বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: 125x³ + 64y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125x³ + 64y³
= (5x)³ + (4y)³
= (5x + 4y) {(5x)² - (5x)(4y) + (4y)²}
= (5x + 4y)(25x² - 20xy + 16y²)

16 - 2x³ = 0
বা, -2(x³ - 8) = 0
বা, x³ - 8 = 0
বা, (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0

হয়, x - 2 = 0
∴ x = 2
অথবা, x² + 2x + 4 = 0

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
∴ f(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 11(3) + 6
= 54 - 27 - 33 + 6
= 60 - 60
= 0

যেহেতু f(3) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 3) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 3x² - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² - 10x - 8
= 3x² - 12x + 2x - 8
= 3x(x - 4) + 2(x - 4)
= (3x + 2)(x - 4)

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

ধরি,
f(x) = x³ + 3x + 36
(x+3), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি f(x) = 0 হয়।
f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
সুতরাং (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 6)
= (a + 1)(a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)

মূলদ্বয়ের যোগফল = 8/a = 1/2
∴ a = 16
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/a = 9/16

প্রশ্ন: 2x²+ x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = 2x² + x - 15
মিডিলটার্ম করে পাই = 2x² + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3) 
= (2x - 5)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(2x - 5)

প্রশ্ন: q² + 7q - 120 এর একটি উৎপাদক q - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
q² + 7q - 120
= q² - 8q + 15q - 120
= q(q - 8) + 15(q - 8)
= (q - 8)(q + 15)

প্রশ্ন: যদি p² + 2p - 35 এর একটি উৎপাদক (p + 7) হয়, তবে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p² + 2p - 35
= p² + 7p - 5p - 35
= p(p + 7) - 5(p + 7)
= (p + 7)(p - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক (p - 5)। 

প্রশ্ন: x⁶ - y⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁶ - y⁶
= (x³)² - (y³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x - y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

x² + 2xy - 2y - 1
= x² - (1)² + 2xy - 2y
= (x+1) (x-1) + 2y(x-1)
= (x-1) (x + 2y + 1)

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x - 3)(x + 5)

মনে করি, ƒ(a) = a³ - a² -10a - 8
∴ ƒ(-1) = (-1)³ - (-1)² - 10(-1) - 8
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক
a³ - a² -10a - 8
= a³ + a² - 2a² - 2a - 8a - 8
= a²(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)
= (a + 1)(a² - 2a - 8)
= (a + 1) (a + 2)(a - 4) 

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x⁴ - 27x² + 1
= (x²)² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)

x² - y² -2y - 1
= x² - (y + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

প্রশ্ন: x² - y² + 2y -1  এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: x³ - qx + 15 = 0 এর একটি সমাধান 3 হলে q এর মান কত?

সমাধান:
(3)³ - q(3) + 15 = 0
⇒ 27 - 3q + 15 = 0
⇒ - 3q = - 42
⇒ q = 14

.x⁴ + x² - 20
= x4 + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x + 2)(x - 2)

প্রশ্ন: a² - b² - 2b - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² - b² - 2b - 1
= a² - (b² + 2b + 1)
= a² - (b + 1)²
= {a + (b + 1)}{a - (b + 1)}
= (a + b + 1)(a - b - 1)

∴ রাশিটির উৎপাদকদ্বয় হলো (a + b + 1) এবং (a - b - 1)

প্রশ্ন: 2x² - xy - 6y² এর উৎপাদক-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² - xy - 6y²
= 2x² - 4xy + 3xy - 6y²
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

2a³ + 16
= 2(a³ + 8)
= 2(a³ + 2³)
= 2(a + 2)(a² - 2a + 4)

x⁶ + 4x³ - 1
= x⁶ + x³ - 1 + 3x³
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3.x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x².x - x²(-1) - x(-1)}
= (x² + x - 1)(x⁴ + x² + 1 - x³ + x² + x)
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)

প্রশ্ন: 12x² + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
12x² + 11x - 15
⇒ 12x² + 20x - 9x - 15
⇒ 4x(3x + 5) - 3(3x + 5)
⇒ (3x + 5)(4x - 3)

প্রশ্ন: a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a³ - ab²
= a(a² - b²)
= a(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a⁴ + 2a³b + a²b²
= a²(a² + 2ab + b²)
= a²(a + b)²

a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর মৌলিক উৎপাদক = a(a + b)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + b)। 

x - 3, f(x) = x² - ax + 3 এর একটি উৎপাদক 
∴ f(3) = 0
বা, 9 - 3a + 3 = 0
বা, 3a = 12
∴ a = 4

প্রশ্ন: a³ - 3a²b + 2b³ এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 3a²b + 2b³
= a³ - a²b - 2a²b + 2ab² - 2ab² + 2b³
= a²(a - b) - 2ab(a - b) - 2b²(a - b)
= (a - b) (a² - 2ab - 2b²)

9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)²
= (3x - 5y)²