ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
​
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G) মধ্যমাকে (AD) ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, AG : GD = ২ : ১
দেওয়া আছে, GD = ৫ সেমি।

প্রশ্নমতে,
​ AG : GD = ২ : ১
​ ⇒ AG/৫ = ২/১
​ ⇒ AG = ৫ × ২ 
​∴ AG = ১০

এখন, মধ্যমা AD = AG + GD
= ১০ সেমি + ৫ সেমি
= ১৫ সেমি

প্রশ্ন: সেন্টিমিটার এককে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ ও ১৬ হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজে, দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে এবং দুটি বাহুর ব্যবধান তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হবে।
অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে ৯ এর বেশি এবং ২৩ এর কম।

ক) ২২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ২২ < ২৩)
খ) ১৭ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১৭ < ২৩)
গ) ৯ (অসম্ভব, কারণ ৯ এর বেশি হতে হবে)
ঘ) ১২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১২ < ২৩)

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (a), লম্ব (b) এবং অতিভুজ (c)
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,  a² + b² = c²
দেওয়া আছে,
ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4।

ধরি,
ভূমি, a = 3x এবং লম্ব, b = 4x।
∴ c² = (3x)² + (4x)²
⇒ c² = 9x² + 16x²
⇒ c² = 25x²
⇒ c = √(25x²)
∴ c = 5x
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
∴ অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত = অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5 : 3

সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5 : 3

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½)×a×b×sinθ
= (½)×20×20×sin45°
= 10x20x(1/√2)
= 200/√2
= (2x100)/√2
= 100√2

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০। ইহা একটি সমদ্বিবাহু সমকোনী ত্রিভুজ।
দুটি কোন সমান হলে দুটি বাহুও সমান হবে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

ত্রিভুজের পরিসীমা = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 70°
বা,∠B = 55°

এখানে,
x/2 + 3x/2 + 5x/2 = 180°
বা, x + 3x + 5x = 180° × 2
বা, 9x = 180° × 2
বা, x = 20° × 2 = 40°
∴ বৃহত্তম কোণ = (5 × 40°)/2
= 100°
∴ বৃহত্তম কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 100°
= 80°

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
এখানে,
4²+3² = 16+9 = 25 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
5²+4² = 25+16 = 41 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
8²+7² = 64+49 = 113 ≠ 11² = 121 ; যা সম্ভব নয়।
12²+5² = 144+25 = 169 = 13² = 169 ; যা সম্ভব।
∴ নির্ণেয় অনুপাতটি 13 : 12 : 5

∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = 130° - 90° = 40°

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

প্রশ্ন: ১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য, h = 12 সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ h² = a² + a²
⇒ 12² = a² + a²
⇒ 144 = 2a²
⇒ a² = 144/2
⇒ a² = 72 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটিই ভূমি ও উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × a
= 1/2 a²
= 1/2 × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

ভূমি = a, লম্ব = b = 12, অতিভূজ = c
∴ পরিসীমা a + b + c = 30 বা, a + c = 30 - 6 = 18
∴ a + c = 18 = 13 + 5
যেখানে, 12² + 5² = 13²
∴ অতিভূজ = 13

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে, 
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)² - (16)²}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

ABC সমবাহু ত্রিভূজে AB = BC = CA = ২ সে. মি.
AD মধ্যমা
∴ AD ⊥ BC এবং CD = ১ সে. মি.
∴ AC² = AD² + CD²
বা, AD = √(AC² - CD²)
= √(২^২ - ১^২)
= √৩

প্রদত্ত কোনদ্বয়ের সমষ্টি = (৩৫ + ৫৫) বা ৯০°
তাহলে, অপর কোনটিও ৯০ কারন ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি ১৮০°
যার এককোন সমকোন তাকে সমকোনী ত্রিভুজ বলে।

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = 8 সে.মি. 

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (8/4) × √(4 × 5² - 8²) 
= 2√(4 × 25 - 64) 
= 2√(100 - 64) 
= 2√36
= 2 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.

মনে করি ΔABC এর ∠X + ∠Y + ∠Z = (∠A + ∠B + ∠A + ∠C + ∠B + ∠C)
= 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 × 180° = 360°

১ম রেখার ঢাল = -(1/1) = -1,
২য় রেখার ঢাল = -(1/-1) = 1
ঢালদ্বয়ের গুণফল = (-1)(1) = -1
∴ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব; ফলে ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ।

ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ক্ষেত্রফল = 16/4 √(4 × 10² - 16²)
= 4 √(400 - 256)
= 4 √144
= 48

বর্ননা অনুসারে , BC = 8 মি.
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4 মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে উচ্চতা;
h = (√3/2) × a
প্রদত্ত: h = 6√3​

6√3 = (√3/2) × a
⇒ a = (6√3 × 2) / √3
⇒ a = (6 × 2)
⇒ a = 12

পরিধি (P) = 3 × বাহু
P = 3 × 12 = 36 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 36 সেমি

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

প্রদত্ত অনুপাত গুলোর মধ্যে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২

অন্যদিকে,
৫^২ + ৪^২ ≠  ৬^২
৮^২ + ৪^২ ≠  ১২^২
৪^২ + ৩^২ ≠  ৬^২

অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৯ : ১২ : ১৫ হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

মনে করি,
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ 90-ক।
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90-ক = 90-49 = 41°

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২১ সেমি হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২১ সেমি
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২১ এর (২/৩) অংশ
= ২১ × (২/৩) সেমি
= ১৪ সেমি

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি।

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
EF = 1/2 (BC)

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 250 বর্গ একক
একটি সন্নিহিত বাহু = 25 একক
 ধরি, অপর বাহু = x একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  250 = (1/2) × (25 × x) 
⇒  x = (250 × 2)/25
⇒  x = 10 × 2
∴ x = 20 একক 

∴ নির্ণেয় বাহু = 20 একক। 

সমবাহু ত্রিভুজ এর বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = √3a²/4