ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

সমকোণী ত্রিভুজের ১ টি কোণ সমকোণ = ৯০°
বাকি ২টি কোণ সূক্ষ্মকোণ < ৯০°।
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ২টি পরস্পর সমান।

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান = ৯০°
∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান = (১৮০° - ৯০°)/২ = ৪৫° 

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

মনে করি,
বৃহত্তম কোণ = ক
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - ক)
শর্তমতে,
ক - (90°- ক) = 12°
বা, ক - 90° + ক = 6°
বা, 2ক = 90° + 12°
বা, 2ক = 102°
বা, ক = 51°
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°- ক = 90°- 51° = 39°

বাহুর দৈর্ঘ্য a মি. হলে ক্ষেত্রফল = √৩/৪ a² = 64√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
বা, a = ১৬ মি.
∴ পরিসীমা = ৩a = ৪৮ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a² - b²)

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ৬৫° ও ২৫° হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি কোণ ৬৫° এবং ২৫°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

∴ তৃতীয় কোণ = ১৮০° - (৬৫° + ২৫°) = ১৮০° - ৯০° = ৯০°।

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

x = 2(180° - 60°)
= 240°
∴ x একটি প্রবৃদ্ধকোণ।

এখানে,
a = 20,
b = 21,
c = 29,
অর্ধ পরিসীমা s = (a + b + c)/2
                       = (20 + 21 + 29)/2
                       = 35
∴ ক্ষেত্রফল = √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
                  = √(35 × 15 × 14 × 6)
                   = 210 বর্গমি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ সে.মি.

সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুটির সমষ্টি = (১৮০° - ৯০°) = ৯০°।
∴ কোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
প্রশ্নমতে, (√3/4) a² = 48
বা, a² = (48x4)/√3
বা, a² = (3x16x4)/√3
বা, a² = √3 x 64
বা, a = √1.732 x 8
∴ a = 10.52

ΔABC সমবাহু 
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ কোন ∠BOC = 2 × পরিধিস্থ কোন ∠A = 2 × 60° = 120°

প্রশ্নমতে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1400 বর্গ মি.
বা, (b/4)×√(4a² - b²) = 1400
বা, (100/4)×√(4a² - 100²) = 1400
∴ a = 57.306 মি.

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ √৩/৪ a^২ = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬ সে.মি.
আবার, ১/২ × BC × AD = ৬৪√৩
বা, BC × AD = ১২৮√৩
বা, AD = (১২৮√৩)/BC
= (১২৮√৩)/১৬
= ৮√৩ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসিমা 18x হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি P = 18x

সমবাহু ত্রিভুজের একপাশের দৈর্ঘ্য P/3 = 18x/3 = 6x

তাহলে, ক্ষেত্রফল A = √3/4 a²
= √3/4 × (6x)²
= √3/4 × 36x²
= 9√3x²

∴ ক্ষেত্রফল = 9√3x²

এখানে,
১৫^২ + ৮^২ = ২৮৯ = ১৭^২
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২ 
এখানে, ১৫^২ + ৮^২ = ১৭^২
∴ ১৭ সেমি, ১৫ সেমি, ৮ সেমি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো 2x, 3x, 4x
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

তাহলে,
2x + 3x + 4x = 180° 
⇒ 9x = 180°  
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20°= 80°

৩য় কোণ = ৯০° - ৫২°
= ৩৮°
∴ ৩য় কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩৮°
= ১৪২°

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ a+b+13 = 30
বা, a+b = 17 = 4+13 কিন্তু 4² + 13² ≠ 13²
= 5+12 যেখানে 5² + 12² = 13²
= 6+11 কিন্তু 6² + 11² ≠ 13²
= 7+10 কিন্তু 7² + 10² ≠ 13²
∴ উত্তর = খ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 25° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 25)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 25)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 25° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 115° = 180°
⇒ 2x° = 180° - 115° = 65°
⇒ x° = 65°/2
x = 32.5°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 32.5°

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ এর মধ্যবিন্দু X, PR এর মধ্যবিন্দু Y এবং QR = 18 cm হলে, XY = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
PQR ত্রিভুজে-
X = PQ এর মধ্যবিন্দু
Y = PR এর মধ্যবিন্দু
এবং, QR = 18 cm

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগ করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয় এবং তার দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়।

∴ XY রেখাখণ্ডটি PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত।
∴ XY || QR এবং
∴ XY = QR/2 = 18/2 = 9 cm

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ৩টির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2(a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেন্টিমিটার এবং ভূমি 10 সেন্টিমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 সেন্টিমিটার
এবং ভূমি, b = 10 সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{(4 × 13²) - 10²}
= (10/4) × √{(4 × 169) - 100}
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= (5/2) × 24
= 5 × 12
= 60 বর্গ সেন্টিমিটার

ধরি,
মইয়ের ভূমি সংলগ্ন প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব x মি.

মইটি দেয়ালের সাথে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে,
৪² + x² = ৫²
বা, ১৬ + x² = ২৫
বা, x² = 9
বা, x = 3

মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ৩ মি.

ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G এর ভরকেন্দ্র, AG = 6 সে.মি হলে, DG = কত সে.মি?



আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখানে, ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G তাহার ভরকেন্দ্র।
ধরি, AG = 2x এবং DG = x
2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট