চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

কোণগুলো যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x ধরে পাই,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
x = 45°
∴ ক্ষুদ্রতম কোন = 45°।
∴ এর সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°।

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴a² = ১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বা, a = √১০০০০ = ১০০ মিঃ

∴ পরিসীমা = ৪a
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিঃ

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ৩ক মিটার
∴ ৩ক ✕ ক = ৭৬৮
বা, ক^২ = ৭৬৮/৩ = ২৫৬
বা, ক = ১৬ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ১৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, d = ১৪ মিটার

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের, d = a√২
a√২ = ১৪ 
⇒ a = ১৪/√২ 
⇒ a = (৭ × √২ × √২)/√২ 
∴ a = ৭√২ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭√২)^২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গমিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে ১৫ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৫০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ১৫ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (ক + ক + ১৫)
= ৪ক + ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৩০ = ১৫০
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
∴ ক = ৩০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩০ + ১৫ = ৪৫

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা, ক
সুতরাং, ভূমি 2ক
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে, ক × 2ক = 72
বা, 2ক² = 72
বা, ক² = 36
বা, ক = 6
সুতরাং উচ্চতা = 6 সে.মি. এবং ভূমি 2 × 6 = ১২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
বা, ৭২ = ভূমি × ৮ 
বা, ভূমি = ৭২/৮ 
∴ ভূমি = ৯ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার। 

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (৪ + ৩) = ২ × ৭ = ১৪ ইঞ্চি। (বর্গ ইঞ্চি নয়)

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত? 

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
কর্ণ = a√2

দেওয়া আছে,
a​√2 = 6√2 
∴ a = 6

সুতরাং, পরিসীমা = 4a = 4 × 6 = 24 একক

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°

∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫° 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮

ট্রাপিজয়ামের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ? 

সমাধান: 
• সমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু সমান
- বিপরীত বাহু সমান্তর
- বিপরীত কোণ সমান

• সামান্তরিক:
- বিপরীত বাহু সমান্তর।
- বিপরীত কোণ সমান।
- বিপরীত বাহু সমান।

• বিষমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু ভিন্ন।
- সাধারণত কোনো কোণ বা বাহু সমান্তর নেই।

• আয়তক্ষেত্র:
- বিপরীত বাহুগুলো সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।

∴  চতুর্ভুজটি হবে বিষমবাহু চতুর্ভুজ।

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x²
শর্তমতে, 2x² = 1458
বা, x² = 729
বা, x = 27
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 27 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 54 মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি. 

ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি. 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি. 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক 
= (৪ × ৬) সে.মি
= ২৪ সে.মি। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ১৬ সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ সে.মি.
একটি কর্ণ, d₁ = ১৬ সে.মি. 
অপর কর্ণ, d₂ = ? সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d1 × d₂
⇒ (১/২) × ১৬ × d₂ = ৯৬
⇒ ৮ × d₂ = ৯৬
⇒ d₂ = ৯৬/৮ 
∴ d₂ = ১২ সে.মি.

সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু = ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি
এবং 
উচ্চতা = ৫ সে.মি

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা} বর্গ একক 
= {(১/২) × (৬ + ১৪) × ৫} বর্গ সে.মি 
= {(১/২) × ২০ × ৫} বর্গ সে.মি 
= ৫০ বর্গ সে.মি।