বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2ax + (a + b) (a - b) 
= x² - 2ax + a² - b² 
= (x - a)² - b² 
= (x - a - b) (x - a + b) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 16P² + 8P - 120 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
16P² + 8P - 120
= 8(2P² + P - 15)
= 8(2P² + 6P - 5P - 15)
= 8{2P(P + 3) - 5(P + 3)}
= 8(P + 3)(2P - 5)

(x + 1)(x - 1) = x² - 1
∴ x² - 5)x² - 1(1
             x² - 5
             -------
                   4
∴ ভাগশেষ = 4

x² − 7x + 6
= x² - 6x - x + 6
= x(x-6) - 1(x-6)
= (x-6)(x-1)

প্রশ্ন: 9x² + 6x - 8 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9x² + 6x - 8
= 9x² + 12x - 6x - 8
= 3x(3x + 4) - 2(3x + 4)
= (3x + 4)(3x - 2) 

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

প্রশ্ন: p² - r² + q² - 2pq এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?     

সমাধান:
p² - 2pq + q² - r²
=(p - q)² - (r)²
=(p - q + r) (p - q - r)

a³ - 21a -20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a ( a + 1) - 20(a + 1)
= (a+1)(a² -a - 20)

প্রশ্ন: 35 - 2x - x²এর একটি উৎপাদক (7 + x) হলে অপর উৎপাদক কত?

সমাধান:
35 - 2x - x²
= 35 - 7x + 5x - x²
= 7(5 - x) + x(5 - x)
= (5 - x)(7 + x)

প্রশ্ন: x³ - 6x² + ax - 16 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 4 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + ax - 16।
যেহেতু (x - 4) রাশিটি একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 4 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(4) এর মান নির্ণয় করি,
f(4) = (4)³ - 6(4)² + a(4) - 16
= 64 - 6(16) + 4a - 16
= 64 - 96 + 4a - 16
= - 32 + 4a - 16
= 4a - 48

শর্তমতে,
f(4) = 0
⇒ 4a - 48 = 0
⇒ 4a = 48
∴ a = 12

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: যদি (x + 2) বহুপদী 4x³ - 3x² + 2a + 6 এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
যদি (x + 2) উৎপাদক হয়, তাহলে x = - 2 হলে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
অর্থাৎ,
4x³ - 3x² + 2a + 6 = 0
⇒ 4(- 2)³ - 3( -2)² + 2a + 6 = 0 [ x = - 2 ]
⇒ 4(- 8) - 3(4) + 2a + 6 = 0
⇒ - 32 - 12 + 2a + 6 = 0 
⇒ - 38 + 2a = 0
⇒ 2a = 38
⇒ a = 19

প্রশ্ন:

সমাধান:

4x⁴ + 3x² + 1
= (2x²)² + 2.2x².1 + 1² - x²
= (2x² + 1)² - x²
= (2x² + x + 1)(2x² - x + 1)

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক (x² + x + 1) হলে অপর উৎপাদকটি কত হবে?

সমাধান: 
x⁴ + x² + 1 
= x⁴ + 2x² - x² + 1
= (x⁴ + 2x² + 1) - x²
= {(x²)² + 2.x².1 + (1)²} - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: a² - b² - c² - 2bc + a - b - c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = a² - b² - c² - 2bc + a - b - c 
= a² - (b² + c² + 2bc) + a - b - c
= a² - (b + c)² + a - b - c
= {a + (b + c)}{a - (b + c)} + (a - b - c)
= (a + b + c)(a - b - c) + (a - b - c)
= (a - b - c)(a + b + c + 1)

প্রশ্ন: a³ − 21a − 20 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a³ − 21a − 20
= a³ + a² − a² − a − 20a − 20
= a²(a + 1) − a (a + 1) − 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² − a − 20)
= (a + 1) (a² − 5a + 4a − 20)
= (a + 1) {a (a − 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1) (a − 5) (a + 4)

প্রশ্ন: f(x) = 3x² + kx - 14 এর একটি উৎপাদক যদি (x - 1) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x - 1) একটি উৎপাদক,
তাই x = 1 হলে f(1) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 3x² + kx - 14
∴ f(1) = 3 × (1)² + (k × 1) - 14 = 0
⇒ 3 + k - 14 = 0
⇒ k - 11 = 0
⇒ k = 11

প্রশ্ন: 35a² - a - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
35a² - a - 12 
= 35a² - 21a + 20a - 12
= 7a (5a - 3) + 4 (5a - 3) 
= (5a - 3)(7a + 4) 

অর্থাৎ 35a² - a - 12 রাশিটির দুইটি উৎপাদকের মধ্যে একটি হলো (7a + 4)

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x³ - 5x² + kx - 6 এর একটি উৎপাদক (x - 2) হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ - 5x² + kx - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটি f(x) এর একটি উৎপাদক, সেহেতু উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী f(2) = 0 হবে।

এখন,
f(2) = 2(2)³ - 5(2)² + k(2) - 6
= 2(8) - 5(4) + 2k - 6
= 16 - 20 + 2k - 6
= 2k - 10

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2k - 10 = 0
⇒ 2k = 10
∴ k = 5

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
=(x² + x + 1)(x² - x + 1)

f(x) = 4x² + 11x + 6 = 0
এখানে,
f(-2) = 4.4 + 11(-2) + 6
= 16 - 22 + 6
= 0
∴ x = -2

প্রশ্ন: x² - 3x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 28
= x² - 7x + 4x - 28
= x(x - 7) + 4(x - 7)
= (x - 7)(x + 4)

x +1, f(x) = ax² - x - 3 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-1) = a(-1)² - (-1) - 3 = 0
বা, a + 1 - 3 = 0
∴ a = 2

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)

9y² - a² - 4a - 4
= 9y² - (a² + 4a + 4)
= (3y)² - (a + 2)²
= (3y + a + 2)(3y - a - 2)

∴ x - 2, f(x) = x² - x - a এর একটি উৎপাদক।
∴ f(2) = 2² - 2 - a = 0
বা, 4 - 2 - a = 0
বা, 2 - a = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: x³ - 3x² + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = x³ - 3x² + 4x - 5
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2)।
P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4(2) - 5
= 8 - 3(4) + 8 - 5
= 8 - 12 + 8 - 5
= 16 - 17
= - 1

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 1।

১ম রাশি = a²-b²-c²-2bc
= a²-(b²+2bc+c²)
= a²-(b+c)²
= (a+b+c)(a-b-c)
২য় রাশি = b²-c²-a²-2ac
= b²-(c²+2ac+a²)
= b²-(c+a)²
= (a+b+c)(b-c-a)
∴ সাধারণ উৎপাদক a+b+c

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

প্রশ্ন: x³ - x - 24 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

ধরি, f(x) = x³ - x - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24 = 27 - 27 = 0

∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি,
 x³ - x - 24 
= x³ - 3x² + 3x² - 9x + 8x - 24
= x²(x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3)
= (x - 3)(x² + 3x + 8)

প্রশ্ন: a² + a - 2 এর উৎপাদকগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
a² + a - 2
= a² + 2a - a - 2
= a(a + 2) - 1(a + 2)
= (a + 2)(a - 1)

উৎপাদকগুলোর সমষ্টি = a + 2 + a - 1
= 2a + 1