বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

f(x) = 4x² + 5x - p,
x + 2 দ্বারা বিভাজ্য হলে f(-2) = 0
∴ 4(-2)² + 5(-2) - p = 0
বা, 16 - 10 - p = 0
বা, 6 - p = 0
∴ p = 6

প্রশ্ন: x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ƒ(x) = x³ + ax + 36
x + 3, x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক 
∴ ƒ(− 3) = 0 হবে।

এখন, 
ƒ(− 3) = (− 3)³ + a(− 3) + 36 
= − 27 − 3a + 36 
= 9 − 3a 

∴ 9 − 3a = 0
বা, 3a = 9
বা, a = 9/3
∴ a = 3

এখানে, f(x) = x³ + 3x + 36
∴ f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36 = -36 + 36 = 0
∴ x + 3, f(x) এর একটি উৎপাদক। 

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 7x - 6

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 7x - 6
এখন, x = - 1 হলে,
f(- 1) = (- 1)³ - 7(- 1) - 6 = - 1 + 7 - 6 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 6)
= (x + 1)(x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1){x(x - 3) + 2(x - 3)}
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)

প্রশ্ন: (2x + 3)² - 16 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(2x + 3)² - 16
= (2x + 3)² - 4²
= (2x + 3 - 4)(2x + 3 + 4)
= (2x - 1)(2x + 7)

প্রশ্ন: কোনটি x² - 13x - 48  এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
x² - 13x - 48
= x² - 16x + 3x - 48
= x(x - 16) + 3(x - 16)
= (x - 16)(x + 3)

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ এর একটি উৎপাদক (a² + ab + b²) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

∴ অপর উৎপাদকটি হলো (a² - ab + b²)

প্রশ্ন: q² - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 37q - 650
= q² - 50q + 13q - 650
= q(q - 50) + 13(q - 50)
= (q - 50)(q + 13)

x⁴ - x²
= x²(x² - 1)
= x²(x + 1)(x - 1)

প্রশ্ন: 2√2x³ + 125 এর সঠিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2√2x³ + 125
= (√2x)³ + (5)³     ;[a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (√2x + 5){(√2x)² - √2x . 5 + 5²}
= (√2x + 5)(2x² - 5√2x + 25)

সুত্রানুসারে,
a³ - b³ = (a – b)(a² + ab + b² )

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= - 4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
⇒ 2a - 10 = 0
⇒  2a = 10
∴ a = 5

নিশ্চায়ক = (8)² - 4.1.15 = 64 - 60 = 4 = 2² যা পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
∴ মূলগুলো মূলদ ও অসমান।

8x³ - 27(x - y)³

= (2x)³ - {3(x-y)}³ 
= (3y - x) (19x² - 24xy + 9y²) [a³ - b³ = (a-b) (a² + ab + b²) ফর্মুলা দিয়ে করলেই হবে।]

প্রশ্ন: 2x⁴ + 16x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x⁴ + 16x
= 2x(x³ + 8)
= 2x(x³ + 2³)
= 2x(x + 2)(x² - x⋅2 + 2²) ; [ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)] 
= 2x(x + 2)(x² - 2x + 4)

2√2x³ + 125
= (√2x)³ + (5)³
= (√2x + 5) {(√2x)² - √2x.5 + 5²}
= (√2x + 5) (2x² - 5√2x + 25)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3x² - 16x - 12 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
3x² - 16x - 12
= 3x² - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6) (3x + 2)

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 এর সঠিক উৎপাদক কোন দুটি?

সমাধান:    
x² - 3x - 10
= x² - 5x + 2x - 10
= x(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(x + 2)

সুতরাং, x² - 3x - 10 এর সঠিক উৎপাদক দুটি হলো (x - 5)(x + 2)। 

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x² - 23x + 132

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 23x + 132
= x² - 12x - 11x + 132
= x(x - 12) - 11(x - 12)
= (x - 12)(x - 11)

x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 16
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

3x² - 3x - xy + y
= 3x(x - 1) - y(x - 1)
= (x - 1)(3x - y)

প্রশ্ন: x² - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
যখন কোনো বহুপদী f(x) কে x - c দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন ভাগশেষ = f(c)

এখানে ভাজক x + 1 = x -( -1), অর্থাৎ c = -1
সুতরাং ভাগশেষ = f( -1)

f(x) = x² - 3x - 2 এ x = -1 বসাই: 
f(-1) = (-1)² - 3(-1) -2
= 1 + 3 - 2
= 2 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 8a + ap³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 8a + ap³
= a(8 + p³)
=a{(2)³ + (p)³}
= a(2 + p) {(2)² - 2p + (p)²}
= a(2 + p) (4 - 2p + p²)

প্রশ্ন: 2x⁴ + 16x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x⁴ + 16x
= 2x(x³ + 8)
= 2x(x³ + 2³)
= 2x(x + 2)(x² - 2x + 4)

প্রশ্ন: x2 - √3 x+1 = 0 হলে x³+1/x³ এর মান কোনটি?

সমাধান:
সমীকরণটি: x² - √3x + 1 = 0
তাহলে,
x² + 1 = √3x
x + 1/x = √3 [উভয় পাশে 1/x দ্বারা ভাগ করে পাই]

এখন, x + 1/x কে ঘন করে পাই,
x³ + 1/x³ = (x +1/x)³ - 3(x +1/x)
= (√3)³ - 3(√3)
= 3(√3) - 3(√3)
= 0 

6x² - 7x - 5
= 6x² - 10x + 3x - 5
= 2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
= (2x +1) (3x - 5)

প্রশ্ন: (p² - q²) (x² - y²) + 4pqxy এর উৎপাদক কত? 

সমাধান:
(p² - q²) (x² - y²) + 4pqxy
= p²x² - p²y² - q²x² + q²y² + 2pqxy + 2pqxy 
= (p²x² + 2pqxy + q²y²) - (p²y² - 2pqxy + q²x²) 
= (px + qy)² - (py - qx)² 
= (px + qy + py - qx) (px + qy - py + qx)

প্রশ্ন: 2√2x³ + 16√2 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2√2x³ + 16√2
= √2 × (2x³ + 16)
= √2 × 2(x³ + 8)
= √2 × 2(x³ + 2³)
= 2√2(x + 2)(x² - 2x + 4)

8a⁴ + 27ab³
= a (8a³ + 27b³)
= a {(2a)³ + (3b)³}
= a (2a + 3b) {(2a)² - 2a.3b + (3b)²}
= a (2a + 3b) (4a² - 6ab + 9b²)
সুতরাং (2a + 3b) হচ্ছে 8a⁴ + 27ab³ এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x³ + 4x² - px + 10 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 4x² - px + 10
যেহেতু (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক,
∴ x - 2 = 0 ⇒ x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন,
f(2) = (2)³ + 4(2)² - p(2) + 10
= 8 + 4(4) - 2p + 10
= 8 + 16 - 2p + 10
= 34 - 2p

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 34 - 2p = 0
⇒ 2p = 34
⇒ p = 34/2
⇒ p = 17

a² - 4a + 3 = 0
⇒ a² - 3a -a + 3 = 0
⇒ a(a - 3) -1(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a - 1) = 0
⇒ a = 3; a = 1

- 4a² + 25a - 6
= - (4a² - 25a + 6)
= - (4a² - 24a - a + 6)
= - {4a(a - 6) - 1(a - 6)}
= - (a - 6)(4a - 1)

প্রশ্ন: - 4x² + 23x + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
- 4x² + 23x + 6
= - 4x² + 24x - x + 6
= - 4x(x - 6) - 1(x - 6)
= (x - 6)(- 4x - 1)
= {-(6 - x)}{- (4x + 1)}
= (6 - x)(4x + 1)

a⁴ + a²b² +b⁴
= (a²)² + 2.a².b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

1 - 8a³
= 1³ - (2a)³
= (1 - 2a){1² + 1 . 2a + (2a)²}
= (1 - 2a)(1 + 2a + 4a²)