বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2 . b . 3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c)(a - b + 3c)

প্রশ্ন: 25a² - (3a + 4b)² = কত?

সমাধান:
25a² - (3a + 4b)²
= (5a)² - (3a + 4b)²
= {5a + (3a + 4b)} {5a - (3a + 4b)}
= (5a + 3a + 4b)(5a - 3a - 4b)
= (8a + 4b)(2a - 4b)

একটি সমীকরণ এর নিশ্চায়কের মান শূন্য হলে, ইহা পূর্ণবর্গ হয়।
এখানে নিশ্চয়াক,
b² - 4ac = 0
বা, (-12)² - 4.a.9 = 0
বা, 36a = 144
বা, a = 4

64x³ - 8y³
= 8(8x³ - y³)
= 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 1
= (2x² + 1)² - 2.2x².1
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: x² + x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = x² + x - 6
মিডিলটার্ম করে পাই = x² + 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3) 
= (x - 2)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(x - 2)

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2.x².1 + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

2x²−5xy+2y²
=2x²−4xy-xy+2y²
=2x(x-2y) - y(x-2y)
=(x-2y)(2x-y)

প্রশ্ন: x² + 2px + p² - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 2px + p² - 4
= (x² + 2px + p²) - 4
= (x + p)² - 4
= (x + p)² - 2²
= (x + p + 2)(x + p - 2)

প্রশ্ন: x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 এর উৎপাদক- 

সমাধান: 
x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8
= x² - 4xy + 4y²- 2x + 4y - 8 
= (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8
=  (x - 2y)² - 4(x - 2y) + 2(x - 2y) - 8
= (x - 2y) (x - 2y - 4) + 2 (x - 2y - 4)
= (x - 2y + 2) (x - 2y - 4)

9a⁴ - 34a²x² + 25x⁴
= 9a⁴ -9a²x² - 25a²x² + 25x⁴
= 9a²( a² - x²) - 25x²( a² - x²)
= (9a² - 25x²)( a² - x²)
= (3a + 5x) (3a – 5x) (a + x)(a - x)

x² - {a + (1/a)}x + 1
= x² - ax - x/a + 1
= x(x - a) - 1/a (x - a)
= (x - 1) (x - 1/a)

{x² - (1/x²)}²
= {x² + (1/x²)}^{2 -} 4 . x . (1/x)
= 3² - 4
= 5
∴ {x² - (1/x²)} = √5
সুতরাং, {x² - (1/x²)}³ = 5√5

প্রশ্ন: a³ + 3a + 36 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ + 3a + 36
= a³ + 27 + 3a + 9
= (a)³ + (3)³ + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9 + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 12)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

4x⁴ + 16
= 4(x⁴ + 4)
= 4[(x²)² + 2²]
= 4[(x² + 2)² - 2.x².2]
= 4[(x² + 2)² - (2x)²]
= 4(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x -2)(x + 1)

(x² - x)² + 3(x² - x) - 40

ধরি,
(x² - x) = a

তাহলে প্রদত্ত রাশি,
a² + 3a - 40
= a² + 8a - 5a - 40
= a (a+8) - 5 (a+8)
= (a+8) (a-5)

a এর মান বসিয়ে,
 (x² - x + 8) (x² - x - 5)

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এর একটি উৎপাদক (2a + 5) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

প্রশ্ন: y⁶ - 64 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
y⁶ - 64
= (y³)² - 8²
= (y³ + 8)(y³ - 8)
= (y³ + 2³)(y³ - 2³)
= (y + 2)(y² - 2y + 4)(y - 2)(y² + 2y + 4)
= (y + 2)(y - 2)(y² + 2y + 4)(y² - 2y + 4)

প্রশ্ন: 4x⁴ - 25x² + 36 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
4x⁴ - 25x² + 36
= (2x²)² - 2·2x²·6 + 6² - x²
= (2x² - 6)² - x²
= (2x² - 6 + x)(2x² - 6 - x)
= (2x² + x - 6)(2x² - x - 6)
= (2x² + 4x - 3x - 6)(2x² - 4x + 3x - 6)
= {2x(x + 2) - 3(x + 2)}{2x(x - 2) + 3(x - 2)}
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)
= (x² - 4)(2x + 3)(2x - 3)

সঠিক উত্তর: গ) (x² - 4)(2x + 3)(2x - 3)

প্রশ্ন: 4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
4a² - 12ab + 9b² - 4c²
= (4a² - 12ab + 9b²) - 4c²
= {(2a)² - 2. 2a . 3b + (3b)²} - (2c)²
= (2a - 3b)² - (2c)²
= (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c) 

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 8
= (x)³ - (2)³
= (x - 2) {(x)² + x. 2 + (2)²}
= (x - 2) (x² + 2x + 4)

প্রশ্ন: p⁴ + 6p² - 7 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান:
p⁴ + 6p² - 7
= (p²)² + 2.p².3 + 3² - 9 - 7
= (p² + 3)² - 4²
= (p² + 3 + 4)(p² + 3 - 4)
= (p² + 7)(p² - 1)
= (p² + 7) (p² - 1²)
= (p² + 7)(p + 1)(p  - 1)

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান: 
x² - 6x + 9
= x² - 2.x.3 + 3²
= (x - 3)²

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - 3)² = (x - 3) (x - 3)

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: যদি P(x) = x³ + kx² + 6x - 12 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য P(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, P(x) = x³ + kx² + 6x - 12
বা, P(2) = (2)³ + k(2)² + 6(2) - 12
বা, P(2) = 8 + 4k + 12 - 12
বা, P(2) = 4k + 8

যেহেতু, P(2) = 0
∴ 4k + 8 = 0
বা, 4k = -8
বা, k = -8/4
∴ k = - 2

∴ k এর মান - 2 হলে P(2) = 0 হবে।

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2³ - 3(2²) + a(2) - 6
⇒ f(2) = 8 - 12 + 2a - 6
⇒ f(2) = 2a - 10

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a - 10 = 0
⇒ 2a = 10
⇒ a = 5

প্রশ্ন: x³ - 4x² + 6x - k বহুপদীর একটি উৎপাদক x = 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
একটি উৎপাদক x = 3 হলে f(3) = 0 হবে। সুতরাং,
f(x) = x³ - 4x² + 6x - k
f(3) = 3³ - 4 × 3² + 6 × 3 - k = 0
⇒ 27 - 36 + 18 - k = 0
⇒ 9 - k = 0
⇒ k = 9

∴ k এর মান 9.

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

প্রশ্ন: 35x² - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
35x² - x - 12
= 35x² - 21x + 20x - 12
= 7x(5x - 3) + 4(5x - 3)
= (5x - 3)(7x + 4)

x² + x - (a + 1)(a + 2)
= x² + x - (a + 1){(a + 1) + 1}
= x² + x - b(b + 1) [ধরি, b = a + 1]
= x² + x - b² - b
= x² + x - b² - b
= x² - b² + x - b
= (x + b)(x - b) + 1(x - b)
= (x - b)(x + b + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 1 + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 2)

8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
=(2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
=(2x + 3y)³

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a² (a + 1)) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)