চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

চতুর্ভূজের যেকোন তিনবাহুর সমষ্টি চতুর্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
যদি পরিসীমা 28 হয় তবে চতুর্থ বাহু = 28 - (4 + 5 + 6)
= 13m < 4 + 5 + 6
∴ পরিসীমা 28m হতে পারে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 একক হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a  একক 

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
a = 7

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 7 একক 
= 28 একক 

- বর্গক্ষেত্রের সবগুলো বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং এদের অন্তর্গত কোণগুলোও সমান, অর্থাৎ এক সমকোণ করে মোট চার সমকোণ।
- আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং সবগুলো কোণ সমকোণ। অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণও সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ২ হলে এবং এর পরিসীমা ৪২ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ক 
 আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২(৫ক + ২ক)
= ২ × ৭ক 
= ১৪ক 

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৪২ 
⇒ ক = ৪২/১৪
∴ ক = ৩ মিটার 

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার ,
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৬) বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. এবং প্রস্থ 15 সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 30 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 24 × 15 = 360 বর্গ সে.মি.
এখন,
নতুন দৈর্ঘ্য = 30 সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল = 30x বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
30x = 360
⇒ x = 360/30
∴ x = 12 সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 12 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ ১০ মিটার, এবং ক্ষেত্রফল ১৪০ বর্গমিটার। যদি দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কর্ণ, d₁ = ১০ মিটার
এবং ক্ষেত্রফল A = ১৪০ বর্গমিটার।

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d₁ × d₂
⇒ ১৪০ = (১/২) ​× ১০ × d₂​
⇒ ৫ × d₂​ = ১৪০
⇒ d₂ ​= ২৮

দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করলে:
d₂′ = ২৮ × ১.২
= ৩৩.৬ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ৩৩.৬
= ৫ × ৩৩.৬
= ১৬৮ বর্গমিটার
 
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৬৮ বর্গমিটার

ধরি,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a 
∴ ক্ষেত্রফল = a²
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
বর্গের কর্ণের গুনফল = a√2 × a√2 = 2a²
প্রশ্নমতে, 2a² = 50
∴ ক্ষেত্রফল, a² = 25

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির যোগফল = 180°
তাহলে ABCD চতুর্ভুজটির ∠A + ∠C = 180°
বা, 75° + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° - 75°
বা, ∠C = 105°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৬ সেন্টিমিটার ও ৯ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ৬ সেন্টিমিটার
অপর কর্ণটি = ৯ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৬ × ৯
= ২৭ বর্গ সেন্টিমিটার।

আমরা জানি,
(বর্গক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = a² + a² = 2a²
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2a

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 একক
বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2/√2 একক
= 5 একক
∴ ক্ষেত্রফল = 5²
= 25 বর্গ একক

প্রশ্নঃ একটি ট্রপিজিয়ামের উচ্চতা 6 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= 1/2 × (10 + 4) × 6
= 1/2 × 14 × 6
= 7 × 6
= 42

∴ ক্ষেত্রফল = 42 বর্গ সেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩। যদি দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. বাড়ানো হয় এবং প্রস্থ ৫ সে.মি. কমানো হয়, তাহলে নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আসল ক্ষেত্রফলের সমান থাকে। আসল দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল দৈর্ঘ্য = ৫ক সে.মি.
আসল প্রস্থ = ৩ক সে.মি.

∴ আসল ক্ষেত্রফল = ৫ক × ৩ক = ১৫ক^২ বর্গ সে.মি.

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ৫ক + ১০ সে.মি.
নতুন প্রস্থ = ৩ক - ৫ সে.মি.
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক + ১০) × (৩ক - ৫) বর্গ সে.মি.

প্রশ্নানুসারে, নতুন ক্ষেত্রফল = আসল ক্ষেত্রফল
⇒ (৫ক + ১০) × (৩ক - ৫) = ১৫ক^২
⇒ ১৫ক^২ - ২৫ক + ৩০ক - ৫০ = ১৫ক^২
⇒ ৫ক - ৫০ = ০ 
⇒ ৫ক = ৫০
⇒ ক = ৫০/৫ 
∴ ক = ১০ 

∴ আসল দৈর্ঘ্য = ৫ক = ৫ × ১০ = ৫০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার 
= ৪০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৪০ × ৪) মিটার 
= ১৬০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৮.২ × ৬
= ২৪.৬ বর্গমিটার

রম্বসের বৈশিষ্ট্য অনুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু কোণ গুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।

প্রস্থ AB = ৬ সে.মি., কর্ণ = ১০সে.মি.
∴ দৈর্ঘ্য BC = √(AC² - AB²)
= √(১০^২ - ৬^২)
= ৮ সে.মি.
∴ পরিসীমা = ২(AB + BC)
= ২ × (৬ + ৮)
= ২৮ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাস ৫৬ ফুট হলে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৮ ফুট
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
                         = ৩.১৪১৬ × ২৮²
                         = ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪৬১.৭৬ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √(২৪৬১.৭৬)
                              = ৪৯.৬ ফুট।

দৈর্ঘ্য 3x এবং প্রস্থ x হলে,
2(3x + x) = 200
4x = 100
∴ x = 25
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 75 X 25 = 1875.

ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y.
প্রশ্নমতে,
2 (x+y) = 44
বা, x+y = 22 ...... (1)
এবং xy = 120 ....... (2)
এখন, সমীকরণ (!) এবং (!!) সমাধান করে পাই,
 x = 12 এবং y = 10
সুতরাং, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ফুট ও 10 ফুট।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
 
ধরি,
সামান্তরিকের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কর্ণ = ৪৫ সে. মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
= কর্ণ × কর্ণের বিপরীত বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
= (৪৫ × h) বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
৪৫ × h = ৩৬০
⇒ h = ৩৬০/৪৫
⇒ h = ৮

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮ সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু

প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ২৮ 
⇒ এক বাহু = ২৮/৪
∴ এক বাহু = ৭ 
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৭ সে.মি.

আবার,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) বর্গ একক
= (৭ × ৭ ) বর্গ সে.মি.
= ৪৯ বর্গ সে.মি.

ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 16 × 17
= 136 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°
তিন কোণের সমষ্টি ২৭০° হলে অপর কোণটি হবে = (৩৬০ - ২৭০)° = ৯০°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. এবং ১৪ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

= (১/২) × ১২ × ১৪ বর্গ সে.মি.
= ৬ × ১৪
= ৮৪ বর্গ সে.মি.

∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গ সে.মি.