ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে কী বলে? 

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।


চিত্রে G বিন্দুটি হলো ভরকেন্দ্র।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: Δ XYZ এ P ও Q যথাক্রমে XY ও XZ এর মধ্যবিন্দু। YZ বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. হলে, PQ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

এখানে, P ও Q যথাক্রমে △ XYZ-এর XY ও XZ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ PQ = (১/২) × YZ
দেওয়া আছে, YZ = ২৪ সে.মি.
∴ PQ = (১/২) × ২৪ সে.মি.
= ১২ সে.মি.
সুতরাং, PQ বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

মনে করি.
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 °- 49°
= 41°

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = x
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
∴ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 3 : 4 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
কোণগুলো = 3x, 3x, 4x
তাহলে, 
3x + 3x + 4x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

3x = 54°
4x = 72°

তাহলে কোনগুলো = 54°, 54°, 72°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ২টি কোণের সমান হয়।  

∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।  

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 136 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 34 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  136 = (1/2) × (34 × নির্ণেয় বাহু) 
⇒  নির্ণেয় বাহু = (136 × 2)/34
∴ নির্ণেয় বাহু = 8 একক। 

সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 2 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a²
= √3/4 × 2²
= √3/4 × 4
= √3

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার জমির বাহু তিনটি যথাক্রমে 25 মিটার, 20 মিটার এবং 15 মিটার। যদি প্রতি বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে 3.50 টাকা খরচ হয়। তাহলে পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 25 m, b = 20 m এবং c = 15 m

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (25 + 20 + 15)/2
= 60/2
= 30 মিটার 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{30 × (30 - 25) × (30 - 20) × (30 - 15)​}
= √(30 × 5 × 10 × 15​)
= √22500
= 150 বর্গ মিটার

∴ 1 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 টাকা 
∴ 150 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 × 150 = 525 টাকা

সুতরাং, পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট 525 টাকা খরচ হবে। 

প্রশ্ন: [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)] এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)]
= [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + (1/sin²θ))] 
= [1/(1 + sin²θ)] + [sin²θ/(1 + sin²θ)]
= (1 + sin²θ)/(1 + sin²θ)
= 1 

আমরা জানি, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
মনে করি, ∠B + ∠C = 78°
∴ ∠A = 180° - 78° = 102°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × ৪^২
= (√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩ বর্গ সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভিত্তি × উচ্চতা
= (১/২) × ৪ × h
= ২h

প্রশ্নমতে,
২h = ৪√৩
⇒ h = ২√৩

∴ উচ্চতা ২√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: ABC ত্রিভূজের ∠B = 90 ডিগ্রী এবং ∠A : ∠C = 3 : 6 হলে কোণ দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ABC ত্রিভুজে ∠B = 90° (সমকোণী ত্রিভুজ) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
সুতরাং ∠A + ∠C + 90° = 180°
⇒ ∠A + ∠C = 90°

প্রশ্নমতে,
∠A : ∠C = 3 : 6
⇒ ∠A/∠C = 3/6 = 1/2 
⇒ ∠A = (1/2) × ∠C

এখন ∠A + ∠C = 90° বসিয়ে:
(1/2)∠C + ∠C = 90°
⇒ (1/2 + 1)∠C = 90°
⇒ (3/2)∠C = 90°
⇒ ∠C = 90° × (2/3) = 60°

তাহলে, ∠A = 90° - 60° = 30° 

অতএব কোণ দুটির (∠A ও ∠C-এর) অনুপাত = 30° : 60° 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৫ × ৬)
= ১৫ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = 180°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে 180° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 3 × 180° - (A + B + C) 
= 540° - 180° = 360° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 360°।

প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি.

এখানে,
১৩^২ = ১৬৯
আবার,
১২^২ + ৫^২ = ১৪৪ + ২৫ = ১৬৯

কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
তাহলে, ত্রিভুজটি সমকোণী।  

এখানে,
3x + 4x + 2x = 360°
বা, 9x = 360°
∴ x = 40°
বা, 2x = 80°
∴ ∠ACB = 180° - 80°
= 100°

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
তাই একমাত্র খ অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।

সমকোণী ত্রিভূজের একটি সমকোণ = 90°
২য় কোণ = 50°
∴ ৩য় কোণ = 180° - (90° + 50°)
= 40°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সেন্টিমিটার। 

ধরি, ভূমি = 4x m
∴ লম্ব = 4x × (3/4) = 3x m
∴ 4x² + 3x² = 25²
বা, 25x² = 625
বা, x² = 25
∴ x = 5
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x = 4×5 = 20m

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৮ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: ΔPQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠PRS কোণটি নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
উক্ত ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PRS এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠P ও ∠Q

∴ বহিঃস্থ কোণ ∠PRS = ∠P + ∠Q 

ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের,
ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫
বা, a² = ৫০
∴ a = √৫০ = ৫√২

∴ অতিভূজ = √(a² + a²)
= √(২a²)
= a√২
= ৫√২.√২
= ১০ মিঃ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ মিটার, ৫ মিটার এবং ৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, a = ৩ মিটার, b = ৫ মিটার এবং c = ৬ মিটার

এখানে, পরিসীমা ২s = (৩ + ৫ + ৬) মিটার 
∴ অর্ধপরিসীমাদ s = (৩ + ৫ + ৬)/২ মিটার
= ১৪/২ মিটার
= ৭ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{৭ × (৭ - ৩) × (৭ - ৫) × (৭ - ৬)} বর্গমিটার
= √(৭ × ৪ × ২ × ১) বর্গমিটার
= √ (৪ × ১৪) বর্গমিটার
= ২√১৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২৫ মিটার উচ্চতা ও ১৬ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২৫ মিটার
ভূমি = ১৬ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) ​× ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) ​× ২৫ × ১৬
= ২৫ × ৮
= ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমদ্বিবাহু বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
এখানে, অতিভুজ = ১০

পীথাগোরাসের সূত্রমতে,
ক² + ক² = ১০²
⇒ ২ক² = ১০০
⇒ ক² = ১০০/২
⇒ ক² = ৫০
⇒ ক = ৫√২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৫√২) × (৫√২)
= (১/২) × ৫০ = ২৫ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার ও ১২ মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার ও ১২ মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২২৫ = ১৫^২ 
∴ অতিভুজ = ১৫ মিটার

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।
∴ পরিসীমা = ৯ + ১২ + ১৫ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বাড়ালে উৎপন্ন দুটি বহিঃস্থ কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।