বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

x²+ 5x - 6
= x² + 6x - x - 6
= x(x + 6) -1(x + 6)
= (x +6)(x - 1)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a³ + 2a - 5 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (a - 1), 3a³ + 2a -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3a³ + 2a - 5
= 3a³ - 3a² + 3a² - 3a + 5a - 5
= 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) + 5(a - 1)
= (a - 1)(3a² + 3a + 5)

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
 x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4) 
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²} 
= x² - (y - 2)² 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

x² - y² - 2x + 1
= (x² - 2x + 1) - y²
= (x - 1)² - y²
= (x + y - 1)(x - y - 1)

প্রশ্ন: a² - b² + 4bc - 4c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 4bc - 4c²
= a² - {b² - 2.b.2c + (2c)²}
= a² - (b - 2c)²
= (a + b - 2c) (a - b + 2c)

a⁵ + 4a
= a(a⁴ + 4)
= a{(a²)² + 2²}
= a{(a² + 2)² - 2.a².2}
= a{(a² + 2)² - (2a)²}
= a(a² + 2a + 2)(a² - 2a + 2)

প্রশ্ন: 2a² + 7ab - 15b² রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
2a² + 7ab - 15b²
= 2a² + 10ab - 3ab - 15b²
= 2a(a + 5b) - 3b(a + 5b)
= (a + 5b)(2a - 3b)

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: x³ + bx² - 5x + b  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + bx² - 5x + b
যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 1 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(1) নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + b(1)² - 5(1) + b
= 1 + b - 5 + b
∴ f(1) = 2b - 4

শর্তমতে,
f(1) = 0
⇒ 2b - 4 = 0
⇒ 2b = 4
∴ b = 2

প্রশ্ন: 2x³ + 5x² - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো, x = 2 বসালে রাশির মান শূন্য হতে হবে।

প্রদত্ত রাশি, f(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 4
f(2) = 2(2)³ + 5(2)² - 6(2) + 4 ; [x = 2 বসিয়ে] 
= 2(8) + 5(4) - 12 + 4
= 16 + 20 - 12 + 4
= 36 - 12 + 4
= 28

সুতরাং, 28 বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

4x⁴ - 25x² + 36
= (2x²)² - 2.2x².6 + 6² - x²
= (2x² - 6)² - x²
= (2x² + x - 6)(2x² - x - 6)
= (2x² + 4x - 3x - 6)(2x² - 4x + 3x - 6)
= [2x(x + 2) - 3(x + 2)][2x(x - 2) + 3(x - 2)]
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)

প্রশ্ন: x³ + ax + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + ax + 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
∴ উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, f(2) = 0 হবে।

এখন, f(2) = (2)³ + a(2) + 6
= 8 + 2a + 6
= 14 + 2a

প্রশ্নমতে,
14 + 2a = 0
বা, 2a = - 14
বা, a = - 14/2
∴ a = - 7

6p² - 11p - 150
= 6p² - 36p +25p - 150
= 6p (p - 6) + 25 (p - 6)
= (p - 6) (6p + 25)

2a² + 7ab - 15b²
⇒ 2a² + 10ab -3ab - 15b²
⇒ 2a(a+5b) - 3b(a+5b)
⇒(a+5b)(2a-3b)

প্রশ্ন: x² + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 13x - 90
= x² + 18x - 5x - 90
= x(x + 18) - 5(x + 18)
= (x + 18)(x - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক = (x - 5)

x⁶ - y⁶
= (x³)² - (x³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x − y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x − y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

x² - y² + 4x + 4
= (x² + 4x + 4) - y²
= (x + 2)² - y²
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)
= (x + y + 2)(x - y + 2)

প্রশ্ন: a² - b² + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a² - b² + 8b - 16
= a² - (b² - 8b + 16)
= a² - (b - 4)²
= (a + b - 4)(a - b + 4)

4x⁴-25x²+36
= (2x²)² - 2.2x.6 + (6)² - x²
= (2x²-6)² - x²
= (2x²-6+x)(2x²-6-x)
= (2x²+4x-3x-6)(2x²-4x+3x-6)
= {2x(x+2) - 3(x+2)}{2x(x-2) + 3(x-2)}
= (x+2)(2x-3)(x-2)(2x+3)

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: x² + 5x + 6-এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 5x + 6
= x² + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)

প্রশ্ন: b² + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
b² + 7b - 120
= b² - 8b + 15b - 120
= b(b - 8) + 15(b - 8)
= (b - 8)(b + 15)

x² - x - 72
= x² - 9x + 8x - 72
= x(x - 9) + 8(x - 9)
= (x - 9)(x + 8)

4a² + (1/4a²) - 2 + 4a - (1/a)
= 2a² - 2 . 2a(1/2a) + (1/2a²) + 2{2a - (1/2a)}
= {2a - (1/2a)}² + 2{2a - (1/2a)}
= (2a - 1/2a) (2a - 1/2a + 2)

প্রশ্ন: 9a² - (2a - 3b)² = কত?

সমাধান:
9a² - (2a - 3b)²
= (3a)² - (2a - 3b)²
= {3a + (2a - 3b)} {3a - (2a - 3b)}
= (3a + 2a - 3b)(3a - 2a + 3b)
= (5a - 3b)(a + 3b)

m² + m - 30
= m² + 6m - 5m - 30
= m(m+6) - 5(m+6)
= (m+6)(m-5)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - s² - 2st - t² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - s² - 2st - t²
= 1 - (s + t)²
= (1)² - (s + t)²
= {1 + (s + t)} {1 - (s + t)}
= (1 + s + t) (1 - s - t)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
i. যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় x + 4, তবে P(- 4) = 0
ii. যদি P(x) কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P (1/2)
iii. যদি x = 1 হলে P(1) = 0, তবে বহুপদীর সব সহগের যোগফল হবে 1.

সমাধান:
i)যদি x + 4, P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে P(- 4) = 0,
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে এটি সঠিক।

ii) যদি P(x)-কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(1/2)।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী: ax − b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় P(b/a)।
এখানে a = 2, b = 1, তাই ভাগশেষ = P(1/2), এটি সঠিক।

iii) যদি P(1) = 0 হয়, তাহলে যোগফল 0, 1 নয়।
সুতরাং এটি ভুল।

প্রশ্ন: 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² + 6a - 80
= 2(a² + 3a - 40)
= 2(a² + 8a - 5a - 40)
= 2{a(a + 8) - 5 (a + 8)}
= 2(a + 8)(a - 5)

∴ 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক (a + 8)

9x² - 9x - 4
= 9x² + 3x -12x - 4
= 3x (3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

প্রশ্ন: 3p² - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান:
3p² - 8p + 5
= 3p² - 3p - 5p +5
= 3p(p - 1) - 5(p - 1)
= (p - 1) (3p - 5)

16y² - a² - 6a - 9
= 16y² - (a² + 6a + 9)
= (4y)² - (a + 3)²
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)

x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x² - 5x + 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1) 
=  (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: 2x² + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x² + kx - 10
x - 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(5) = 0 হবে।

∴ f(5) = 2(5)² + k(5) - 10
= 50 + 5k - 10
= 5k + 40

শর্তমতে,
5k + 40
⇒ 5k = - 40
⇒ k = - 40/5
∴ k = - 8

7x – 2 – 3x² = 0
x = [-7 ± √{(7)² - 4.3.1}]/2.(-3)
x = (-7 ± √25)/-6
x = - (7 ± 5)/-6
x = 1/3, 2

প্রশ্ন:  নিচের কোনটি a³ - 7a² + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 7a² + 14a - 8
= a³ - a² - 6a² + 6a + 8a - 8
= a²(a - 1) - 6a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(a² - 6a + 8)
= (a - 1)(a² - 4a - 2a + 8)
= (a - 1){a(a - 4) - 2(a - 4)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 4)

∴ (a + 4) উৎপাদক নয়।

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে x² + 5x + 3 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x + 2) হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে, f(x) = x² + 5x + 3 + k = 0।
যদি (x + 2) f(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে f(- 2) = 0 হবে।

এখন, f(- 2) = 0 
⇒ (- 2)² + 5(- 2) + 3 + k = 0
⇒ 4 - 10 + 3 + k = 0
⇒ - 3 + k = 0
∴ k = 3

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)