বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: a² - 5a - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a² - 5a - 6
= a² - 6a + a - 6
= a(a - 6) + 1(a - 6)
= (a - 6)(a + 1)

x² - 1 - y(y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

x + 1 দ্বারা f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 30 বিভাজ্য
∴ ভাগশেষ f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 30
= -3 + 2 + 21 - 30
= 23 - 33
= -10

এখানে,
f(a) = a³ - 6a² + 16
∴ f(2) = 2³ - 6.2² + 16
= 8 - 24 + 16
= 24 - 24
= 0
∴ a - 2,
f(a) এর উৎপাদক

6x²-13x-8
= 6x²-16x+3x-8
= 2x(3x - 8) + 1(3x - 8)
= (3x - 8) (2x + 1)

a² - c² + 2bc - b²
= a² - (b² - 2bc + c²)
= a² - (b - c)²
= (a + b - c)(a - b + c)

x³ - 729
= x³ - 9³
= (x - 9)(x² + 9x + 81)

প্রশ্ন: x² - a² + 2ab - b² এর একটি উৎপাদক (x + a - b) হলে, অপর উৎপাদকটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - a² + 2ab - b²
= x² - (a² - 2ab + b²)
= x² - (a - b)²
= (x + a - b)(x - a + b)

সুতরাং, x² - a² + 2ab - b² এর একটি উৎপাদক (x + a - b) হলে, অপর উৎপাদকটি হলো (x - a + b)। 

প্রশ্ন: P(x) = x³ + 3x² + 2x হলে, P(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P(x) = x³ + 3x² + 2x
= x(x² + 3x + 2)
= x(x² + 2x + x + 2)
= x{x(x + 2) + 1(x + 2)}
∴ P(x) = x(x + 1)(x + 2) 

সুতরাং, P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 1)। 

x²+x-20
= x²+5x-4x-20
= x(x+5) - 4(x+5)
= (x+5)(x-4)

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ƒ(8) = 0
∴ ƒ(8) = 8² - k8 - 48 = 0
⇒ 16 - 8k = 0
⇒ k = 16/8 = 2

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
ধরি
f(a) = a³ - 7a - 6
f(- 1) =( - 1)³ - 7( - 1) - 6
f( - 1) = - 1 + 7 - 6
f(- 1) = 7 - 7
f(- 1) = 0

এখন
 a³ - 7a - 6 
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6 
= a² (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1) 
= (a + 1)(a² - a - 6) 
= (a + 1)(a² - 3a + 2a - 6) 
= (a + 1){a (a - 3) + 2 (a -3)} 
= (a + 1)(a - 3) (a + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .

প্রশ্ন: (p² - 5p + 6) এবং (p² - 7p + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(p² - 5p + 6)
= p² - 3p - 2p + 6
= p(p - 3) - 2(p - 3)
= (p - 3)(p - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(p² - 7p + 12)
= p² - 3p - 4p + 12
= p(p - 3) - 4(p - 3)
= (p - 3)(p - 4)

সাধারণ উৎপাদক = (p - 3)

f(-5) = (-5)² + 7(-5) + a
= 25 - 35 + a
= a - 10
∴ f(-5) = 0 হলে,
a - 10 = 0
∴ a = 10

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (q - 1)² - 36 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 (q - 1)² - 36 
= (q - 1)² - 6²
= (q - 1 + 6)(q - 1 - 6)
= (q + 5)(q - 7)

x² - 10x + 16
= x² - 2x.5 + 5² - 9
= (x - 5)² - 9
∴ x = 5 এর জন্য রাশির মান সর্বনিম্ন।
(কেননা, x = 5 হলে রাশিটির মান হয় -9)

প্রশ্ন: 1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
1 - a² - 2ab - b²
= 1 - (a² + 2ab + b²)
= 1 - (a + b)²
= (1 + a + b)(1 - a - b)

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1){x² - x - 6}
= (x + 1){x² - 3x + 2x - 6}
= (x + 1){x(x - 3) + 2(x - 3)}
= (x + 1)(x - 3)(x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1)(x + 2)(x - 3)

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 এর একটি উৎপাদক (x² + 1) হলে, অপর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
x⁴ + 2x² + 1
= (x²)2 + 2 . x² . 1 + 1² 
= (x² + 1)²
= (x² + 1)(x² + 1)

সুতরাং, x⁴ + 2x² + 1 এর একটি উৎপাদক (x² + 1) হলে, অপর উৎপাদক (x² + 1)। 

প্রশ্ন: y² - 2yz - 4z - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
y² - 2yz - 4z - 4
= y² - 4 - 2yz - 4z
= y² - 2² - 2z(y + 2)
= (y + 2)(y - 2) - 2z(y + 2) ; [a² - b² = (a + b)(a - b)]
= (y + 2)(y - 2 - 2z)
= (y + 2)(y - 2z - 2)

প্রশ্ন: x³ - 6x² + ax - 8 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 4) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + ax - 8
যেহেতু (x - 4) একটি উৎপাদক, সেহেতু f(4) = 0

এখন, 
f(4) = (4)³ - 6(4)² + a(4) - 8
= 64 - 6 × 16 + 4a - 8
= 64 - 96 + 4a - 8
= (64 - 96 - 8) + 4a
= - 40 + 4a

শর্তমতে,
f(4) = 0
⇒ 4a - 40 = 0
⇒ 4a = 40
∴ a = 10

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 2. 2x². 1 + 1² - 4x²
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
∴ f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) -20 = 0
সুতরাং x - (-1) বা x + 1 হলো রাশিটির একটি উৎপাদক।

a³ (b–c) + b³ (c–a) + c³ (a–b)
= a³ (b–c) + b³ c –ab³ + ac³ –bc³
= a³ (b–c) – a(b³ –c³ ) + bc(b² –c²)
= (b–c) {a³ – a (b² + bc + c² )+ bc(b+c)}
= (b–c) (a³ – ab² – abc – ac² + b²c + bc² )
= (b–c) { – b² (a –c) – bc (a– c)+ a (a² – c²)}
= (b–c) (a –c) (– b² – bc+ a² + ac)
= (b–c) (a– c) {c (a – b) + (a² – b² )}
= (b–c) (a– c) (a –b) (c+a+b)

এখানে,
f(-1) = 0
∴ (x+1) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।
এখন,
3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x^{2 -} x - 20x - 20
= 3x² (x+1) - x (x+1) - 20 (x+1)
= (x+1) (3x² - x - 20)

প্রশ্ন: x² - 5x - 24 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 5x - 24
= x² - 8x + 3x - 24
= x(x - 8) + 3(x - 8)
= (x - 8)(x + 3)

প্রশ্ন: 1 - x² + 2xy - y²  এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
1 - x² + 2xy - y²
= 1 - (x² - 2xy + y²)
= 1² - (x - y)²
= (1 + x - y)(1 - x + y)

প্রশ্ন: ax² + (a² + 1)x + a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ax² + (a² + 1)x + a
= ax² + a²x + x + a
= ax(x + a) + 1(x + a)
= (x + a)(ax + 1)

প্রশ্ন: a² - 10a + P বহুপদী রাশিটি যদি a - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a² - 10a + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি a² - 10a + P বহুপদী রাশিটি a - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ a² - 10a + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16

প্রশ্ন: 4a² + 5a - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
4a² + 5a - 9
= 4a² - 4a + 9a - 9
= 4a(a - 1) + 9(a - 1)
= (a - 1)(4a + 9)

y² + 2xy - 2x - 1
= y² - 1 + 2xy - 2x
= (y + 1)(y - 1) + 2x(y - 1)
= (y - 1)(2x + y + 1)

x² - (a + 1/a)x + 1
= x² - ax - (1/a)x + 1
= x(x - a) - 1/a(x - a)
= (x - a) (x - 1/a)

y² + 2xy - 2x - 1
= y² - 1 + 2xy - 2x
= (y + 1)(y - 1) + 2x(y - 1)
= (y - 1)(2x + y + 1)