বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

সমাধান: 
= x² - 10xy - 11y2
= x² - 11xy + xy - 11y²
= x(x - 11y) + y(x - 11y)
= (x - 11y)(x + y)

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 এবং x³ - 6x² + 11x - 6 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথম রাশি:
x² - 7x + 12
= x² - 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4)
= (x - 4)(x - 3)

দ্বিতীয় রাশি:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
f(3) = 3³ - 6(3)² + 11(3) - 6
= 27 - 54 + 33 - 6
= 0

যেহেতু f(3) = 0, তাই (x - 3) হবে f(x)-এর একটি উৎপাদক।

এখন,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - 3x² + 2x - 3x² + 9x - 6
= (x - 3)(x² - 3x + 2)
= (x - 3)(x - 2)(x - 1)

প্রথম রাশি = (x - 4)(x - 3)
এবং দ্বিতীয় রাশি = (x - 3)(x - 2)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. হলো উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক, যা হলো (x - 3)।

প্রশ্ন: যদি 3x³ + 4x² - 5x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 2) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 3x³ + 4x² - 5x + k
∴ f(2) = 3(2)³ + 4(2)² - 5(2) + k
= 3 × 8 + 4 × 4 - 10 + k
= 24 + 16 - 10 + k
= 30 + k

এখন,
3x³ + 4x² - 5x + k এর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, f(2) = 0 হবে।
∴ f(2) = 0
⇒ 30 + k = 0
⇒ k = - 30

সুতরাং, k এর মান - 30

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 11x - 6 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 11x - 6
f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2(2)³ + 3(2)² - 11(2) - 6
= 16 + 12 - 22 - 6
= 0
∴ (x - 2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক।

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² +x + 1)

প্রশ্ন: কোনটি 4x⁴ - 25x² + 36 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
4x⁴ - 25x² + 36
= 4x⁴ - 16x² - 9x² + 36
= 4x²(x² - 4) - 9 (x² - 4)
= (x² - 4) (4x² - 9)
= (x + 2)(x - 2){(2x)² - 3²}
= (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

প্রশ্ন: p⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নয়-

সমাধান:
p⁶ - 64
= (p³)² - (8)²
= (p³ + 8)(p³ - 8)
= (p³ + 2³)(p³ - 2³)
= (p + 2)(p² - 2p + 2²)(p - 2)(p² + 2p + 2²)
= (p + 2)(p² - 2p + 4)(p - 2)(p² + 2p + 4)

4x² + 4xy - 2y - 1
= (2x)² - 1² + 2y(2x - 1)
= (2x + 1)(2x - 1) + 2y(2x - 1)
= (2x - 1)(2x + 2y + 1)

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এবং a² - 4a - 21 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

a² - 4a - 21
= a² - 7a + 3a - 21
= a(a - 7) + 3(a - 7)
= (a - 7)(a + 3)

প্রশ্ন: যদি 5x³ - 2x² + x + p = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + p
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + p
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + p
= 135 - 18 + 3 + p
= 120 + p

এখন, 
5x³ - 2x² + x + p এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + p = 0
∴ p = - 120

2x³ + 5x² - 6x - 16
= 2x³ + 4x² + x² + 2x - 8x - 16
= 2x²(x + 2) + x(x + 2) - 8(x + 2)
= (x + 2)(2x² + x - 8)

a³ - 7a + 6 = a³ - a² + a² - a - 6a + 6  = a²(a - 1) + a(a -1) - 6(a - 1) = (a - 1)(a² + a - 6) = ( a - 1)(a² + 3a - 2a - 6) = (a - 1){a(a + 3) - 2(a + 3)} = (a - 1)(a + 3)(a - 2)

1/a < 1/b
⇒ a > b [বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয়।]

x² + xy + yz - z²
= (x² - z²) + xy + yz
= (x + z)(x - z) + y(x + z)
= (x + z)(x + y - z)

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - a² - 2ab - b²
= 1 - (a + b)²
= (1)² - (a + b)²
= {1 + (a + b)} {1 - (a + b)}
= (1 + a + b) (1 - a - b)

প্রশ্ন: (p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(p + 10)(p + 12) - 63
= p² + 12p + 10p + 120 - 63
= p² + 22p + 57
= p² + 19p + 3p + 57
= p(p + 19) + 3(p + 19)
= (p + 19)(p + 3)

প্রশ্ন: (x² - 8x + 15) ও (x² - 10x + 21) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম উৎপাদক, 
x² - 8x + 15
= x² - 5x - 3x + 15
= x(x - 5) - 3(x - 5)
= (x - 5)(x - 3)

দ্বিতীয় বহুপদী,
x² - 10x + 21
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক: (x - 3)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² + 2y - 1 -এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= (x)² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

(a + b)x² + 2bxy - (a-b)y²
= (a + b)x² + {(a+b) - (a-b)}xy - (a-b)y² 
= (a + b)x² + (a+b)xy - (a-b)xy - (a-b)y² 
= x (a + b) (x + y) - y (a - b) (x + y)
= (x + y) (ax + bx - ay + by)