ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

যেহেতু বলাই আছে যে শিরঃকোণটির সমদ্বিখণ্ডক ভূমির উপর লম্ব অর্থাৎ পাশের দুইটি বাহু নিশ্চিতভাবেই সমান। এখন ভূমি এই দুটি বাহুর সমান হতেও পারে নাও পারে।
তবে, প্রশ্ন যদি এটা হয় যে, কোন ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক সর্বদা ভুমির উপর লম্ব হবে। তাহলে উত্তর সমবাহু।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দুইটি কোণের সমষ্টি ১০০° হলে তৃতীয় কোণের মান (১৮০-১০০)° = ৮০°।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১৮ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (a²) বর্গএকক।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (১৮)^২ বর্গমিটার
= √৩/৪ × ৩২৪ বর্গমিটার
= ৮১√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৮১√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি-

সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
ধরি, ত্রিভুজটির তিনটি কোণ হলো A, B এবং C
তাহলে, A + B + C = ১৮০°

এখানে, একটি কোণ (ধরি A) অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান।
 অর্থাৎ, A = B + C

তাহলে, A + A = ১৮০°
⇒ ২A = ১৮০°
⇒ A = ৯০°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণের মান ৯০°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∴ ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী হবে।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×বাহু² = (√3/4)×1² = √3/4 বর্গএকক।

পরিসীমা = ৪৮ মি. ∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ মি.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)২ বর্গমি.
                                 = √৩/৪ (১৬)২ বর্গমি.
                                 = ৬৪√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ মিটার হলে উহার পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = = (√3 / 4) × বাহু² 
এবং, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × বাহু 

প্রশ্নমতে, 
⇒ 36√3 = (√3 / 4) × বাহু²
⇒ বাহু² = 36 × 4 
⇒ বাহু = √(36 × 4) 
⇒ বাহু = 6 × 2 = 12 মিটার 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × 12 = 36 মিটার

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 36 মিটার

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a² - b²) বর্গ একক
= (60/4) × √{4 × 50² - 60²}
= 15 × √(10000 - 3600)
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সেমি

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২ 
১৬৯ = ১৪৪ + ২৫
১৬৯ = ১৬৯

সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a)²

প্রত্যেক বাহু 1 মিটার বাড়ালে নতুন বাহু = (a + 1) মিটার
∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 1)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × (a + 1)² - (√3/4) × a² = 3√3
⇒ (√3/4) × {(a + 1)² - a²} = 3√3
⇒ (√3/4) × {(a² + 2a + 1) - a²} = 3√3
⇒ (√3/4) × (2a + 1) = 3√3
⇒ 2a + 1 = 3√3 × (4/√3)
⇒ 2a + 1 = 12
⇒ 2a = 11
⇒ a = 5.5 মিটার

∴ নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য = 5.5 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে: 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × 8²
= (√3/4) × 64
= 16√3 বর্গ মিটার

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ মিটার। 

মনেকরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪‍(a²)
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩/৪(a+১)²
প্রশ্নমতে,
(√৩/৪(a+১)²) - (√৩/৪(a²)) = ৩√৩
a² + ২a + ১ - a² = ১২
২a = ১১
a = ৫.৫

প্রশ্ন: ABC একটি ত্রিভুজ যেখানে AB = AC = 13 এবং BC = 10,  উচ্চতা AD = কত?

সমাধান:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = √(১৩^২ - ৫^২)
= √(১৬৯ - ২৫)
= √১৪৪
= ১২

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী।
ত্রিভূজটি সমকোণী এবং দ্বিতীয় কোণের মানের ৫০ ডিগ্রি|
∴ অপর কোণের মান = (১৮০ - ৯০ - ৫০) = ৪০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮০ বর্গসেমি। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ৩০ সেমি হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১৮০ বর্গসেমি
ভূমির দৈর্ঘ্য = ৩০ সেমি

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = (১/২) × ৩০ × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = ১৫ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৮০/১৫
⇒ উচ্চতা = ১২

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা ১২ সেমি।

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভূজের তিনকোণের সমষ্টি= 180°
অর্থাৎ, x+y+z= 180° ............ (i)
আবার, এক সরল কোণ= 180°
∴ বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল=(180°-x)+(180°-y)+(180°-z)
= 540°-(x+y+z)
= 540°-180°
= 360°

ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(b/4)√(4a² - b²)
প্রশ্নমতে,
বা, (b/4)√(4a² - b²) = 1200
বা, 15 √(4a² - 3600) = 1200
বা, √(4a² - 3600) = 80
বা, 4a² = 10,000
বা, a = 50 

ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x2 + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার
∴ অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15 : 20 = 3 : 4

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1

আবার,
 x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1

এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

(অতিভুজ)² = (৫)^২
= ২৫ = ১৬ + ৯ = ৪^২ + ৩^২ = লম্ব^২ + ভুমি^{২
∴ অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি ও ৩ সেমি}

মনেকরি,
কোণদ্বয় = 2x, 3x
∴ 2x + 3x = 90°
বা, 5x = 90°
বা, x = 18°
∴ বৃহত্তম কোণটি = 3 × 18°
= 54°
এবং এই কোণটির সম্পূরক কোণ = 180° - 54°
= 126°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি:

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
এখন,
⇒ x² + x² = 20²
⇒ 2x² = 400
⇒ x² = 200
⇒ x = √200
⇒ x = √(100 × 2)
∴ x = 10√2

আমরা জানি, 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (10√2) × (10√2)
= (1/2) × (200)
= 100 বর্গ সে.মি

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
​আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ২, ৩, ৪
বৃহত্তম বাহু = ৪ ⇒ ৪^২ = ১৬
অন্য দুই বাহু: ২^২ + ৩^২ = ৪ + ৯ = ১৩
যেহেতু ১৬ ≠ ১৩, তাই সমকোণী নয়।

অপশন (খ) ৫, ১২, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩ ⇒ ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
যেহেতু ১৬৯ = ১৬৯, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

অপশন (গ) ৬, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০ ⇒ ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০
যেহেতু ১০০ = ১০০, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
​
​সুতরাং, (খ) ও (গ) উভয়ের ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: বিষমবাহু ΔABC-এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ΔABD-এর ক্ষেত্রফল y বর্গমিটার। ΔABC-এর ক্ষেত্রফল কত?

 সমাধান: 

আমরা জানি, 
যে কোন ত্রিভুজের মধ্যমা ঐ ত্রিভুজকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

যেহেতু ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল y বর্গমিটার
অতএব ,ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল হবে y বর্গমিটার ।

অতএব , ABC এর ক্ষেত্রফল = ∆ABD এর ক্ষেত্রফল + ∆ACD এর ক্ষেত্রফল
= y + y
= 2y বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 7 একক, 8 একক, এবং 9 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলি a = 7, b = 8, c = 9

অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (7 + 8 + 9)/2
= 24/2
= 12

এখন,
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √{12 × 5 × 4 × 3}
= √{720}
= √{144 × 5}
= 12√5 বর্গ একক

কোণ তিনটি যথাক্রমে, ∠A, ∠B ও ∠C হলে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + B = 180° - ∠C

বৃহত্তম কোণ = 180° - (সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি)
                = 180° - (2 × 50)°
                = 80°

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী। 
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি = x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে = ২x 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০° 
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০° 
বা, ৩x = ৯০° 
বা, x = ৯০°/৩ 
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০° 

∴ বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণ= ২x 
= ২ × ৩০° 
= ৬০° 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু^২ 
= (√৩/৪) × ৬^২
= (√৩/৪) × ৩৬
= ৯√৩ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:

ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ মিটার

শর্তমতে,
(√3/4) × a² = √3
বা,  a² = 4
বা, a = 2

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 3a = 3 × 2 মিটার = 6 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ২৪ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a^২ 
= (√৩/৪) × (২৪)^২
= (√৩/৪) × ২৪ × ২৪
= √৩ × ৬ × ২৪
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১৪৪√৩ বর্গমিটার