চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: দুইটি বর্গের বাহুর অনুপাত 2 : 3 হলে বর্গ দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম বর্গের বাহু = 2x এবং দ্বিতীয় বর্গের বাহু = 3x
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁​ = (2x)² = 4x² 
A₂ = (3x)² = 9x²

ক্ষেত্রফলের অনুপাত
A₁ : A₂ = 4x² : 9x² = 4 : 9

সুতরাং অনুপাত = 4 : 9

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
বা, x = 16
সুতরাং পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(2×16 + 16) = 96 m.

প্রশ্ন: ৪০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ৩০ মিটার

সুতরাং,
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার = ১,২০০ বর্গমিটার

যেহেতু রাস্তাটি বাগানের বাইরে, তাই উভয় দিকে রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৪০ + ২ + ২) মিটার = ৪৪ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (৩০ + ২ + ২) মিটার = ৩৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৪ × ৩৪) বর্গমিটার = ১,৪৯৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (১,৪৯৬ - ১,২০০) বর্গমিটার
= ২৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি একটি বর্গের বাহগুলো ২০% বাড়ানো হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ক^২ 

২০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য:
নতুন বাহু = ক + ০.২০ক = ১.২০ক
নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২০ক)^২ = ১.৪৪ক^২ 

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - পুর্বের ক্ষেত্রফল
= ১.৪৪ক^২ - ক^২
= ০.৪৪ক^২

শতকরা হিসেবে = (০.৪৪ক^২ / ক^২) × ১০০% = ৪৪%

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৫ × ৪.২
= ১০.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১৭ সেন্টিমিটার ও ১৪ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১৪ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১৭ × ১৪
= ১১৯ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সেন্টিমিটার এবং 40 মিলিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = 8 সেন্টিমিটার 
অপর বাহু = 40 মিলিমিটার
= (40/10) সেন্টিমিটার
= 4 সেন্টিমিটার

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= 2(8 + 4) সে.মি.
= (2 × 12) সে.মি.
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: x = 2 + √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2 + √3
⇒ 1/x = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² - √3²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

এখন,
x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

আমরা জানি,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১১৫২
বা, ক^২ = ৫৭৬
∴ ক = ২৪

অর্থাৎ, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ২ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৪৮ + ২৪) মিটার
= ২ × ৭২ মিটার
= ১৪৪ মিটার

অতএব, আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ১৪৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল 1152 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (2x × x) = 2x² বর্গমিটার
পরিসীমা = 2(2x + x) = 6x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x² = 1152
⇒ x² = 1152/2
⇒ x² = 576
∴ x = 24

সুতরাং, পরিসীমা = (6 × 24) = 144 মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪২ মিটার হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার    ; (দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ)

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
∴ ২(২ক + ক) = ৪২
⇒ ২(৩ক) = ৪২
⇒ ৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২ ÷ ৬
∴ ক = ৭ মিটার

সুতরাং, প্রস্থ = ৭ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৭ = ১৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১৪ × ৭ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ রম্বস একটি _________

সমাধান:
বৃত্তস্থ রম্বস বলতে আমরা বুঝি, এমন একটি রম্বস যেটি একটি বৃত্তের মধ্যে perfectly আঁকা যায়, অর্থাৎ রম্বসের সব চারটি কোণ এমন যে একটি বৃত্ত সেই চারটি বিন্দুতে স্পর্শ করতে পারে।

যদি রম্বসটি বৃত্তস্থ হয়, তাহলে এর চারটি কোণ সমান বা সব কোণ সমান হয় না, কিন্তু সব রম্বসের ক্ষেত্রেই বৃত্তস্থ হলে সব বাহু সমান হয় এবং কোণগুলো ৯০° হয়। অর্থাৎ এটি বর্গক্ষেত্র।

সঠিক উত্তর: ঘ) বর্গক্ষেত্র।

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গফুট
= 2 × 25 বর্গফুট 
= 50 বর্গফুট

আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত বাহুর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180⁰

তাহলে,
∠A + ∠B = 180°

অনুরূপভাবে,
∠A + ∠D = 180°
এখন
∠A + ∠B = ∠A + ∠D
∠B = ∠D = 120°

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গ ফুট
= ৫৬০০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৮০ + (৫+৫)} {৭০ + (৫+৫)}
= ৯০ × ৮০
= ৭২০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭২০০ - ৫৬০০
= ১৬০০ বর্গ ফুট

মনে করি, দৈর্ঘ্য = 5x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
2(5x + 2x) = 140
⇒ 7x = 70
∴ x = 10
দৈর্ঘ্য = 5 X 10 = 50 মি.

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি
∴ AD||BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE ফলে ∠A + ∠B
= ∠CBE + ∠CBA
= 180°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১৭ একক এবং দৈর্ঘ্য ১৫ একক হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = ১৭ একক
দৈর্ঘ্য = ১৫ একক

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২ 
⇒ ১৭^২ =  ১৫^২ + প্রস্থ^২
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + প্রস্থ^২
⇒ প্রস্থ^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ প্রস্থ^২ = ৬৪ = ৮^২ 
∴ প্রস্থ= ৮ একক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১৫ + ৮) একক
= (২ × ২৩) একক
= ৪৬ একক

সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৬ একক।

দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৪৮
∴ প্রস্থ = ৬
∴ AB = ৬, BC = ৮
∴ কর্ণ AC = √(AB²+ BC²
= √(৬^২ + ৮^২)
= √(৩৬ + ৬৪)
= ১০

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= x² × 4/x²
= 4

বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য = a√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপরটির একবাহুর চারগুন।
অপর বর্গক্ষেত্রের একবাহু = 4a
অপর বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য= 4a√2
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = 4:1

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √32
= √(16 × 2)
= 4√2 মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
= √2 × 4√2 মিটার 
= 8 মিটার 

ঘরের বিস্তার x মি. হলে, দৈর্ঘ্য = 2x মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (x × 2x) = 2x² বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, 2x² = 512
=> x² = 256
∴ x = 16
∴ দৈর্ঘ্য = 32 মি.
ঘরটির পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৩২ + ১৬) মি.
= ৯৬ মি.

যেহেতু, প্রস্থ 16cm ∴ দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48cm
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16+48) = 128cm = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4 = 32
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 32² = 1024

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 8 × 9
= 36 বর্গ সে.মি.
শর্তমতে, a² = 36 (যেহেতু রম্বসের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = 6 সে.মি.
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
= 4 × 6
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 65° হলে, বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 65° হলে,
অপর কোণ = (180 - 65)°
= 115°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৫/৪ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
১৫ মিটার = বিস্তার × (৫/৪)
⇒ বিস্তার = (১৫ × ৪)/৫ 
⇒ বিস্তার = ১২ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + বিস্তার) 
= ২(১৫ + ১২) মিটার 
= ২ × ২৭ মিটার 
= ৫৪ মিটার 

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২x মি.
পরিসীমা = ২( ২x + x) মি.

 সুতরাং,
২( ২x + x) = ৬০
বা, ২( ৩x) = ৬০
বা, ৬x = ৬০
বা, x = ১০
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০ × ১০ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?

সমাধান:
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁ = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 5 = 60 বর্গএকক

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সূত্র:
d = √(L² + W²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 বর্গএকক

নতুন দৈর্ঘ্য = কর্ণ = 13 একক, প্রস্থ = 5 একক
A₂ = 13 × 5 = 65 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A₂ - A₁ = 65 - 60 = 5 একক
শতকরা বৃদ্ধি = 5/60 × 100% = 8.33%

∴ শতকরা বৃদ্ধি = 8.33%

চর্তুভূজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাদ্বারা সামান্তরিক গঠিত হয়।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার। এর প্রস্থ ৫ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৪০
প্রস্থ = ৫

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৪০ = ২(দৈর্ঘ্য + ৫)
৪০ = ২দৈর্ঘ্য + ১০
৩০ = ২দৈর্ঘ্য
দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

ধরি, ঘরের প্রস্থ = x ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২x ইঞ্চি
প্রশ্নমতে,
২x² = ৫১২
বা, x = ১৬
ঘরের প্রস্থ = ১৬ ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = (২ x ১৬) বা ৩২ ইঞ্চি
পরিসীমা = ২(৩২+১৬) বা ৯৬ ইঞ্চি
৯৬ ইঞ্চি = ৯৬/১২ = ৮ ফুট (১২ ইঞ্চি = ১ ফুট)

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 50 ও 25 মিটার, দৈর্ঘ্য 10 মিটার কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে? 

সমাধান:
মূল ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 50 × 25 = 1250 বর্গমিটার

নতুন দৈর্ঘ্য = 50 - 10 = 40 
নতুন দৈর্ঘ্য দিয়ে ক্ষেত্রফল = 40 × 25 = 1000 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল হ্রাস = 1250 - 1000 = 250 বর্গমিটার

শতকরা হ্রাস = 250/1250 × 100 = 20%

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = 20%