চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a
প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
⇒ a = 5

∴  রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি.  এবং (3 × 5) = 15 সে.মি. 

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি. 

প্রশ্ন: PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করলে PO² + QO² = কত?

সমাধান:

পিথাগোরসের উপপাদ্য অনুসারে POQ ত্রিভুজ হতে,
PQ² = PO² + QO²
⇒ 5² = PO² + QO²
∴ PO² + QO² = 25

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি. হলে, লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৫৪ বর্গ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুটি = ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × (১০ + ৮) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × ১৮ × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = ৯ × লম্ব দূরত্ব
⇒ লম্ব দূরত্ব = ৫৪/৯ 
∴ লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামটির লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

দৈর্ঘ্য = √(ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের কত গুন)
= √(২০০ × ২)
= ২০ মিটার
সুতরাং, প্রস্থ হবে ১০ মিটার
তাহলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা হবে = ২(২০+১০) = ৬০ মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = সামন্তরিকের ভূমি × উচ্চতা
∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪ × ৩ = ১২ বর্গফুট।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √৩২ একক হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩২ একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√২ একক
সুতরাং,
a√২ = √৩২ = √(১৬ × ২) = ৪ × √২
∴ a = ৪ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৪ = ১৬ একক

সামন্তরিকের বৈশিষ্ট অনুসারে এর কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার 
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৩০ × ৪) মিটার 
= ১২০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = ১২ মিটার
বর্গের বাহু  এবং কর্ণের সম্পর্ক,
কর্ণ  = বাহু√২ 
⇒ বাহু = কর্ণ /√২ 
⇒ বাহু = ১২/√২
⇒ বাহু = ৬√২ মিটার
 
পরিধি = ৪ × ৬√২ = ২৪√২ মিটার
 
∴ বর্গের পরিধি = ২৪√২ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ মাঠের দৈর্ঘ্য = 2x + 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 110
⇒ 2(2x + 10 + x) = 110
⇒ 2(3x + 10) = 110
⇒ 3x + 10 = 55
⇒ 3x = 55 - 10
⇒ 3x = 45
⇒ x = 45/3
∴ x = 15

∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ মিটার
= (2x + 10) × x
= (2 × 15 + 10) × 15 
= 40 × 15
= 600 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৫ বর্গ মিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা ৫ মিটার। অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৫৫ বর্গ মিটার
একটি সমান্তরাল বাহু = ১০ মিটার
এবং উচ্চতা = ৫ মিটার

ধরি, 
অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = {(সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা}/২
৫৫ = {(১০ + ক) × ৫}/২
⇒ ৫৫ × ২ = (১০ + ক) × ৫ 
⇒ ১০ + ক = ২২ 
⇒ ক = ২২ - ১০ 
∴ ক = ১২ 

সুতরাং, অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2 একক।

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = (6√2)/√2
∴ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= 6²
= 36 বর্গ একক।

ΔABD ত্রিভূজের অতিঃ BD = ১০ সে. মি.
∴ AB = AD = ১০/√২ সে. মি.
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১০/√২ × ১০/√২ = ২৫ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ × (৮ + ৬) মিটার 
= (২ × ১৪) মিটার 
= ২৮ মিটার ।

দৈর্ঘ্য = 18cm,
প্রস্থ = 10cm
∴ ক্ষেত্রফল = 18 × 10
= 180 বর্গসেঃমিঃ
ধরি,
নতুন প্রস্থ = bcm
∴ 25 × b = 180
বা, b = 180/25
= 7.2 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ২ ইঞ্চি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
এখানে চতুর্ভুজ বলতে আয়তক্ষেত্র বোঝানো হয়েছে, কারণ দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উল্লেখ করা হয়েছে, যা সাধারণত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য = ৩ ইঞ্চি
প্রস্থ = ২ ইঞ্চি

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩ + ২) = ২ × ৫ = ১০ ইঞ্চি

সুতরাং, পরিসীমা ১০ ইঞ্চি

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ (40² + 30²)
= 50
মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে, (50 + 40 + 30) = 120 মিটার
তাহলে মোট সময় লাগবে, 120 / 10 = 12 মিনিট

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪৪ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৪৪ 
বা, ২x + ১২ = ৭২ 
বা, ২x = ৭২ - ১২ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ৩০ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (৩০ + ১২) মিটার = ৪২ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১২ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৬৮ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (ক - ১২) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{ক + (ক - ১২)} মিটার
= ২(২ক - ১২) মিটার
= (৪ক - ২৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক - ২৪ = ১৬৮
⇒ ৪ক = ১৬৮ + ২৪ 
⇒ ৪ক = ২৯২
⇒ ক = ২৯২/৪
∴ ক = ৪৮

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 
অপর কর্ণটি = ৮ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১০ × ৮
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: ৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তাকার মাঠের
প্রস্থ = ক মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = ক  + ৮০  

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(ক + ক  + ৮০) = ৬০০
⇒ ২ক  + ৮০ = ৩০০ 
⇒ ২ক = ৩০০ - ৮০ 
⇒ ২ক = ২২০ 
∴ ক = ১১০ 

∴ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ১১০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৫০ × ৪) মিটার 
= ২০০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ সে. মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের বাহু = ১১ সে. মি.
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য, a = ১১√২ সে. মি.

∴ a দৈর্ঘ্যের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
= a^২
= (১১√২)২
= ১২১ × ২
= ২৪২ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°  
= ১০০° ।