বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: 3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে- 

সমাধান: 
ধরি, 
P(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20

এখানে, 
P(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21. (-1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

যেহেতু, x - 3, f(x) = x³ + kx² - 6x - 9 এর একটি উৎপাদক -

∴ f(x) = x³ + k.3² - 6.3 - 9
বা, 27 + 9K - 18 - 9 = 0
বা, 9k = 0
∴ k = 0

প্রশ্ন: m² + 8m + 15 এর উৎপাদক- 

সমাধান: 
m² + 8m + 15
= m² + 5m + 3m + 15
= m (m + 5) +3 (m + 5)
= (m + 5) (m + 3)

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³ রাশিটির একটি উৎপাদক a - 1 হলে, অপর একটি উৎপাদক কী?

সমাধান:
a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: x + 1/x = √6 হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x +1/x ​= √6​
তাহলে,
(x +1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x)
⇒ x³ + 1/x³ = (x +1/x)³ - 3(x + 1/x)
মান বসিয়ে পাই:
x³ + 1/x³ = (√6)³ - 3(√6) = 6√6 - 3√6 = 3√6

∴ x³ + 1/x³ এর মান 3√6

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)}
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

এখানে,
(a + b - 3c )³ - a - b + 3c
= (a + b - 3c)³ - (a + b - 3c) 
= (a + b - 3c) {(a + b - 3c)² - 1}
= (a + b - 3c) {(a + b - 3c )² - 1²}
= (a + b - 3c)(a + b - 3c + 1)(a + b - 3c - 1)

প্রশ্ন: 3x³ + 8x² + x - 6 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান:
ধরি, f(x) = 3x³ + 8x² + x - 6
f(- 2) = 3(- 2)³ + 8(- 2)² + (- 2) - 6
= - 24 + 32 - 2 - 6 = 0

∴ (x + 2), f(x)-এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 9a² + 18a - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
9a² + 18a - 40
= 9a² + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)

x3 + 3√3
= x3 + (√3)3
= (x + √3) {x² - x.√3 + (√3)²}
= (x + √3) (x² - √3x + 3)

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2. a .3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1) 
= (a + 3)² - (y - 1)² 
= (a + 3 + y - 1) (a + 3 - y + 1) 
= (a + y + 2) (a - y + 4)

প্রশ্ন: x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান:
x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8
= x² - 4xy + 4y² - 2x + 4y - 8
= {x² - 2 . x . 2y + (2y)²} - 2(x - 2y) - 8
= (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8

ধরি,
x - 2y = t
এখন, 
t² - 2t - 8
= t² - 4t + 2t - 8
= t(t - 4) + 2(t - 4)
= (t - 4)(t + 2)
= (x - 2y - 4)(x - 2y + 2) [t এর মান বসিয়ে]

f(x) = x² + ax - 10 এর একটি উৎপাদক x - 5 হলে,
f(5) = 0
বা, 25 + 5a - 10 = 0
বা, 5a + 15 = 0
বা, 5a = -15
∴ a = -3

x⁴ + x² + 1
= {(x²)² + 2.x².1 + 1²} - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

x²+x-20
= x²+5x-4x-20
= x(x+5) - 4(x+5)
= (x+5)(x-4)

প্রশ্ন: যদি x³ - 6x² + 11x + p = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 5) হয়, তাহলে p এর মান কত? 

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x + p
∴ f(5) = (5)³ - 6(5)² + 11(5) + p
= 125 - 150 + 55 + p
= 30 + p

এখন,
x³ - 6x² + 11x + p এর একটি উৎপাদক x - 5 হলে, f(5) = 0 হবে।
∴ f(5) = 0
⇒ 30 + p = 0
⇒ p = - 30

সুতরাং, p এর মান - 30

প্রশ্ন: x² − 5ax − 66a² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² − 5ax − 66a²
= x² − 11ax + 6ax − 66a²
= x(x − 11a) + 6a(x − 11a)
= (x − 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x − 11a)

x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

a² + a + 1
= a² + 2. a. 1 + 1¹ - a
= (a + 1)² - (√a)²
= (a + 1 + √a) (a + 1 - √a)
= (a + √a + 1) (a - √a + 1)

যেহেতু, (x - 5) দ্বারা x² + 7x + p বিভাজ্য, সেহেতু, 5² + 7(5) + p = 0 হবে।
বা, 25 + 35 + p = 0
∴ p = -60

প্রশ্ন: x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক - 

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি p³ - p - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = p³ - p - 24 
∴ f(3) = (3)³ - 3 - 24
= 27 - 27
= 0

অতএব, (p - 3), f(p) এর একটি উৎপাদক।
এখন,
 p³ - p - 24
= p³ - 3p² + 3p² - 9p + 8p - 24
= p²(p - 3) + 3p (p - 3) + 8(p - 3)
= (p - 3)(p² + 3p + 8)

4X² - 9X - 9
= 4x² - 12x + 3x - 9
= 4x(x - 3) + 3(x - 3)
= (x - 3)(4x + 3)

প্রশ্ন: x³ - 7x² + ax + 18 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 7x² + ax + 18
যেহেতু (x - 3) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 3 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন,
f(3) = (3)³ - 7(3)² + a(3) + 18
= 27 - 7(9) + 3a + 18
= 27 - 63 + 3a + 18
= - 18 + 3a

শর্তমতে, f(3) = 0
⇒ - 18 + 3a = 0
⇒ 3a = 18
∴ a = 6

যেহেতু f(x) = x³ - ax - 24 এর একটি উৎপাদক x - 3
∴ f(3) = 0
বা, 3³ - a.3 - 24 = 0
বা, 27 - 3a - 24 = 0
বা, 3a = 3
∴ a = 1

a⁵ + 4a
= a(a⁴ + 4)
= a{(a²)² + (2)²}
= a{(a² + 2)² - 2.a².2}
= a{(a² + 2)² - (2a)²}
= a(a² + 2 + 2a)(a² + 2 - 2a)
= a(a² + 2a + 2)(a² - 2a + 2)

x² + x - 2
= x² + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

প্রশ্ন: 2 - 5x - 12x² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2 - 5x - 12x²
= 2 + 3x - 8x - 12x²
= 1(2 + 3x) - 4x(2 + 3x)
= (2 + 3x)(1 - 4x)
= (3x + 2)(1 - 4x)

১ম রাশি=4(x² + ax)²
= 2×2×x²(x + a)²
২য় রাশি= 6(x³ -a²x)
= 2×3×x(x +a)(x - a)
৩য় রাশি = 14x³(x³ -a³)
= 2×7×x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³)

প্রশ্ন: ​10x² - 27x + 18 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
​10x² - 27x + 18​
​= 10x² - 12x - 15x + 18
​= 2x(5x - 6) - 3(5x - 6)
​= (5x - 6)(2x - 3)

প্রশ্ন: 2a² - 5a - 12 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² - 5a - 12
= 2a² - 8a + 3a - 12
= 2a(a - 4) + 3(a - 4)
= (2a + 3) (a - 4)

x² + x - 240
= x² + 16x - 15x - 240
= x(x + 16) -15(x + 16)
= (x + 16)(x - 15)