পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

উপাত্তগুলো ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ১৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১
= ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩
মোট ১১টি উপাত্ত আছে
∴ মধ্যক = (১১ + ১)/২
= ৬ষ্ঠ পদ
= ১৫

প্রশ্ন: একটি ছক্কা ও একটি  মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কার ক্ষেত্রে, ৬টি সম্ভাব্য ফলাফল আছে: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ ছক্কায় 4 উঠার সম্ভাবনা = 1/6

একটি মুদ্রার ক্ষেত্রে, ২টি সম্ভাব্য ফলাফল আছে: {হেড, টেল}
∴ মুদ্রায় টেল উঠার সম্ভাবনা = 1/2

∴ P(ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল উঠার সম্ভাবনা) = (1/6​) × (1/2) = 1/12​

আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজানো যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n+1)/2 তম পদের মান।
সেক্ষেত্রে ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১১, ১২, ১৪, ১৫ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = (১১+১)/২ = ৬ তম পদের মান।
সুতরাং উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ১০।

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা = ৫২
মোট টেক্কার অনুকূল ঘটনা = ৪

∴  তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা  = ৪/৫২ = ১/১৩

প্রশ্ন: কোন শ্রেণির ১০ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা যথাক্রমে ১২৫, ১৩৫, ১৩০, ১৩৮, ১৩৭, ১৪২, ১৪৫, ১৫২, ১৫০, ১৪০ সে.মি.। শ্রেণিব্যাপ্তি ৪ হলে উপাত্তগুলোর শ্রেণি সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
উপাত্তসমূহ যথাক্রমে ১২৫, ১৩৫, ১৩০, ১৩৮, ১৩৭, ১৪২, ১৪৫, ১৫২, ১৫০, ১৪০ 
এখানে, 
সর্বোচ্চ উপাত্ত = ১৫২
সর্বনিম্ন উপাত্ত = ১২৫ 

∴ উপাত্তগুলোর পরিসর = (১৫২ - ১২৫) + ১ 
= ২৭ + ১
= ২৮ 

শ্রেণিব্যাপ্তি = ৪
∴ শ্রেণি সংখ্যা = ২৮/৪
= ৭ ।

প্রশ্ন: ২১৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত? 

সমাধান: 
২১৬ = ২ × ১০৮
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ৫৪
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ২৭
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৯
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ৩

প্রচুরক হলো = ২, ৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৩ 

মোট তাস = 52টি,
কালো = 26টি,
রাজা = 4টি,
কালো রাজা = 2টি
∴ কালো অথবা রাজা এই প্রকৃতির তাস = 26 + 4 - 2 = 28টি

∴ সম্ভাবনা = 28/52
= 7/13

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 10 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 10

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/10
= 6.3
= 7  ; [শ্রেণি সংখ্যা পূর্ণসংখ্যায় হিসাব করতে হবে]

দুইটি ছক্কা এর নমুনা ক্ষেত্র = ৬×৬ = ৩৬ টি
১ টি মুদ্রার নমুনা ক্ষেত্র = ২ টি
মোট নমুনা = ২×৩৬ = ৭২ টি

সমাধান:
একটি মুদ্রা 3 বার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা (নমুনা ক্ষেত্র) হবে 2³ = 8টি।

নমুনা ক্ষেত্র, S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

অন্তত 2টি Head উঠার অনুকূল ঘটনা, A = {HHT, HTH, THH, HHH}

∴ অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, n(A) = 4

∴ অন্তত 2টি Head উঠার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল সংখ্যা/মোট ফলাফল সংখ্যা
= 4/8
= 1/2

SUEZKHAL শব্দে মোট 8 টি অক্ষর আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ³c₂/⁸c₂ = 3/28

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৭৫% ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এবং যেসব ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে তাদের মধ্যে ৮০% ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। তাহলে দৈবভাবে নির্বাচিত একজন ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি, 
মোট ছাত্র = ১০০ জন
নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এমন ছাত্র = ৭৫% = ৭৫ জন
তাদের মধ্যে ৮০% উত্তীর্ণ হয় অর্থাৎ = (৮০/১০০) × ৭৫ = ৬০ জন

সুতরাং, উত্তীর্ণ ছাত্র = ৬০ জন

∴ একজন দৈবচয়নে নেওয়া ছাত্র উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬০/১০০ = ৩/৫ = ০.৬

প্রশ্ন: বাংলা স্বরবর্ণগুলো থেকে দৈবভাবে একটি বর্ণ নেওয়া হলে বর্ণটি মাত্রাহীন বর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
বাংলা বর্ণমালায় স্বরবর্ণ ১১টি। 
বাংলা বর্ণমালায় মাত্রাহীন স্বরবর্ণ ৪টি।
বাংলা বর্ণমালায় মাত্রাযুক্ত স্বরবর্ণ ৭টি।

∴ দৈবভাবে একটি বর্ণ নেওয়া হলে, মাত্রাহীন নয় এমন বর্ণ (অর্থাৎ মাত্রাযুক্ত) হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১১

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
20 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি

সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

∴সম্ভাবনা = 1/6 

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে তা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
তাসের সংখ্যা = ৫২ টি 

এখন,
একটি তাসের প্যাকেটে,
সাহেবের সংখ্যা = ৪ টি 
বিবির সংখ্যা = ৪ টি 
টেক্কার সংখ্যা = ৪ টি 

∴ তাসটি  বিবি হওয়ার সম্ভাবনা =  (৪/৫২) 
= ৪/৫২
= ১/১৩ ।

একটি মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা বিন্দু
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
সর্বাধিক বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/৮

প্রশ্নমতে,
(7+11+15+x)/4 = y
বা, 33 + x = 4y
বা, x = 4y - 33.

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
​ ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০

এখানে
n = ১৫, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১৫ + ১)/২ তম পদ
= ৮ তম পদ
= ৩২

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫টি আপেল, ৪টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। দৈবভাবে একটি ফল বাছাই করলে সেটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আপেল = ৫টি
কলা = ৪টি
কমলা = ৩টি

∴ মোট ফল = ৫ + ৪ + ৩ = ১২টি

ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা
= (আপেলের সংখ্যা)/(মোট ফলের সংখ্যা)
= ৫/১২

∴ ফলটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (৫/১২)
= (১২ - ৫)/১২
= ৭/১২

মোট ঘটনা সংখ্যা = 24
2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা {HH2, HH4, HH6} = 3 টি
∴ 2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা = 3/24 = 1/8

প্রশ্ন: নিম্নের উপাত্তগুলো দেওয়া হলো-
6, 4, 9, 2, 11, 7, 5, 9, 3, 14, 9, 1, 8, 10, 12, 15, 13, 9, 16, 17
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
 
সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে ক্রমানুসারে সাজাই-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

এখানে লক্ষ্য করি,
9 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি সংখ্যক বার (৪ বার) উপস্থিত আছে।

অতএব,
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = 9

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৬ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত কার্ড রয়েছে। ঝুড়ি থেকে এলোমেলোভাবে একটি কার্ড তোলা হলো। তোলা কার্ডের সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৫০ - ৬ + ১ = ৪৫টি
৬ থেকে ৫০-এর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো হলো, 
৩^২ = ৯, ৪^২ = ১৬, ৫^২ = ২৫, ৬^২ = ৩৬ এবং ৭^২ = ৪৯ 
অর্থাৎ ৫টি সংখ্যা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ৫/৪৫
= ১/৯

সুতরাং,  সম্ভাবনা = ১/৯

প্রশ্ন: একটি থলিতে ৮টি লাল, ১২টি সবুজ, ১৬টি হলুদ বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলিতে মোট বল আছে = (৮ + ১২ + ১৬)টি = ৩৬টি

বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/৩৬ = ১/৩

বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

নীল মার্বেল = 10টি,
লাল মার্বেল = 15টি
∴ মোট মার্বেল = 10 + 15
= 25 টি
∴ যেমন খুশী টানলে 2টি ভিন্ন রংয়ের মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা
= (¹⁰c₁ × ¹⁵c₁)/²⁵c₂
= (10 × 15)/300
= 150/300
= 1/2

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে 2টি লাল, 3টি সবুজ এবং 2টি নীল বল আছে। যদি দৈবভাবে 2টি বল নেওয়া হয়, তাহলে বল দুটির কোনটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট বলের সংখ্যা = 2 + 3 + 2 = 7
• নীল নয় এমন বলের সংখ্যা = 7 - 2 = 5

এখন, 
7 টি বলের মধ্যে 5 টি বল নীল নয়।
∴ P(প্রথম বলটি নীল নয়) = 5/7

আবার,
প্রথম বলটি তোলার পরে, বাকি 6 টি বলের মধ্যে 4 টি বল নীল নয়।
∴ P(দ্বিতীয় বলটি নীল নয়) = 4/6 = 2/3

∴  P(টানা দুটি বলের কোনটিই নীল নয়) = (5/7) × (2/3) = 10/21

সুতরাং, বল দুটির কোনটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = 10/21

প্রশ্ন: ১৪ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা = ৪০ - ১৪ + ১ = ২৭টি 

এবং 
১৪ থেকে ৪০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা গুলো,
১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ৬ টি

সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা/মোট সংখ্যা 
= ৬/২৭
= ২/৯ 

∴ মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা ২/৯ 

প্রশ্ন: ৩৮, ৪৫, ৫৯, ২৭, ৬৪, ৫১, ৭৩, ৪২, ৩৫ উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
সর্বোচ্চ = ৭৩
সর্বনিম্ন = ২৭

আমরা জানি, 
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + ১ 
= (৭৩ - ২৭) + ১ 
= ৪৬ + ১ 
= ৪৭ 

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ক্রমানুসারে সাজালে হয় = ৮, ১০, ১৪, ১৬, ১৬, ২০
পদসংখ্যা ৬ টি অর্থাৎ জোড় তাই মধ্যক হবে ৬/২ তমপদ ও (৬/২ + ১) তম পদের যোগফলের অর্ধেক।
∴ মধ্যক = (১৪ + ১৬)/২ = ১৫

প্রশ্ন: 2, 8, এবং 32 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় 
 

সুতরাং, 2, 8, এবং 32 এর গুণোত্তর গড় = ( 2 × 8 × 32 )^1/3  
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

মোট তাস ৫২ টি।
হরতন আছে ১৩ টি
চিরতন আছে ১৩ টি
∴ হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
∴ চিরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
তাসটি হরতন অথবা চিরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১/৪ + ১/৪ = ১/২

প্রশ্ন: 27 থেকে 53 পর্যন্ত সব সংখ্যাগুলোর যোগফল 1080 হলে, তাদের গড় কত?

সমাধান:
27 থেকে 53 পর্যন্ত কতগুলো সংখ্যা আছে, 
n = 53 - 27 + 1
= 27

আমরা জানি, 
গড় = মোট যোগফল/পদ সংখ্যা
= 1080/27
= 40

∴ তাদের গড় = 40 

নীল বল = 10টি
সাদা বল = 15টি
মোট বল = 25টি
∴ সম্ভাবনা = ¹⁰c₂/²⁵c₂ + ¹⁵c₂/²⁵c₂
= 45/300 + 105/300
= 150/300
= 1/2

প্রশ্ন: ১, ৪, ৮ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখ্যাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ৪, ৮ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩! = ৬ টি
সেগুলো হল- ১৪৮, ১৮৪, ৪১৮, ৪৮১, ৮১৪, ৮৪১

এখন, একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হল, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল- ১৪৮ এবং ১৮৪।

​∴ মোট ২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৬ = ১/৩

আমরা জানি, যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি জোড় হয় তবে মধ্যক হবে n/2 তম ও (n/2 + 1) তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়।
∴মধ্যক = (১৪ + ১৬)/২ = ১৫

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাসের একটি প্যাকেট থেকে ১টি তাস বের করা হলে তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
মোট তাসের সংখ্যা = ৫২
টেক্কার সংখ্যা = ৪
 
এখন, টেক্কা না হওয়ার তাসের সংখ্যা
= ৫২ - ৪ = ৪৮

অতএব, টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা,
P = টেক্কা না হওয়ার তাসের সংখ্যা/মোট তাসের সংখ্যা = ৪৮/৫২ = ১২/১৩

সুতরাং, টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ​১২/১৩