চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল a² = 32
বা, a = 4√2
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 4√2 × √2 = 8 ফুট।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেন্টিমিটার এবং 6 সেন্টিমিটার, এবং এদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 সেন্টিমিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
= 1/2 × (10 + 6) × 4
= 1/2 × 16 × 4
= 8 × 4
= 32 বর্গ সে.মি.

অতএব, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল হবে 32 বর্গ সে.মি.।

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × AB × BC
বা, 8 = 1/2 a × a
বা, a² = 16
∴ a = 4
∴ পরিসীমা = 4a
= 4 × 4
= 16

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার।
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(20² - 16²) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
 
সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৯৬ = (১/২) × a × ১৬
বা, ৯৬ = ৮a
বা, a = ৯৬/৮
∴ a = ১২

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক। উক্ত আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে, এক বাহু = a এবং অপর বাহু = 2a
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
∴ কর্ণ = √{a² + (2a)²}
⇒ কর্ণ = √(a² + 4a²)
⇒ কর্ণ = √(5a²)
⇒ কর্ণ = √5a

∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √5a একক।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

সমাধান:
মনেকরি  
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক 
 কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক

শর্তমতে,
√2ক = 6√2
⇒ ক = 6√2/√2
∴ ক = 6

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ক²
= 6²
= 36 বর্গমিটার

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা) । 

অন্যদিকে, 
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল। 
- বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^২ । 
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (২ক + ক) একক
= ৬ক একক

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ক/২)^২ = (৯ক^২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) = ২ক^২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক^২)/৪ : (২ক^২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮ 

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)°
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 20 মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 20
⇒ a = 5 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 5² = 25 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 5 = 10 মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল: A' = (a')² = 10² = 100 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A' - A)/A × 100
= (100 - 25)/25 × 100
= (75/25) × 100
= 3 × 100 = 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ২০ মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
 বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 20
⇒ a = 5 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 5² = 25 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 5 = 10 মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল: A' = (a')² = 10² = 100 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A' - A)/A × 100
= (100 - 25)/25 × 100
= 75/25 × 100
= 3 × 100 = 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = ৪ : ৩ = ৪০ : ৩০
পরিসীমা = ৪০ + ৩০ = ৭০
∴ অর্ধপরিসীমা = ৭০/২ = ৩৫

তাহলে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = a × 2a
= 2a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
2a² = 200
বা, a² = 200/2
বা, a² = 100
∴ a = 10 মিটার 

∴ পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 (2a + a)
= 2 × 3a
= 6a
= 6 × 10
= 60 মিটার 

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৪০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৪০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৪০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৪০) একক 
= ১৪০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৪০)^২ = ১৯৬০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৯৬০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৯৬০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৯৬০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৯৬ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%

ধরি,
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল ১৬a
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল ৯a

∴ ১ম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√a
২য় বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩√a

∴ ১ম বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৪√২√a = ৪√২a
২য় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩√২√a = ৩√২a

∴ কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ৪√২a:৩√২a = ৪ঃ৩

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য = √x
সুতরাং এর অতিভূজ হবে = √2.√x = √(2x)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার 
= ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার 
= ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার

প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = a + 1
∴ পরিসীমা = 2(a + a + 1) = 14
বা, 2a + 1 = 7
বা, 2a = 6
∴ a = 3
∴ দৈর্ঘ্য = 4, প্রস্থ = 3
∴ কর্ণ = √(16 + 9) = 5

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি যথাক্রমে ১৪ সে.মি. ও ৬ সে.মি.। যদি এর ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × (১৪ + ৬) × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × ২০ × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = ১০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৬০/১০
∴ উচ্চতা = ১৬ সেমি

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.। পরিসীমার অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সামান্তরিকে বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

দেওয়া আছে, 
দুটি সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে, ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.

∴ চারটি বাহু হবে, ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি.
∴ পরিসীমা = ১৩ + ৪ + ১৩ + ৪
= ৩৪ সে.মি.

∴ পরিসীমার অর্ধেক = ৩৪/২
= ১৭ সে.মি.

সুতরাং, পরিসীমার অর্ধেক ১৭ সে.মি.

শর্টকাট:
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহু ১ + সন্নিহিত বাহু ২)
= ২ × (১৩ + ৪)
= ২ × ১৭
= ৩৪ সে.মি.
অর্ধেক = ৩৪/২ = ১৭ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি ও ৫ সে.মি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৬ সেমি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি ও ৫ সে.মি।
বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৬ সেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × (মধ্যবর্তী দূরত্ব) বর্গএকক
=১/২ × (১২ + ৫) × ৬ বর্গসেমি
= ১/২ × ১৭ × ৬ বর্গসেমি
= ১৭ × ৩ বর্গসেমি
= ৫১ বর্গসেমি

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৫১ বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ১৬ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১৬
= ৬৪ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬৪ = ৮ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৮ মিটার
= ৩২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় কত সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব (উচ্চতা) = 3 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় a এবং b সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ 48 = 1/2 × (a + b) × 3
⇒ 48 = (a + b) × 3/2
⇒ (a + b) × 3 = 48 × 2
⇒ (a + b) × 3 = 96
⇒ a + b = 96/3
⇒ a + b = 32

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় = (a + b)/2
= 32/2
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের আদি ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ = ১০,০০০ বর্গ একক

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে,
∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ২০%) একক
= (১০০ + ২০) একক
= ১২০ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১২০)^২ = ১৪,৪০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৪,৪০০ - ১০,০০০) বর্গ একক = ৪,৪০০ বর্গ একক

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৪,৪০০/১০,০০০) × ১০০%
= ৪৪%

সুতরাং, ক্ষেত্রফল শতকরা ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 1600 বর্গফুট। মাঠের চারপাশে 3 ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা রয়েছে। এই রাস্তায় প্রতি 1.5 বর্গফুটের টাইল বসানো হলে মোট কতটি টাইল লাগবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = 1600 বর্গফুট
⇒ মাঠের এক পাশ = √1600 = 40 ফুট

ভেতরের রাস্তায় চারদিকে ৩ ফুট রাস্তা থাকায়,
= 40 - 3 - 3 = 34 ফুট

রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল
= 40² - 34²
= 1600 - 1156
= 444 বর্গফুট

প্রতি টাইলের ক্ষেত্রফল = 1.5 বর্গফুট
টাইলের সংখ্যা = 444 / 1.5 = 296 টাইল

∴ টাইলের সংখ্যা 296 টি 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মিটার হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 18 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 18 এর 5/6
= (18 × 5)/6
= 90/6
= 15 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 18
= 270 বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3 গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 128 বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = x সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = 3x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 128
⇒ (1/2) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = 128
⇒ (1/2) × x × (x + 3x) = 128
⇒ 4x²/2 = 128
⇒ 2x² = 128
⇒ x² = 64
⇒ x = 8

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 

সমাধান:
সমান্তর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = ভিত্তি × উচ্চতা
প্রাথমিক ভিত্তি b এবং উচ্চতা h

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল: A₁ = b × h

নতুন মান:
ভিত্তি দ্বিগুণ = 2b
উচ্চতা অর্ধেক = h/2
A₂ = 2b × h/2 = b × h = A₁

∴ ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১৮ মিটার বেশি। পরিসীমা ১৫২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = x + ১৮ মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ২ × [(x + ১৮) + x] = ১৫২
⇒ ২ × (২x + ১৮) = ১৫২
⇒ ৪x + ৩৬ = ১৫২
⇒ ৪x = ১৫২ - ৩৬
⇒ ৪x = ১১৬
⇒ x = ১১৬/৪ 
∴ x = ২৯

অতএব, প্রস্থ = ২৯ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২৯ + ১৮ = ৪৭ মিটার

ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৪৭ × ২৯) বর্গমিটার
= ১৩৬৩ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল ১৩৬৩ বর্গমিটার

একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে আড়াআড়িভাবে হেঁটে আয়াতাকার জমির কর্ণের সমান দূরত্ব 5√5 মিটার অতিক্রম করলেন।
ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹5√5 = √{(2x)² + x²}
⇒5√5 = √(4x² + x²)
⇒5√5 = √(5x²)
⇒5√5 = x√5
⇒ x = 5
∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2×5² = 50 বর্গমিটার

চিত্রে, EF||BC
∴ EBCF চর্তুভূজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে এর পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 [এখানে, a = বাহু]
⇒ 8√2 = a√2
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 4a = 4 × 8 = 32
পরিসীমার অর্ধেক = 32/2 = 16
অতএব, পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান = 16/4 = 4 একক