PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৫ / ১৮ · ১,৪০১–১,৫০০ / ১,৭৪৬
প্রশ্ন: 6x2 - 7x - 20 এর উৎপাদক হচ্ছে -
সমাধান:
6x2 - 7x - 20
= 6x2 - 15x + 8x - 20
= 3x(2x - 5) + 4(2x - 5)
= (3x + 4) (2x - 5)
প্রশ্ন: 4x4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?
সমাধান:
4x4 + 1
= (2x2)2 + 12
= (2x2)2 + 2.(2x2).1 +(1)2 - 4x2
= (2x2 + 1)2 - (2x)2
= (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x + 1)
প্রশ্ন: 3x3 - 4x2 + 2x + 5 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
যে রাশিতে (x - 1) = 0 বা, x = 1 বসালে রাশিটির মান শূণ্য হয় সে রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
f(x) = 3x3 - 4x2 + 2x + 5
∴ f(1) = 3(1)3 - 4(1)2 + 2(1) + 5
= 3 - 4 + 2 + 5
= 6
∴ রাশিটি থেকে 6 বিয়োগ করলে (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
প্রশ্ন: x2 - 12x + Q বহুপদী রাশিটি যদি x - 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
f(x) = x2 - 12x + Q
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি বহুপদীটি x - 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(7) = 0 হবে।
∴ (7)2 - 12 × 7 + Q = 0
⇒ 49 - 84 + Q = 0
⇒ - 35 + Q = 0
⇒ Q = 35
সুতরাং, Q এর মান 35
এখানে,
f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(4) = 64 - 96 + 44 - 6
= 6
∴ x - 4, f(x) এর উৎপাদক নয়।
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20)
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1)(a + 4)(a - 5)
x³ - 8(x - y)³
= x³ - (2x - 2y)³
= (x - 2x + 2y){(x² + x(2x - 2y) + (2x - 2y)²}
= (-x + 2y)(x2 + 2x2 - 2xy + 4x2 - 8xy + 4y2)
= (-x + 2y)(7x² - 10xy + 4y²)
প্রশ্ন: y3 - 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
y3 - 2√2
= y3 - (√2)3
= (y - √2)(y2 + y√2 + (√2)2)
= (y - √2)(y2 + y√2 + 2)
প্রশ্ন: k এর মান কত হলে a2 + 4a - 7 + k = 0 সমীকরণ এর একটি উৎপাদক (a + 2) হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + 4a - 7 + k = 0
যদি (a + 2), f(a) এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে f(- 2) = 0 হবে।
এখন,
f(- 2) = 0
⇒ (- 2)2 + 4(- 2) - 7 + k = 0
⇒ 4 - 8 - 7 + k = 0
⇒ -11 + k = 0
∴ k = 11
f(x) = x2 + 7x - 60,
x - a দ্বারা বিভাজ্য
∴ f(a) = a2 + 7a - 60 = 0
বা, a2 + 12a - 5a - 60 = 0
বা, a(a + 12) - 5(a + 12) = 0
বা, (a + 12)(a - 5) = 0
∴ a = -12, 5
2x2 - xy - 6y2
= 2x2 - 4xy + 3xy -6y2
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)
(1−x2) / (1+x)
= [(1+x) (1-x)] / (1+x) = (1-x)
3x²-16x-12
= 3x2+2x−18x−12
= x(3x+2)−6(3x+2)
= (3x+2)(x−6)
প্রশ্ন: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
= x(x + 3){(x + 1)(x + 2)} + 1
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1
ধরি,
x2 + 3x = P
প্রদত্ত রাশি,
P(P + 2) + 1
= P2 + 2P + 1
= (P + 1)2
= (x2 + 3x + 1)2 ; [P এর মান বসিয়ে]
x + 1, দ্বারা f(x) নিঃশেষে বিভাজ্য হলে f(-1) = 0
বা, a(-1)2 - (a - 1)(-1) - (a + 2) = 0
বা, a + a - 1 - a - 2 = 0
বা, a - 3 = 0
∴ a = 3
প্রশ্ন: a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1
= a(a + 3){(a + 1)(a + 2)} + 1
= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1
ধরি,
a2 + 3a = P
প্রদত্ত রাশি,
P(P + 2) + 1
= P2 + 2P + 1
= (P + 1)2
= (a2 + 3a + 1)2 ; [P এর মান বসিয়ে]
প্রশ্ন: 2x3 + 3x2 - 5x + 7 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
যে রাশিতে (x + 2) = 0 বা, x = - 2 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, সে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
f(x) = 2x3 + 3x2 - 5x + 7
∴ f(- 2) = 2(- 2)3 + 3(- 2)2 - 5(- 2) + 7
= 2(- 8) + 3(4) + 10 + 7
= - 16 + 12 + 10 + 7
= 13
∴ রাশিটি থেকে 13 বিয়োগ করলে (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
২৫) a³ + b³, (a + b)³ এবং (a² - b²)² এর ল.সা.গু. কত?
১ম রাশি = a³ + b³
= (a + b)(a² - ab + b²)
২য় রাশি = (a + b)³
= (a + b)(a + b)(a + b)
৩য় রাশি = (a² - b²)²
= (a + b )(a - b)(a + b)(a - b)
∴ ল.সা.গু. = (a + b)³(a - b)2(a² - ab + b²)
প্রশ্ন: 9x2 − (2x − 3y)2 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
9x2 − (2x − 3y)2
= (3x)2 − (2x − 3y)2
= {3x + (2x − 3y)} {3x − (2x − 3y)}
= (3x + 2x − 3y) (3x − 2x + 3y)
= (5x − 3y) (x + 3y)
প্রশ্ন: x2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত?
সমাধান:
x2 - 1 - y(y - 2)
= x2 - 1 - y2 + 2y
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)
প্রশ্ন: 4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
4a4 - 25a2 + 36
= 4a4 - 16a2 - 9a2 + 36
= 4a2(a2 - 4) - 9(a2 - 4)
= (a2 - 4)(4a2 - 9)
= (a2 - 22){(2a)2 - 32}
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)
প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - 8xy + 7y2
সমাধান:
x2 - 8xy + 7y2
= x2 - xy - 7xy + 7y2
= x(x - y) - 7y(x - y)
= (x - y)(x - 7y)
= (x - 7y)(x - y)
প্রশ্ন: a2 - b2 + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-
সমাধান:
a2 - b2 + 2b - 1
= a2 - (b2 - 2b + 1)
= a2 - (b - 1)2
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1)(a - b + 1)
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2p2 + 2p - 60 এর একটি উৎপাদক নয়?
সমাধান:
2p2 + 2p - 60
= 2(p2 + p - 30)
= 2(p2 + 6p - 5p- 30)
= 2{p(p + 6) - 5(p + 6)}
= 2(p + 6)(p - 5)