চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x²

শর্তমতে,
x² = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার এবং একটি কর্ণ 12 মিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × d₁ × d₂
​যেখানে d₁, d₂​ হলো রম্বসের কর্ণদ্বয়।

প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল = 108, d₁ = 12
অতএব, অপর কর্ণ:
108 = 1/2 × 12 × d₂​
d₂ = 108/6 
d₂ = 18 মিটার

∴ অপর কর্ণ = ১৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ৩০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (২০ + ৩০) × ৮
= (১/২) × ৫০ × ৮
= ৫০ × ৪ 
= ২০০ 

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গসে.মি.।

প্রশ্ন: ১৬০০ বর্গফুট মাঠের চারপাশের ২ ফুট রাস্তায় ১.৫ বর্গফুটের কয়টি ট্যালি বসবে?

দেওয়া আছে:
মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গফুট
চারপাশের রাস্তার প্রস্থ = ২ ফুট
একটি টাইলের ক্ষেত্রফল = ১.৫ বর্গফুট

ধরি মাঠ বর্গক্ষেত্র:
বাহু = √১৬০০ = ৪০ ফুট
চারপাশে রাস্তা যোগ করলে নতুন বাহু = ৪০ + ২ + ২ = ৪৪ ফুট

নতুন ক্ষেত্রফল = ৪৪ × ৪৪ = ১৯৩৬ বর্গফুট
রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৯৩৬ - ১৬০০ = ৩৩৬ বর্গফুট
তাহলে,
ট্যালি বসবে = ৩৩৬ / ১.৫ = ২২৪ 

∴ট্যালি বসবে = ২২৪ টি 

নোটঃ প্রশ্নে শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল বলা আছে তাই বাহুর সাথে ৪০ + ৪ যোগ করা হয়েছে, যদি রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল বলা হত তাহলে ৪০ - ৪ হত। 

ধরি, দৈর্ঘ্য = x m
তাহলে প্রস্থ = (x - 6) m
প্রশ্নমতে,
x(x - 6) = 160
বা, x² - 6x -160 = 0
বা, x² - 16x + 10x -160 = 0
বা, x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
বা, (x - 16)(x + 10) = 0
কিন্তু x +10 ≠ 0
সুতরাং x -16 = 0
বা, x = 16 m

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৪০ মিটার 
= ১৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার = ক মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/৪
∴ ক = ৭ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= ২ × (২৮ + ৭) মিটার
= ২ × ৩৫ মিটার
= ৭০ মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা ৭০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ হলে আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৩ক + ক) = ২ × ৪ক  = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান হওয়ায় = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহু = ৮ক/৪ = ২ক মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক × ৩ক = ৩ক^২ বর্গমিটার।
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক)^২ = ৪ক^২ বর্গমিটার।

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = ৩ক^২ : ৪ক^২ = ৩ : ৪

অতএব, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩ : ৪।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √25 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 12cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
√(x² + y²) = √25 
∴ x² + y² = 25 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 12 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 25 + (2 × 12) = 25 + 24 = 49
⇒ (x + y)² = 49
⇒ x + y = √49
∴ x + y = 7

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 7 = 14cm.

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ OC = 1/2 AC
= 4√2/2
= 4/√2

আবার,
OB = 1/2 BD
= 1/2 AC
= 4√2/2
= 4/√2

∴ ΔBOC = 1/2 × OB × OC
= 1/2 × 4/√2 × 4/√2
= 16/4
= 4 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ সে.মি. এবং ১০ সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১০
= ৪ × ১০
= ৪০ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(১৮ + ১২) সে.মি.
= ৬০ সে.মি.
শর্তমতে,
৪a = ৬০ (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = ১৫
বা, a^২ = ২২৫ বর্গ সে.মি.

ধরি, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h
বৃত্তের ব্যাস = 4a তাহলে ব্যাসার্ধ = 4a/2 = 2a
সুতরাং,
4a × h = 4Πa²
∴ h = Πa

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.২০ক
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৮০খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৬ কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস= কখ - ০.৯৬কখ = ০.০৪ কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = (০.০৪ × ১০০)/১০০ = ৪%

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ১০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = ১০০ একক
ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক = ১০০০০ বর্গএকক 

বাহুর দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি করা হলে,
নতুন বাহু = ১০০ + ১০০ এর ১০% = ১০০ + ১০ = ১১০ একক 
নতুন ক্ষেত্রফল = (১১০)^২ = ১২১০০ বর্গ একক

 ∴ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১২১০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ২১০০ বর্গ একক 

১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ২১০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় =২১০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = (২১০০ × ১০০)/১০০০০ = ২১ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ২১ %

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য 25 সে.মি. এবং উচ্চতা 16 সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 25 সে.মি.
এবং উচ্চতা = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (25 × 16)
= 400 বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রাজশাহী বিমানবন্দরের রানওয়ের দৈর্ঘ্য ১.৫ কিলোমিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। রানওয়ের চতুর্পাশে প্রতি ৩ মিটার অন্তর একটি লাইট প্রতিস্থাপন করা হলে মোট কতগুলো লাইট লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রানওয়ের দৈর্ঘ্য = ১.৫ কিলোমিটার = ১৫০০ মিটার
রানওয়ের প্রস্থ = ৩০ মিটার
প্রতি ৩ মিটার অন্তর লাইট বসানো হবে।

দৈর্ঘ্য বরাবর লাইট লাগবে = (১৫০০/৩) + ১ = ৫০০ + ১ = ৫০১
প্রস্থ বরাবর লাইট লাগবে = ৩০/৩ + ১ = ১০ + ১ = ১১

মোট লাইট লাগবে = (৫০১ + ৫০১ + ১১ + ১১) - ৪ [ এখানে ৪ হলো দুই দিকের প্রস্থের দুই প্রান্তের মোট ৪টি লাইট ]
= ১০২০

দেয়া আছে, 
রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার
উচ্চতা ৫ মিটার 

রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/৪ মিটার = ১৪ মিটার

রম্বস এক ধরণের সামন্তরিক। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যাবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
                           = (১৪×৫) মিটার 
                            = ৭০ মিটার


--------------------
বিভিন্নভাবে রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
যেমন -
১. ভূমি ও উচ্চতার ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের ভূমি b একক এবং উচ্চতা h একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক।

২. ভূমি ও শীর্ষকোণের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং সন্নিহিত কোণদ্বয় θ ও φ হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinθ বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinφ বর্গ একক।

৩. কর্ণদ্বয়ের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য d₁ একক ও d₂ একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2(d₁d₂) বর্গ একক

৪. অন্তর্লিখিত বৃত্তের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 2ar বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(অর্ধপরিসীমা × ব্যাসার্ধ) বর্গ একক।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার 

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক

দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 একক

অতএব,
a × √2 = 4√2
⇒ a = 4

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a = 4 × 4 = 16 একক

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর প্রস্থ ১২.৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২.৫ মিটার 

আমরা জানি, 
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার 
∴ ২ এয়র = (১০০ × ২) বর্গমিটার = ২০০ বর্গমিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ২০০/১২.৫ 
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার । 

ধরি, প্রস্থ = x মি.
∴ দৈর্ঘ্য = (x + 2) মি.
প্রশ্নমতে,
2 (x + x + 2) = 28
বা, 2x + 2 = 14
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ দৈর্ঘ্য = (6 + 2) মি. = 8 মি.

প্রশ্ন: জাহিদ একটি আয়তাকার বাগানের চারদিকে হাঁটতে বের হলো। বাগানটির দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার। বাগানের পরিসীমায় অবস্থিত এমন দুটি বিন্দু আছে, যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব সবচেয়ে বেশি। ঐ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগান যার দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার
এবং প্রস্থ ৮ মিটার

এখন, 
আয়তাকারের পরিসীমার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব হয় ঠিক বিপরীত কোণের মধ্যে দূরত্ব অর্থাৎ কর্ণের দৈর্ঘ্য।
∴ কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)  ; [পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে]
= √(১৫^২ + ৮^২)
= √(২২৫ + ৬৪)
= √২৮৯
= ১৭ মিটার

সুতরাং, পরিসীমার দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব = ১৭ মিটার

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.১ক
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৯খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৯কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস = কখ - ০.৯৯কখ = ০.০১কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (০.০১ × ১০০)/১০০ = ১%

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ১০ - ১০ + [১০ × (-১০)]/১০০
= -১

প্রশ্ন: নিম্নের ABCD সামান্তরিকের বাহুগুলো চিহ্নিত করা আছে। AD বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
∴ AB = CD
⇒ 6x - 10 = 3x + 5
⇒ 3x = 15
∴ x = 5

∴ AD = 4x - 5 = 4 × 5 - 5 = 20 - 5 = 15