
= (|2 - 4| + |3 - 4| + |4 - 4| + |7 - 4|)/4
= (2 + 1 + 0 + 3)/4
= 6/4
= 3/2

সুতরাং, গড় বিচ্যুতি 3/2

৫ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যা = ১১ টি
মৌলিক সংখ্যা = {৫, ৭, ১১, ১৩} ⇒ ৪ টি
বিজোড় সংখ্যা = {৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫} = ৬ টি
∴ মৌলিক অথবা বিজোড় সংখ্যা = ৬ টি
∴ সম্ভাবনা = ৬/১১

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ টি
এই পরিসরের মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ 
∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪ টি

∴ সংখ্যাটির মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = মৌলিক সংখ্যা/মোট সংখ্যা
= ৪/২১

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। সর্বোচ্চ দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সম্ভাব্য মোট ফলাফল, S = {TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH} = ৮ টি
এবং,
সর্বোচ্চ দুটি হেড পাওয়ার ঘটনা, E = {TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT} = ৭ টি

∴ সম্ভাবনা, P(E) = n(E)/n(S) = ৭/৮

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৩ সালের জুন মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিনর
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৩ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৩ = ৪ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭

প্রশ্ন: এপ্রিল মাসে নড়াইল শহরে 3 দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে 10 ই এপ্রিল বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা শতকরা কত?

সমাধান:
এপ্রিল মাসে মোট দিন সংখ্যা = 30 দিন
বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। 

যেহেতু বৃষ্টি হওয়ার দিনগুলি নির্দিষ্ট নয়, তাই 10 ই এপ্রিল বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা হল,

∴ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা শতকরায়  =  বৃষ্টির দিন সংখ্যা/মোট দিন সংখ্যা
= 3/30
= (1/10) × 100%
= 10%

সুতরাং, 10 ই এপ্রিল বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 10%

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল টেইল এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) 
ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12
এগুলো হলো: (1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)

টেইল এবং জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা =  (T,2), (T,4), (T,6)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 3/12
= 1/4