PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৭ / ১৮ · ১,৬০১–১,৭০০ / ১,৭৪৬
প্রশ্ন: 9x2 - (2x - 3y)2 = কত?
সমাধান:
9x2 - (2x - 3y)2
= (3x)2 - (2x - 3y)2
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)}
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y)
= (5x - 3y) (x + 3y)
প্রশ্ন: a2 - 2ab - 63b2 এর একটি উৎপাদক (a + 7b) হলে, অপরটি হবে-
সমাধান:
a2 - 2ab - 63b2
= a2 - 9ab + 7ab - 63b2
= a(a - 9b) + 7b(a - 9b)
=(a - 9b) (a + 7b)
2a² + 6a - 80= 2(a² + 3a -40)
= 2(a² + 8a -5a -40)
= 2{ a(a+8) -5(a+8)}
= 2(a+8)(a-5)
x2 - 7x + 6
= x2 - 6x - x + 6
= x(x-6) - 1 (x-6)
= (x-6) (x-1)
প্রশ্ন: p2 - 9pq - 10q2 এর উৎপাদক কত?
সমাধান:
p2 - 9pq - 10q2
= p2 - 10pq + pq - 10q2
= p(p - 10q) + q(p - 10q)
= (p - 10q)(p + q)
a2 + a + 1
= a2 + 2.a.1 + 11 - a
= (a + 1)2 - (√a)2
= (a + 1 + √a)(a + 1 - √a)
= (a + √a + 1)(a - √a + 1)
প্রশ্ন: (p + 4)(p - 4) কে p2 - 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 5 = 0
⇒ p2 = 5
⇒ p = √5
তাহলে,
f(p) = √5
∴ f(p) = (p + 4) (p - 4)
= p2 - 42
= (√5)2 - 16
= 5 - 16
= - 11
f(x) = x2 + 8x + 15 = 0
∴ f(-3) = (-3)2 + 8(-3) + 15
= 9 - 24 + 15
= 24 - 24
= 0
∴ x = -3
প্রশ্ন: 6z2 + 17z - 28 এর একটি উৎপাদক (z + 4) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
সমাধান:
6z2 + 17z - 28
= 6z2 + 24z - 7z - 28
= 6z(z + 4) - 7(z + 4)
= (z + 4)(6z - 7)
∴ একটি উৎপাদক (z + 4) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে (6z - 7).
ধরি, f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
∴ f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20 = 0
∴ x- (-1) বা, x+1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।
প্রশ্ন: 2m2 - 2m - 24 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
2m2 - 2m - 24
= 2(m2 - m - 12)
= 2(m2 - 4m + 3m - 12)
= 2{m(m - 4) + 3(m - 4)}
= 2(m - 4)(m + 3)
f(x) = 2x3 + 5x2 - 6x + 4
∴ f(-2) = 2(-2)3 + 5(-2)2 - 6(-2) + 4
= - 16 + 20 + 12 + 4
= 20
অর্থাৎ ভাগশেষ 20,
∴ 20 বিয়োগ করতে হবে
x2 + x - 6
= x2 - 2x + 3x - 6
= x(x - 2) + 3(x - 2)
= (x - 2)(x + 3)
প্রশ্ন: a2 - 1 + 2b - b2 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
a2 - 1 + 2b - b2
= a2 - (b2 - 2b +1)
= a2 - (b - 1)2
= (a + b - 1)(a - b +1)
প্রশ্ন: (x + 5)(x - 5) কে x2 - 20 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
সমাধান:
(x + 5)(x - 5)
= x2 - 52
= x2 - 25
এখন,
x2 - 20) x2 - 25 ( 1
x2 - 20
—————————
- 5
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 5
প্রশ্ন: f(x) = x3 + 4x2 + x - 6 হলে, নিচের কোনটি f(x) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?
সমাধান:
ধরি,
x = 1
∴ f(1) = 13 + 4 .12 + 1 - 6
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6
= 0
∴ (x - 1) হলে f(x) এর একটি উৎপাদক
f(x) = x3 + 4x2 + x - 6
= x3 - x2 + 5x2 - 5x + 6x - 6
= x2(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x2 + 5x + 6)
= (x - 1)(x2 + 2x + 3x + 6)
= (x - 1){x(x + 2) + 3(x + 2)}
= (x - 1)(x + 2)(x + 3)
2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2
= 2x4 - 2x3 - 3x3 + 3x2 + 3x2 - 3x -2x + 2
= 2x3(x-1) - 3x2(x-1) + 3x(x-1) - 2(x-1)
= (x-1) (2x3 - 3x2 + 3x - 2)
Let, f(a) = a³ -3ab² + 2b³
Then, f(-2b) = (-2b)³ -3(-2b)b² + 2b³
= -8b³ + 6b³ + 2b³ = 0
So, (a+2b) is the answer.
প্রশ্ন: x3 - 2x2 কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বহুপদী রাশি f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।
এখানে, ভাজ্য: f(x) = x3 - 2x2
ভাজক: g(x) = x - 3
এখন, x = 3 মানটি f(x)-এ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি,
f(3) = (3)3 - 2(3)2
= 27 - 18
= 9
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 9
x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)
প্রশ্ন: x(x + 3)(x + 4)(x - 1) + 4 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x(x + 3)(x + 4)(x - 1) + 4
= {x(x + 3)}{(x + 4)(x - 1)} + 4
= (x2 + 3x)(x2 + 3x - 4) + 4
ধরি, x2 + 3x = a
প্রদত্ত রাশি,
= a(a - 4) + 4
= a2 - 4a + 4
= (a - 2)2
= (x2 + 3x - 2)2 ; [a এর মান বসিয়ে]
3x2 + x - 10
= 3x2 + 6x - 5x - 10
= 3x(x+2) - 5(x+2)
= (x+2)(3x - 5)
a2 + a + 1
= a2 + 2.a.1 + 12 - a
= (a + 1)2 - (√a)2
= (a + 1 + √a)(a + 1 - √a)
= (a + √a + 1)(a - √a + 1)
প্রশ্ন: x2 - y2 - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y + 1)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1)(x - y - 1)
প্রশ্ন: যদি q2 - 11q + 30 এবং q2 - 8q + 15 হয়, সাধারণ উৎপাদক কত?
সমাধান:
১ম রাশি,
q2 - 11q + 30
= q2 - 6q - 5q + 30
= q(q - 6) - 5(q - 6)
= (q - 6)(q - 5)
২য় রাশি,
q2 - 8q + 15
= q2 - 5q - 3q + 15
= q(q - 5) - 3(q - 5)
= (q - 5)(q - 3)
সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক (q - 5)
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)
2x2+ x - 15
= 2x2 + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3)
= (x + 3)(2x - 5)
f(x) = ax2 + 3x - a,
∴ 2x - 1,
f(x) এর একটি উৎপাদক
∴ f(1/2) = 0
বা, a(1/2)2 + 3.1/2 - a = 0
বা, a/4 + 3/2 - a = 0
বা, a + 6 - 4a = 0
বা, -3a = -6
∴ a = 2
প্রশ্ন: x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?
সমাধান:
x3 - 7x - 6
= x3 + x2 - x2 - x - 6x - 6
= x2 (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3)