লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

মোট প্রশ্ন১,৭৪৬এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ১ / ১৮ · ১–১০০ / ১,৭৪৬

১.
যেকোনো অশূন্য ধ্রুবক প্রদত্ত যেকোনো চলকের - মাত্রার বহুপদী। 
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
যেকোনো অশূন্য ধ্রুবক প্রদত্ত যেকোনো চলকের শূন্য মাত্রার বহুপদী।
০ সংখ্যাটি  শূন্য বহুপদী বিবেচনা করা হয় এবং শূন্য বহুপদীর মাত্রা অসঙ্গায়িত ধরা হয়।
২.
নিচের কোনটি ab(x - y) - bc(x - y) এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a - c)
  2. খ
    (x + y)
  3. গ
    (b - c)
  4. ঘ
    (a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  নিচের কোনটি ab(x - y) - bc(x - y) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ab(x - y) - bc(x - y)
= (x - y)(ab - bc)
= (x - y){b(a - c)}
= b(x - y)(a - c)
৩.
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y  রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + y - 2)
  2. খ
    (a - y + 4)
  3. গ
    (a - y + 2) 
  4. ঘ
    (a + y + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 6a + 8 - y2 + 2y  রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি হলো , 
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
= a2 + (2 × a × 3) + 32 - 1 - y2 + 2y
= (a + 3)2 - (y2 - 2y +1)
= (a + 3)2 - (y - 1)2
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)
৪.
x2 + x - 20 = ?
  1. ক
    ক) (x - 5)(x + 4)
  2. খ
    খ) (x + 5)(x - 4)
  3. গ
    গ) (x + 10)(x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 10)(x + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - 20 = ?

সমাধান:
x2 + x - 20
= x2 + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4(x + 5)
= (x + 5)(x - 4)
৫.
x2 + 5x - 6 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + 1
  2. খ
    খ) x - 6
  3. গ
    গ) -x - 1
  4. ঘ
    ঘ) x - 1
ব্যাখ্যা

x2+ 5x - 6
= x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) -1(x + 6)
= (x +6)(x - 1)

৬.
(x - a)(x - b) = ?
  1. ক
    ক) x2 + (a + b)x + ab
  2. খ
    খ) x2 + (a + b)x - ab
  3. গ
    গ) x2 - (a + b)x - ab
  4. ঘ
    ঘ) x2 - (a + b)x + ab
ব্যাখ্যা
সূত্র:
(x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab

এখানে, (x - a)(x - b)
= x(x - b) - a(x - b)
= x2 - bx - ax + ab
= x2 - (a + b)x + ab
৭.
4x2 - 4xy + y2 - z2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (2x + y + z)(2x - y - z) 
  2. খ
    (2x - y + z)(2x - y - z) 
  3. গ
    (2x - y - z)(2x + y - z) 
  4. ঘ
    (2x - y + z)(2x + y + z) 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 4xy + y2 - z2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
4x2 - 4xy + y2 - z2
= (2x)2 - 2.2x.y + (y)2 - z2
= (2x - y)2 - (z)2
= (2x - y + z)(2x - y - z) 
৮.
নিচের কোনটি 3a3 + 2a - 5 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a + 2)
  2. খ
    (a - 3)
  3. গ
    (3a2 + 3a + 5)
  4. ঘ
    (2a2 - 5a + 6)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a3 + 2a - 5 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a3 + 2a - 5
∴ f(1) = 3(1)3 + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (a - 1), 3a3 + 2a -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3a3 + 2a - 5
= 3a3 - 3a2 + 3a2 - 3a + 5a - 5
= 3a2(a - 1) + 3a(a - 1) + 5(a - 1)
= (a - 1)(3a2 + 3a + 5)

৯.
x8 - x4 - 2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    (x4 - 2)(x4 + 1)
  2. খ
    (x4 - 2)(x4 + 3)
  3. গ
    (x2 - 2)(x2 + 1)
  4. ঘ
    (x3 - 2)(x5 + 2)
ব্যাখ্যা
x8 - x4 - 2 
= x8 - 2x4 + x4 - 2
= x4 (x4 - 2) + 1(x4 - 2)
= (x4 - 2)(x4 + 1)
১০.
f(x) = (x2 + y2)3 + 8x3y3 হলে, f(- y) = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
f(x) = (x2 + y2)3 + 8x3y3
f(- y) = {(- y)2 + y2}3 + 8(- y)3y3
= (y2 + y2)3 - 8(y3)2
= (2y2)3 - 8y6
= 8y6 - 8y6
= 0
১১.
2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (2x + 1)
  2. খ
    (x - 7)
  3. গ
    (2x + 7)
  4. ঘ
    (2x - 7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
2x2 - 5x - 7 
= 2x2 - 7x + 2x - 7 
= x(2x - 7) + (2x - 7) 
= (2x - 7)(x + 1) 

∴ 2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক (x + 1) এবং (2x - 7). 
১২.
x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 
  1. ক
    x - 2y + 1 
  2. খ
     x - y - 2 
  3. গ
    x + y - 2 
  4. ঘ
     x + y + 2 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
 x2 - y2 + 4y - 4 
= x2 - (y2 - 4y + 4) 
= x2 - {(y)2 - 2. y. 2 + (2)2} 
= x2 - (y - 2)2 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

১৩.
x2 - y2 - 2x + 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    x + y + 1
  2. খ
    x - y + 1
  3. গ
    x + y - 1
  4. ঘ
    x + y
ব্যাখ্যা

x2 - y2 - 2x + 1
= (x2 - 2x + 1) - y2
= (x - 1)2 - y2
= (x + y - 1)(x - y - 1)

১৪.
a2 - b2 + 4bc - 4c2 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (a - b - 2c) (a - b + 2c)
  2. খ
    (a + b - 2c) (a - b - 2c)
  3. গ
    (a + b - 2c) (a - b + 2c)
  4. ঘ
    (a + b + 2c) (a - b + 2c)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - b2 + 4bc - 4c2 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a2 - b2 + 4bc - 4c2
= a2 - {b2 - 2.b.2c + (2c)2}
= a2 - (b - 2c)2
= (a + b - 2c) (a - b + 2c)

১৫.
a5 + 4a এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) a2 - 2a - 2
  2. খ
    খ) a2 + 2a - 2
  3. গ
    গ) a2 - 2a + 2
  4. ঘ
    ঘ) a2 + 2a + 1
ব্যাখ্যা

a5 + 4a
= a(a4 + 4)
= a{(a2)2 + 22}
= a{(a2 + 2)2 - 2.a2.2}
= a{(a2 + 2)2 - (2a)2}
= a(a2 + 2a + 2)(a2 - 2a + 2)

১৬.
3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদক-
  1. ক
    (3x - 2)(x + 3)
  2. খ
    (3x + 2)(x - 3)
  3. গ
    (3x - 2)(x - 3)
  4. ঘ
    উপরের কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদক-

সমাধান:
3x2 - 7x - 6
= 3x2 - 9x + 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(3x + 2)
১৭.
2a2 + 7ab - 15b2 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (a + 5b)(2a + 3b)
  2. খ
    (a + 5b)(2a - 3b)
  3. গ
    (a - 5b)(2a - 3b)
  4. ঘ
    (a - 5b)(2a + 3b)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a2 + 7ab - 15b2 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
2a2 + 7ab - 15b2
= 2a2 + 10ab - 3ab - 15b2
= 2a(a + 5b) - 3b(a + 5b)
= (a + 5b)(2a - 3b)

১৮.
(p - q), (p2 - pq) ও (p2 - q2) এর গ.সা.গু. - 
  1. ক
    p(p - q)
  2. খ
    p - q
  3. গ
    p + q
  4. ঘ
    p(p - q)(p + q)
ব্যাখ্যা
p2 - pq = p(p - q)
p2 - q2 = (p - q)(p + q)
(p - q), p(p - q) ও (p - q)(p + q) এর গ.সা.গু. (p - q)
১৯.
x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    x + y + 1
  2. খ
    x - y
  3. গ
    x + y - 1
  4. ঘ
    x - y - 1
ব্যাখ্যা

x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)

২০.
(x2 - 4x)(x2 - 4x - 1) - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x - 5)
  2. খ
    (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 5)
  3. গ
    (x - 1)(x - 3)(x - 2)(x - 4 )
  4. ঘ
    (x + 1)(x - 2)(x + 2)(x + 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 - 4x)(x2 - 4x - 1) - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
(x2 - 4x)(x2 - 4x - 1) - 20

ধরি, x2 - 4x = a
তাহলে, 
(x2 - 4x)(x2 - 4x - 1) - 20
= a(a - 1) - 20
= a2 - a - 20
= a2 - 5a + 4a - 20
= a(a - 5) + 4(a - 5)
= (a - 5)(a + 4)

এখন,
(a - 5)(a + 4) এ a এর মান বসিয়ে পাই,
= (x2 - 4x - 5)(x2 - 4x + 4)
= (x2 - 5x + x - 5)(x2 - 2x - 2x + 4)
= {x(x - 5) + 1(x - 5)}{x(x - 2) - 2(x - 2)}
= (x - 5)(x + 1)(x - 2)(x - 2)
২১.
x3 + bx2 - 5x + b  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, b এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 3
  3. গ
    - 1 
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + bx2 - 5x + b  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 + bx2 - 5x + b
যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 1 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(1) নির্ণয় করি,
f(1) = (1)3 + b(1)2 - 5(1) + b
= 1 + b - 5 + b
∴ f(1) = 2b - 4

শর্তমতে,
f(1) = 0
⇒ 2b - 4 = 0
⇒ 2b = 4
∴ b = 2

২২.
নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 12x - 9 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    x - 1
  2. খ
    x - 2
  3. গ
    x - 3
  4. ঘ
    x - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 12x - 9 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
x3 - 6x2 + 12x - 9
= x3 - 3 ⋅ x2 ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 22 - 23 - 1
= (x - 2)3 - 1
= (x - 2)3 - 13
= (x - 2 - 1){(x - 2)2 + (x - 2) ⋅ 1 + 12)}
= (x - 3){x2 - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 + x - 2 + 1)
= (x - 3){x2 - 4x + 4 + x - 2 + 1)
= (x - 3)(x2 - 3x + 3)
২৩.
2x3 + 5x2 - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    28
  3. গ
    20
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 + 5x2 - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো, x = 2 বসালে রাশির মান শূন্য হতে হবে।

প্রদত্ত রাশি, f(x) = 2x3 + 5x2 - 6x + 4
f(2) = 2(2)3 + 5(2)2 - 6(2) + 4 ; [x = 2 বসিয়ে] 
= 2(8) + 5(4) - 12 + 4
= 16 + 20 - 12 + 4
= 36 - 12 + 4
= 28

সুতরাং, 28 বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

২৪.
2x3 + 5x2 - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    10
  2. খ
    16
  3. গ
    20
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x3 + 5x2 - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = 2x3 + 5x2 - 6x + 4

∴ f(2) = 2(2)3 +5(2)2 - 6(2) + 4 [x = 2]
= 16 + 20 - 12 + 4
= 28

অর্থাৎ ভাগশেষ 28,
∴  28 বিয়োগ করতে হবে।
২৫.
4a2 + 23a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a + 6) (4a - 1)
  2. খ
    (a - 6) (4a - 1)
  3. গ
    (a + 6) (4a + 1)
  4. ঘ
    (a - 6) (4a + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 + 23a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
4a2 + 23a - 6 
= 4a2 + 24a - a - 6 
= 4a(a + 6) - 1(a + 6)
= (a + 6) (4a - 1)
২৬.
4x4 - 25x2 + 36 = ?
  1. ক
    ক) (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)
  2. খ
    খ) (x + 3)(x - 3)(2x + 1)(2x - 1)
  3. গ
    গ) (x + 1)(x - 1)(2x + 3)(2x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2)(x - 2)(2x + 1)(2x - 1)
ব্যাখ্যা

4x4 - 25x2 + 36
= (2x2)2 - 2.2x2.6 + 62 - x2
= (2x2 - 6)2 - x2
= (2x2 + x - 6)(2x2 - x - 6)
= (2x2 + 4x - 3x - 6)(2x2 - 4x + 3x - 6)
= [2x(x + 2) - 3(x + 2)][2x(x - 2) + 3(x - 2)]
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)

২৭.
x2 + 7x - 60 রাশিটি x - a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
x2 + 7x - 60 রাশিটি x - a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, f(a) = 0 হবে। 
মনে করি, f(x) = x2 + 7x - 60 
f(a) = a2 + 7a - 60
       = a2 + 12a - 5a - 60
       = a(a + 12) - 5(a + 12)
        = (a - 5)(a + 12)

∴ (a - 5)(a + 12) = 0
⇒ a = 5, - 12
২৮.
x3 + ax + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 3
  3. গ
    6
  4. ঘ
    - 7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + ax + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 + ax + 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
∴ উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, f(2) = 0 হবে।

এখন, f(2) = (2)3 + a(2) + 6
= 8 + 2a + 6
= 14 + 2a

প্রশ্নমতে,
14 + 2a = 0
বা, 2a = - 14
বা, a = - 14/2
∴ a = - 7

২৯.
- 4a2 + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (6 - a)(4a + 1)
  2. খ
    (a - 6)(4a + 1)
  3. গ
    (a - 6)(4a - 1)
  4. ঘ
    (6 - a)(4a - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 4a2 + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
- 4a2 + 23a + 6
= - 4a2 + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (a - 6) (- 4a - 1)
= - (a - 6)(4a + 1)
= (6 - a)(4a + 1)
৩০.
9x2 - 9x - 4 এর একটি উৎপাদক (3x - 4) হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) (3x + 1)
  2. খ
    খ) (x - 1)
  3. গ
    গ) (3x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (3x + 4)
ব্যাখ্যা
9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
(3x - 4)(3x + 1)
৩১.
6p2 - 11p - 150 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?
  1. ক
    ক) (p - 10) (6p + 15)
  2. খ
    খ) (p + 10) (6p - 15)
  3. গ
    গ) (p - 6) (6p + 25)
  4. ঘ
    ঘ) (p + 6) (6p - 25)
ব্যাখ্যা

6p2 - 11p - 150
= 6p2 - 36p +25p - 150
= 6p (p - 6) + 25 (p - 6)
= (p - 6) (6p + 25)

৩২.
2a² + 7ab - 15b² রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-
  1. ক
    ক) (a+5b)(2a-3b)
  2. খ
    খ) (a-5b)(2a+3b)
  3. গ
    গ) (a-5b)(2a-3b)
  4. ঘ
    ঘ) (a+5b)(2a+3b)
ব্যাখ্যা

2a² + 7ab - 15b²
⇒ 2a² + 10ab -3ab - 15b²
⇒ 2a(a+5b) - 3b(a+5b)
⇒(a+5b)(2a-3b)

৩৩.
a2 - 4a + 3 = 0 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) ক এবং খ
ব্যাখ্যা
a2 - 4a + 3 = 0
a2 - 3a - a +3 = 0 
a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
(a - 3)(a- 1) = 0

অতএব                       আবার 
         a - 3 = 0            a - 1 = 0
          a = 3                     a =1
৩৪.
x2 - y2 + 6y - 9 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - y - 3)
  2. খ
    খ) (x - y + 3)
  3. গ
    গ) (3x - y + 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 3y + 3)
ব্যাখ্যা
x2 - y2 + 6y - 9 
= x2 - (y2 - 6y + 9)
= x2 - {(y)2 - 2 .y . 3 + 32}
= x2 - (y - 3)2
= {x + (y - 3)}{x - (y - 3)}
 = (x + y - 3)(x - y + 3)
৩৫.
x2 - 10xy - 11y2 এর উৎপাদক-
  1. ক
    ক) (x + 11y) (x + y)
  2. খ
    খ) (x - 11y) (x - y)
  3. গ
    গ) (x - 11y) (x + y)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 11y) (2x + y)
ব্যাখ্যা
    x2 - 10xy - 11y2 
= x2 - 11xy + xy -11y2 
= x(x - 11y) + y (x - 11y)
= (x - 11y) (x + y)
৩৬.
x2 + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - 5)
  2. খ
    (x - 6)
  3. গ
    (x + 10)
  4. ঘ
    (x + 6)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 + 13x - 90
= x2 + 18x - 5x - 90
= x(x + 18) - 5(x + 18)
= (x + 18)(x - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক = (x - 5)

৩৭.
a4-4a+3 উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    ক) (a-1)²(a²+2a+3)
  2. খ
    খ) (a-1)(a-1)(a²-2a+3)
  3. গ
    গ) (a+2)²(a²+2a+3)
  4. ঘ
    ঘ) (a-1)²(a³+2a-3)
ব্যাখ্যা
মনেকরি, f(a) = a4-4a+3
∴ f(1) = (1)4-4(1)+3 = 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, (a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
∴ প্রদত্ত রাশি = a4-4a+3
= a4-a³+a³-a²+a²-a-3a+3
= a³(a-1)+a²(a-1)+a(a-1)-3(a-1)
= (a-1)(a³+a²+a-3)
= (a-1)²(a²+2a+3)
৩৮.
x6 - y6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x+y)(x−y)(x2 + 2xy)(x2 − xy + y2)
  2. খ
    খ) (x3 + y3)(x3 − y3)
  3. গ
    গ) (x + y)(x − y)(x2 - xy + y2)(x2 + xy + y2)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + y2)(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা

x6 - y6
= (x3)2 - (x3)2
= (x3 + y3)(x3 - y3)
= (x + y)(x2 - xy + y2)(x − y)(x2 + xy + y2)
= (x + y)(x − y)(x2 - xy + y2)(x2 + xy + y2)

৩৯.
নিচের কোনটি (4p2 - 6p - 40) এবং (p2 + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    (p - 4)
  2. খ
    (p - 3)
  3. গ
    (p + 2)
  4. ঘ
    (p + 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (4p2 - 6p - 40) এবং (p2 + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি:
4p2 - 6p - 40
= 4p2 - 16p + 10p - 40
= 4p(p - 4) + 10(p - 4)
= (p - 4)(4p + 10)

২য় রাশি:
p2 + 2p - 24
= p2 + 6p - 4p - 24
= p(p + 6) - 4(p + 6)
= (p - 4)(p + 6)
৪০.
6q2 - 8q - 30 এর একটি উৎপাদক (q - 3) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    (8q + 5)
  2. খ
    (6q + 10)
  3. গ
    (6q - 12)
  4. ঘ
    (4q - 6)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6q2 - 8q - 30 এর একটি উৎপাদক (q - 3) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q2 - 8q - 30
= 6q2 - 18q + 10q - 30
= 6q(q - 3) + 10(q - 3)
= (q - 3)(6q + 10)
৪১.
x4 + 6x2 - 7 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x2 + 5)(x + 2)(x - 2)
  2. খ
    খ) (x2 + 7)(x + 1)(x - 1)
  3. গ
    গ) (x2 + 3)(x + 5)(x - 5)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + 6)(x + 2)(x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 6x2 - 7 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
    x4 + 6x2 - 7
= (x2)2 + 2.x2.3 + 32 - 16
= (x2 + 3)2 - 42
= (x2 + 3 + 4)(x2 + 3 - 4)
= (x2 + 7)(x2 - 1)
= (x2 + 7)(x2 - 12)
= (x2 + 7)(x + 1)(x - 1)
৪২.
x2 - y2 + 4x + 4 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x + y - 2
  2. খ
    খ) x - y - 2
  3. গ
    গ) x + y + 2
  4. ঘ
    ঘ) x + y + 1
ব্যাখ্যা

x2 - y2 + 4x + 4
= (x2 + 4x + 4) - y2
= (x + 2)2 - y2
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)
= (x + y + 2)(x - y + 2)

৪৩.
x2 - (2/a - 3a)x - 8 এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল রাশির উৎপাদক (x - 2/a) হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
x2 - (2/a - 3a)x - 8
= x2 - 2x/a + 3ax - 6 - 2
= x(x - 2/a) + 3a(x - 2/a) - 2
= (x - 2/a)(x + 3a) - 2
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 এর সাথে 2 যোগ করলে, যোগফল রাশির উৎপাদক (x - 2/a) হবে।
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 + 2 = (x - 2/a)(x + 3a)
৪৪.
If (x + 2) is a factor of 4x2 + ax + b, then find the value of 2a - b.
  1. ক
    x + 16
  2. খ
    16
  3. গ
    x
  4. ঘ
    16x
ব্যাখ্যা
Question: If (x + 2) is a factor of 4x2 + ax + b, then find the value of 2a - b.

Solution:

According to the question,
⇒ (x + 2) = 0
⇒ x = - 2
Now, substitute the value of x = - 2 in the function 4x2 + ax + b and then equate to 0.
⇒ 4(- 2)2 - 2a + b = 0
⇒ 16 - 2a + b = 0
⇒ - 2a + b = - 16
⇒  2a - b = 16
৪৫.
9a2 + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    (4a - 3)
  2. খ
    (3a - 4)
  3. গ
    (3a + 4)
  4. ঘ
    (4a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
9a2 + 18a - 40
= 9a2 + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)
৪৬.
a2 - b2 + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - b + 4)
  2. খ
    (a + b + 4)
  3. গ
    (a - b - 4)
  4. ঘ
    (a + b - 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - b2 + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a2 - b2 + 8b - 16
= a2 - (b2 - 8b + 16)
= a2 - (b - 4)2
= (a + b - 4)(a - b + 4)

৪৭.
x2 - (a + b)x + ab এর একটি উৎপাদক - 
  1. ক
    x + a
  2. খ
    x + b
  3. গ
    x + ab
  4. ঘ
    x - a
ব্যাখ্যা
x2 - (a + b)x + ab
= (x - a)(x - b)
৪৮.
4x⁴-25x²+36 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) (x+2)
  2. খ
    খ) (x-2)
  3. গ
    গ) (2x-3)
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই
ব্যাখ্যা

4x⁴-25x²+36
= (2x²)² - 2.2x.6 + (6)² - x²
= (2x²-6)² - x²
= (2x²-6+x)(2x²-6-x)
= (2x²+4x-3x-6)(2x²-4x+3x-6)
= {2x(x+2) - 3(x+2)}{2x(x-2) + 3(x-2)}
= (x+2)(2x-3)(x-2)(2x+3)

৪৯.
a2 - b2 + 2b - 1 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (a - b - 1) (a - b + 1)
  2. খ
    খ) (a + b - 1) (a - b + 1)
  3. গ
    গ) (a + b + 1) (a - b - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a + b - 1) (a + b + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 + 2b - 1 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a2 - b2 + 2b - 1
= a2 - (b2 - 2b + 1)
= a2 - (b - 1)2
= (a + b - 1) (a - b + 1)
৫০.
a6 - b6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a2 + b2)(a2 - b2)
  2. খ
    (a2 - ab - b2)
  3. গ
    (a2 + ab + b2)
  4. ঘ
    (a - b)2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a6 - b6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a6 - b6
= (a3)2 - (b3)2
= (a3 + b3)(a3 - b3)
= (a + b)(a2 - ab + b2)(a - b)(a2 + ab + b2)
= (a + b)(a - b)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2)

৫১.
x2 + 5x + 6-এর উৎপাদক কোনটি? 
  1. ক
    (x - 2)(x + 3)
  2. খ
    (x + 2)(x + 3)
  3. গ
    (x - 2)(x - 3)
  4. ঘ
    (x + 2)(x - 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 5x + 6-এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x2 + 5x + 6
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)

৫২.
4a2 + 3a2 - 4a + k রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে k এর মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    - 2
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 + 3a2 - 4a + k রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে k এর মান কত? 

সমাধান: 
f(a) = 4a2 + 3a2  - 4a + k
(a - 1), f(a) একটি উৎপাদক হলে, f(1) = 0 হবে। 
f(1) = 4 × 12 + 3 × 12  - 4 × 1 + k
⇒ 0 = 4 + 3 - 4 + k 
⇒ 0 = 3 + k 
∴ k = - 3
৫৩.
x8 - x4 - 2 এর উৎপাদক হলো-
  1. ক
    (x4 - 2) (x4 + 1)
  2. খ
    (x4 + 2) (x4 + 1)
  3. গ
    (x4 - 2) (x4 - 1)
  4. ঘ
    (x4 - 2) (x4 + 2)
ব্যাখ্যা
x8 - x4 - 2
= x8 - 2x4 + x4 - 2
= x4(x4 - 2) + 1(x4 - 2)
= (x4 - 2) (x4 +1)
৫৪.
- 3x2 - 2xy + 8y2 + 11x - 8y - 6 এর একটি উৎপাদক - 
  1. ক
    ক) x + 2y - 3
  2. খ
    খ) - 3x + 4y + 3
  3. গ
    গ) - 7x + 4y + 3
  4. ঘ
    ঘ) - 5x + 5y + 2
ব্যাখ্যা
- 3x2 - 2xy + 8y2 + 11x - 8y - 6 

কেবল x সংবলিত পদগুলো ও ধ্রুবক পদ নিয়ে,
- 3x2 + 11x - 6 = (- 3x + 2)(x - 3)

কেবল y সংবলিত পদগুলো ও ধ্রুবক পদ নিয়ে,
8y2 - 8y - 6 = (4y + 2)(2y - 3)

(- 3x + 2) ও (4y + 2) রাশি দুইটিতে একই ধ্রুবক থাকায় এদের মধ্যে সমন্বয় করা যাবে।
সমন্বয় করে যে নতুন রাশি পাওয়া যাবে তা (- 3x + 4y + 2)

অনুরূপভাবে, 
(x - 3) ও (2y - 3) রাশি দুইটিতে একই ধ্রুবক থাকায় এদের মধ্যে সমন্বয় করা যাবে।
সমন্বয় করে যে নতুন রাশি পাওয়া যাবে তা (x + 2y - 3)

∴ - 3x2 - 2xy + 8y2 + 11x - 8y - 6 = (- 3x + 4y + 2)(x + 2y - 3)

Note:
( - 3x + 4y + 2)( x + 2y - 3)
= - 3x2 - 6xy + 9x + 4xy + 8y2 - 12y + 2x + 4y - 6
xy এর সহগ = - 6 + 4 = - 2
৫৫.
b2 + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (b + 15)
  2. খ
    (b + 13)
  3. গ
    (b - 12)
  4. ঘ
    (b - 17)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: b2 + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
b2 + 7b - 120
= b2 - 8b + 15b - 120
= b(b - 8) + 15(b - 8)
= (b - 8)(b + 15)

৫৬.
x2 - x - 72 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x + 7
  2. খ
    খ) x + 8
  3. গ
    গ) x + 9
  4. ঘ
    ঘ) x - 8
ব্যাখ্যা

x2 - x - 72
= x2 - 9x + 8x - 72
= x(x - 9) + 8(x - 9)
= (x - 9)(x + 8)

৫৭.
নিচের কোনটি (a3 - 9a2 + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a - 2)
  3. গ
    (a - 3)
  4. ঘ
    (a - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 - 9a2 + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a3 - 9a2 + 26a - 24
= a3 - 3 · a2 · 3 + 3 · a · 32 - 33 - a + 3
= (a - 3)3 - 1(a - 3)
= (a - 3){(a - 3)2 - 1}
= (a - 3)(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
= (a - 3)(a - 2)(a - 4)
= (a - 2)(a - 3)(a - 4)
৫৮.
x2 - 2x + 1 = 0 হলে (x6 + 2x3 + 1)/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x + 1 = 0 হলে (x6 + 2x3 + 1)/x2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x2 - 2x + 1 = 0
x2 - 2.x. 1 + 12 = 0
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

প্রদত্ত রাশি = (x6 + 2x3 + 1)/x2 
                 = ((x3)2 + 2.x3.1 + 12)/x2
                 = (x3 + 1)2/x2
                 = (13 + 1)2/12
                 = (1 + 1)2/1
                 = 22
                 = 4
৫৯.
x2 + 2xy - 2y - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x + y + 1)(x - 1)
  2. খ
    (x + 2y + 1)(x + 1)
  3. গ
    (x + y + 1)(x + 1)
  4. ঘ
    (x + 2y + 1)(x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 2xy - 2y - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x2 + 2xy - 2y - 1
= x2 + 2xy + x - x - 2y - 1
= x(x + 2y + 1) - 1(x + 2y + 1)
= (x + 2y + 1)(x - 1)
= (x - 1)(x + 2y +1)
৬০.
2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে -
  1. ক
    |x - 5| < 3
  2. খ
    |x - 4| < 2
  3. গ
    |x - 3| < 4
  4. ঘ
    |x - 6| < 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (2 + 8)/2 = 5

এখন,
2 < x < 8
⇒ 2 - 5 < x - 5 < 8 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
⇒ - 3 < x - 5 < 3
⇒ |x - 5| < 3

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 5| < 3
৬১.
4a2 + (1/4a2) - 2 + 4a - (1/a) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ -
  1. ক
    ক) (2a - 1/2a) (2a - 1/2a - 2)
  2. খ
    খ) (2a + 1/2a) (2a - 1/2a + 2)
  3. গ
    গ) (2a - 1/2a) (2a + 1/2a + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (2a - 1/2a) (2a - 1/2a + 2)
ব্যাখ্যা

4a2 + (1/4a2) - 2 + 4a - (1/a)
= 2a2 - 2 . 2a(1/2a) + (1/2a2) + 2{2a - (1/2a)}
= {2a - (1/2a)}2 + 2{2a - (1/2a)}
= (2a - 1/2a) (2a - 1/2a + 2)

৬২.
9a2 - (2a - 3b)2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (5a - 3b)(a + 3b)
  2. খ
    (a + b)(a - b)
  3. গ
    (5a + 3b)(a - 3b)
  4. ঘ
    (a + 3b)(5a + 3b)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a2 - (2a - 3b)2 = কত?

সমাধান:
9a2 - (2a - 3b)2
= (3a)2 - (2a - 3b)2
= {3a + (2a - 3b)} {3a - (2a - 3b)}
= (3a + 2a - 3b)(3a - 2a + 3b)
= (5a - 3b)(a + 3b)

৬৩.
m2 + m - 30 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    (m - 6)(m - 5)
  2. খ
    (m + 6)(m + 5)
  3. গ
    (m - 6)(m + 5)
  4. ঘ
    (m + 6)(m - 5)
ব্যাখ্যা

m2 + m - 30
= m2 + 6m - 5m - 30
= m(m+6) - 5(m+6)
= (m+6)(m-5)

৬৪.
2x2 + 9x - 35 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) (x + 5)(2x - 7)
  2. খ
    খ) (x + 7)(2x - 5)
  3. গ
    গ) (2x + 7)(2x - 5)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 3)(5x - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 + 9x - 35 এর উৎপাদক গুলো হলো- 

সমাধান: 
2x2 + 9x - 35
= 2x2 + 14x - 5x - 35 
= 2x(x + 7) - 5(x + 7)
= (x + 7)(2x - 5)
৬৫.
a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক হলো -
  1. ক
    ক) a2 + 3a + 3
  2. খ
    খ) a2 - 3a + 3
  3. গ
    গ) a2 - 3a + 2
  4. ঘ
    ঘ) a2 + 3a + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক হলো -

সমাধান:
a3 - 6a2 + 12a - 9
= a3 - 3.a2.2 + 3.a.22 - 23 - 1
= (a - 2)3 - 13
= (a - 2 - 1) {(a - 2)2 + (a - 2).1 + 12}
= (a - 3)(a2 - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3)(a2 - 3a + 3)
৬৬.
নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদক?
  1. ক
    x - 4
  2. খ
    x + 2
  3. গ
    x - 2
  4. ঘ
    x + 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি x3 - 6x2  + 11x - 6 এর উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(2) = 23 - 6 × 22 + 11 × 2 - 6
f(2) = 8 - 24 + 22 - 6
       = 0
∴ x - 2, f(x) এর উৎপাদক ।
৬৭.
3x2 + x - 10 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x + 2)(3x - 5)
  2. খ
    খ) (x - 2)(3x - 5)
  3. গ
    গ) (x + 2)(3x + 5)
  4. ঘ
    ঘ) (3x + 2)(x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 + x - 10 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
3x2 + x - 10
= 3x2 + 6x - 5x - 10
= 3x(x + 2) - 5(x + 2)
= (x + 2)(3x - 5)
৬৮.
a4 + 4 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (a2 - 2a - 2) (a2 - 2a + 2)
  2. খ
    (a2 - 2a + 2) (a2 + 2a - 2)
  3. গ
    (a2 + 2a + 2) (a2 - 2a + 2)
  4. ঘ
    (a2 + 2a + 2) (a2 + 2a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
a4 + 4
= a4 + 4 + 4a2 - 4a2 
= (a2)2 + 2. a2. 2 + (2)2 - (2a)2 
= (a2 + 2)2 - (2a)2 
= (a2 + 2 + 2a) (a2 + 2 - 2a)
= (a2 + 2a + 2) (a2 - 2a + 2)
৬৯.
x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x + 1)(x - 2)(x - 3)
  2. খ
    খ) (x - 1)(x + 2)(x - 3)
  3. গ
    গ) (x + 1)(x + 2)(x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 1)(x - 2)(x - 3)
ব্যাখ্যা
f(x) = x3 - 7x - 6
∴ f(- 1) = (- 1)3 - 7(- 1)- 6
            = - 1 + 7 - 6
            = 0
∴ x + 1, f(x) এর একটি উৎপাদক।
f(x) = x3 - 7x - 6
     = x3 + x2- x2- x - 6x - 6
     = x2(x + 1) - x(x + 1)- 6(x + 1)
     = (x + 1)(x2 - x - 6)
    = (x + 1)(x + 2)(x - 3)
৭০.
নিচের কোনটি 1 - s2 - 2st - t2 এর উৎপাদক ?
  1. ক
    (1 - s)(1 - t)
  2. খ
    (1 + s + t)(1 - s - t)
  3. গ
    (s + t)(s - t)
  4. ঘ
    (1 + s - t)(1 - s + t)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - s2 - 2st - t2 এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - s2 - 2st - t2
= 1 - (s + t)2
= (1)2 - (s + t)2
= {1 + (s + t)} {1 - (s + t)}
= (1 + s + t) (1 - s - t)

৭১.
নিচের কোনটি সঠিক?
i. যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় x + 4, তবে P(- 4) = 0
ii. যদি P(x) কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P (1/2)
iii. যদি x = 1 হলে P(1) = 0, তবে বহুপদীর সব সহগের যোগফল হবে 1.
  1. ক
    i ও ii
  2. খ
    i ও iii
  3. গ
    ii ও iii
  4. ঘ
    i, ii ও iii
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
i. যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় x + 4, তবে P(- 4) = 0
ii. যদি P(x) কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P (1/2)
iii. যদি x = 1 হলে P(1) = 0, তবে বহুপদীর সব সহগের যোগফল হবে 1.

সমাধান:
i)যদি x + 4, P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে P(- 4) = 0,
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে এটি সঠিক।

ii) যদি P(x)-কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(1/2)।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী: ax − b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় P(b/a)।
এখানে a = 2, b = 1, তাই ভাগশেষ = P(1/2), এটি সঠিক।

iii) যদি P(1) = 0 হয়, তাহলে যোগফল 0, 1 নয়।
সুতরাং এটি ভুল।

৭২.
x3 - 2x2 + 6x + a এর একটি উৎপাদক (x - 3) হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    - 15
  2. খ
    15
  3. গ
    9
  4. ঘ
    - 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 2x2 + 6x + a এর একটি উৎপাদক (x - 3) হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x3 - 2x2 + 6x + a
x3 - 2x2 + 6x + a এর একটি উৎপাদক (x - 3) হলে,
f(3) = 0 হবে,

f(3) = (3)3 - 2(3)2 + 18 + a
= 27 - 18 + 18 + a
= a + 27

∴ a + 27 = 0
a = - 27
৭৩.
p2 - √3p + 1 = 0 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - √3p + 1 = 0 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - √3p + 1 = 0
⇒ p2 + 1 = √3
⇒ (p2 + 1)/p = √3
⇒ p + 1/p = √3

প্রদত্ত রাশি, p3 + p- 3
= p3 + 1/p3
= (p + 1/p)3 - 3 · p · 1/p · (p + 1/p)
= (√3)3 -3 · √3
= 3√3 - 3√3
= 0
৭৪.
2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    2(a - 8)
  2. খ
    (a + 5)
  3. গ
    (a + 4)
  4. ঘ
    (a + 8)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a2 + 6a - 80
= 2(a2 + 3a - 40)
= 2(a2 + 8a - 5a - 40)
= 2{a(a + 8) - 5 (a + 8)}
= 2(a + 8)(a - 5)

∴ 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক (a + 8)

৭৫.
x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 1) (x + 2) (x - 3)
  2. খ
    (x - 1) (x + 2) (x - 3)
  3. গ
    (x - 1) (x - 2) (x - 3)
  4. ঘ
    (x + 1) (x - 2) (x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x3 - 7x - 6
= x3 + x2 - x2 - x - 6x - 6 
= x2 (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1) 
= (x + 1) (x2 - x - 6) 
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) 
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)} 
= (x + 1) (x - 3) (x + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।
৭৬.
9x2 - 9x - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 1)(3x - 3)
  2. খ
    খ) (3x + 1)(3x - 4)
  3. গ
    গ) (4x + 5)(x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

9x2 - 9x - 4
= 9x2 + 3x -12x - 4
= 3x (3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

৭৭.
3p2 - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 
  1. ক
    (p + 1) (3p - 5)
  2. খ
    (p - 1) (3p + 5)
  3. গ
    (p - 1) (3p - 5)
  4. ঘ
    (p + 1) (3p + 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3p2 - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান:
3p2 - 8p + 5
= 3p2 - 3p - 5p +5
= 3p(p - 1) - 5(p - 1)
= (p - 1) (3p - 5)

৭৮.
16y2 - a2 - 6a - 9 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    a - 3 + 4y
  2. খ
    4y + a - 3
  3. গ
    4y - a + 3
  4. ঘ
    4y - a - 3
ব্যাখ্যা

16y2 - a2 - 6a - 9
= 16y2 - (a2 + 6a + 9)
= (4y)2 - (a + 3)2
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)

৭৯.
নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 3?
  1. ক
    a3 - 4a + 3
  2. খ
    a3 + a - 24
  3. গ
    a3 + 3a - 36
  4. ঘ
    3a3 + 2a - 31
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 3?

সমাধান:
a = 3 হলে,
a3 - 4a + 3
= 33 - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a3 + a - 24
= 33 + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a3 + 3a - 36
= 33 + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0 

3a2 + 2a - 31
= (3 × 32) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

∴ (a - 3), a3 + 3a - 36 এর একটি উৎপাদক।
৮০.
x2 + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নীচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 5)(x + 3)
  2. খ
    (x + 5)(x - 3)
  3. গ
    (x - 5)(x - 3)
  4. ঘ
    (x - 5)(x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নীচের কোনটি?

সমাধান:
x2 + 2x - 15
= x2 + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5)(x - 3)
৮১.
x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদকগুলো-
  1. ক
    ক) (x + 1),(x - 2),(x - 3)
  2. খ
    খ) (x - 1),(x - 2),(x - 3)
  3. গ
    গ) (x - 1),(x + 2),(x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 1),(x - 2),(x + 3)
ব্যাখ্যা

x3 - 6x2 + 11x - 6
= x3 - x2 - 5x2 + 5x + 6x - 6
= x2(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 5x + 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)

৮২.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + 2
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x + 1
  4. ঘ
    ঘ) x - 1
ব্যাখ্যা
প্র্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক -

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
∴ f(- 1) = 3 . (- 1)³ + 2 . (-1)² - 21 . (- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
x = - 1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
 
এখন,
3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x² - x - 20x - 20
= 3x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x +1)(3x² - x - 20)
৮৩.
x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 2)
  2. খ
    খ) (x2 + 2x + 2)
  3. গ
    গ) (x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + 2x + 4)
ব্যাখ্যা
x3 - 8
= x3 - 23
= (x - 2) (x2 + 2x + 4)
৮৪.
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + y + 2)(a - y + 4)
  2. খ
    (a + y + 1)(a - y + 5)
  3. গ
    (a + y + 3)(a - y + 2)
  4. ঘ
    (a + y + 4)(a - y + 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
= a2 + 2 . a . 3 + 32 - 1 - y2 + 2y
= (a + 3)2 - (y2 - 2y + 1) 
=  (a + 3)2 - (y - 1)2
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

৮৫.
2x2 + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?
  1. ক
    - 5
  2. খ
    - 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    - 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x2 + kx - 10
x - 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(5) = 0 হবে।

∴ f(5) = 2(5)2 + k(5) - 10
= 50 + 5k - 10
= 5k + 40

শর্তমতে,
5k + 40
⇒ 5k = - 40
⇒ k = - 40/5
∴ k = - 8

৮৬.
6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    q - 5
  2. খ
    3q + 5
  3. গ
    3q - 5
  4. ঘ
    3q - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q2 - q - 15
= 6q2 + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

∴ 6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি হবে 3q - 5.
৮৭.
3a2 - a - 14 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) (3a + 2)(a + 7)
  2. খ
    খ) (7a - 3)(a + 3)
  3. গ
    গ) (3a - 7)(a + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (3a + 7)(a - 2)
ব্যাখ্যা
3a2 - a - 14 
3a2 - a - 14 
= 3a2 - 7a + 6a - 14 
= a(3a - 7) + 2(3a - 7)
= (3a - 7)(a + 2)
৮৮.
নিচের কোনটি 2a2 - 2a - 4 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a + 4)
  2. খ
    (a + 1)
  3. গ
    (2a - 1)
  4. ঘ
    (2a + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a2 - 2a - 4 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
2a2 - 2a - 4
= 2a2 - 4a + 2a - 4
= 2a(a - 2) + 2(a - 2)
= (a - 2)(2a + 2)
= 2(a - 2)(a + 1)
৮৯.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) x2 + x - 1
  2. খ
    খ) x2 - x + 1
  3. গ
    গ) x2 + 1
  4. ঘ
    ঘ) x + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?

সমাধান:
 x4 + x2 + 1
= x4 + 2x2 + 1 - x2 
= {(x2)2 + 2. x2 .1 + (1)2} - (x)2 
= (x2 + 1)2 - x2 
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 - x) 
= (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
৯০.
ax2 + x(1 - a2) - a এর উৎপাদকগুলো হলো-
  1. ক
    ক) (ax - 1)(ax - a)
  2. খ
    খ) (x - 1)(x - a)
  3. গ
    গ) (ax - 1)(x + a)
  4. ঘ
    ঘ) (ax + 1)(x - a)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ax2 + x(1 - a2) - a এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান: 
ax2 + x(1 - a2) - a
= ax2 + x - a2x - a
= x(ax + 1) - a(ax + 1)
= (ax + 1)(x - a)
৯১.
7x – 2 – 3x2 = 0 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) (1/3, 2)
  2. খ
    খ) (1, 3)
  3. গ
    গ) (2, 1/2)
  4. ঘ
    ঘ) (1, 0)
ব্যাখ্যা

7x – 2 – 3x² = 0
x = [-7 ± √{(7)² - 4.3.1}]/2.(-3)
x = (-7 ± √25)/-6
x = - (7 ± 5)/-6
x = 1/3, 2

৯২.
নিচের কোনটি a3 - 7a2 + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    a - 1
  2. খ
    a - 2
  3. গ
    a + 4
  4. ঘ
    a - 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:  নিচের কোনটি a3 - 7a2 + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a3 - 7a2 + 14a - 8
= a3 - a2 - 6a2 + 6a + 8a - 8
= a2(a - 1) - 6a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(a2 - 6a + 8)
= (a - 1)(a2 - 4a - 2a + 8)
= (a - 1){a(a - 4) - 2(a - 4)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 4)

∴ (a + 4) উৎপাদক নয়।

৯৩.
k এর মান কত হলে x2 + 5x + 3 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x + 2) হবে?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    - 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে x2 + 5x + 3 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x + 2) হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে, f(x) = x2 + 5x + 3 + k = 0।
যদি (x + 2) f(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে f(- 2) = 0 হবে।

এখন, f(- 2) = 0 
⇒ (- 2)2 + 5(- 2) + 3 + k = 0
⇒ 4 - 10 + 3 + k = 0
⇒ - 3 + k = 0
∴ k = 3

৯৪.
a3 + 64 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) a - 4
  2. খ
    খ) a2 + 4a + 16
  3. গ
    গ) a2 - 4a + 16
  4. ঘ
    ঘ) a + 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + 64 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a3 + 64
= a3 + 43
= (a + 4)(a2 - 4a + 16)
৯৫.
4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    2a - 1
  3. গ
    2a + 3
  4. ঘ
    a - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
4a4 - 25a2 + 36
= 4a4 - 16a2 - 9a2 + 36
= 4a2(a2 - 4) - 9(a2 - 4)
= (a2 - 4)(4a2 - 9)
= (a2 - 22){(2a)2 - 32}
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)
৯৬.
f(x) = 2x2 + bx + 5 -এর একটি উৎপাদক যদি (x + 1) হয়, তবে b-এর মান কত?
  1. ক
    - 4
  2. খ
    - 9
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = 2x2 + bx + 5 -এর একটি উৎপাদক যদি (x + 1) হয়, তবে b-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x + 1) একটি উৎপাদক,
তাই x = − 1 হলে f(− 1) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 2x2 + bx + 5
∴ f(- 1) = 2(- 1)2 + b(- 1) + 5 = 0
⇒ 2 - b + 5 = 0
⇒ 7 - b = 0
∴ b = 7
৯৭.
x6 - y6 এর উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    ক) (x2 + xy + y2)
  2. খ
    খ) (6x + 6y)
  3. গ
    গ) x + y
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x6 - y6 এর উৎপাদক নয় কোনটি?
 
সমাধান:
x6 - y6 
= (x3)2 - (y3)2
= (x3 + y3)(x3 - y3)
= (x + y)(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)
৯৮.
a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    a - 2
  3. গ
    a + 2
  4. ঘ
    a - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
f(a) = a3 - 7a - 6
∴ f(- 1) = (- 1)3 - 7(- 1) - 6
= - 1 + 7 - 6
= 0
∴ a + 1, f(a) এর একটি উৎপাদক

এখন,
f(a) = a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1)- 6(a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 6)
= (a + 1)(a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a + 2)(a - 3)
৯৯.
4x2 - x - 5 এর উৎপাদকগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    (6x - 5)
  2. খ
    (4x - 5)
  3. গ
    (5x - 4)
  4. ঘ
    (7x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - x - 5 এর উৎপাদকগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
4x2 - x - 5
= 4x2 - 5x + 4x - 5
= x(4x - 5) + 1 (4x - 5)
= (4x - 5)(x + 1)


সমষ্টি = 4x - 5 + x + 1
= 5x - 4
১০০.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক কোনোটি?
  1. ক
    (x2 + x + 2)
  2. খ
    (x2 - x + 1)
  3. গ
    (x2 + x - 1)
  4. ঘ
    (x2 + 2x + 1)
ব্যাখ্যা

x4 + x2 + 1
= (x2)2 + 2x2 + 1 - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1)