ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১০ / ২০ · ৯০১–১,০০০ / ২,০০৯

৯০১.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

ক
36°
খ
54°
গ
90°
ঘ
50°

সঠিক উত্তর: খ

54°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

54°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 + 5x/2 = 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°

∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°

∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°

৯০২.

যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -

ক
ক) 135°/2
খ
খ) 105°/2
গ
গ) 125°/2
ঘ
ঘ) 115°/2

সঠিক উত্তর: খ

খ) 105°/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 105°/2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -

সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)

tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)

(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2

৯০৩.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

ক
৫০ বর্গ সে.মি.
খ
৭৫ বর্গ সে.মি.
গ
২৫ বর্গ সে.মি.
ঘ
১০০ বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

২৫ বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

২৫ বর্গ সে.মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
১০^২ = ক^২ + ক^২
বা, ১০০= ২ক^২
বা, ক^২ = ৫০
∴ ক = √৫০

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.

৯০৪.

ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?

ক
ক) 140°
খ
খ) 70°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 40°

সঠিক উত্তর: খ

খ) 70°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 70°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?

সমাধান:

যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
ΔABC ত্রিভুজে AB = AC
তাহলে, ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + ∠C + ∠C = 180°
2∠C = 140°
∠C = 70°

৯০৫.

একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
6.00 বর্গ সে.মি.
খ
6.25 বর্গ সে.মি.
গ
5.25 বর্গ সে.মি.
ঘ
5.00 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

6.25 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

6.25 বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

ধরি,
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু a সে.মি.

এখন
a² +a² = 5²
2a² =25
a² = 25/2
a = √(25/2)
a = 5/√2

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ( 1/2) × (5/√2) × (5/√2)
= 25/4
= 6.25 বর্গ সে.মি.

৯০৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
3√2
খ
2
গ
2√2
ঘ
2√3

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD

পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB² = AD² + BD²
⇒ x² = (√3)² +(x/2)²
⇒ x² - x2/4 = 3
⇒ 3x²/4 = 3
⇒ x² = 4
⇒ x = 2

৯০৭.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.

ক
ক) ৪৮
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ৫৬
ঘ
ঘ) ৭২

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৩৬

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৩৬

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.

সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.

এখানে,
x² + x²= 122
2x² =144
x² = 144/2
x² = 72
x = √72

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√72)(√72) বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.

৯০৮.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
7 বর্গ সে.মি.
খ
9 বর্গ সে.মি.
গ
√8 বর্গ সে.মি.
ঘ
2√8 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

√8 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

√8 বর্গ সে.মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি b = 2 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√(4a² - b²)}
= 2/4 [√{(4 × 3²) - 2²}]
= (1/2) × √(32)
= (1/2) × √(4 × 8)
= (1/2) × 2√8
= √8 বর্গ সে.মি.

৯০৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে √২ মিটার এবং ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪√২ বর্গমিটার
খ
৩√২ বর্গমিটার
গ
২√২ বর্গমিটার
ঘ
৪ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: গ

২√২ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

২√২ বর্গমিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে √২ মিটার এবং ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু √২ মিটার এবং ৪ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × √২ × ৪ বর্গমিটার
= ২√২ বর্গমিটার

৯১০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ একক হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) √3
খ
খ) 3
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6

গ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 9√3
⇒ √3a² = 9√3 × 4
⇒ a² = (9√3 × 4)/√3
⇒ a² = 36
∴ a = 6

৯১১.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোন অপর একটি ত্রিভুজের দুটি কোনের সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় কিরূপ হবে?

ক
ক) সমান
খ
খ) সর্বসম
গ
গ) সমকোনী
ঘ
ঘ) সদৃশকোনী

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সদৃশকোনী

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সদৃশকোনী

ঘ

ব্যাখ্যা

দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোনী হবার শর্ত,
১। তিন বাহু সমানুপাতিক হলে,
২। দুই বাহু সমানুপাতিক ও অন্তর্ভুক্ত কোন সমান,
৩। দুটি কোন সমান হলে,
৪। সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহু সমানুপাতিক হলে।

৯১২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সেমিঃ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোন ৪৫°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্নয় করুন?

ক
ক) ২৫√২ বর্গ সেমিঃ
খ
খ) ২০√২ বর্গ সেমিঃ
গ
গ) ২৫.৩২ বর্গ সেমিঃ
ঘ
ঘ) ২০√৩ বর্গ সেমিঃ

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২৫√২ বর্গ সেমিঃ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২৫√২ বর্গ সেমিঃ

ক

ব্যাখ্যা

সমান বহুদুটির দৈর্ঘ্য a = ১০ সেমি| = b
মধ্যবর্তী কোন θ = ৪৫°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ x a x b x Sinθ
= ½ x 10 x 10 x sin 45
= 50 x 1/√2
= (25 x √2 x √2) / √2
= 25√2

৯১৩.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান হলে, তাকে কি ত্রিভুজ বলে?

ক
ক) সমকোণী ত্রিভুজ
খ
খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
গ
গ) সমবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমবাহু ত্রিভুজ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমবাহু ত্রিভুজ

গ

ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান হলে, তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

৯১৪.

ক
২৫ বর্গ সে.মি.
খ
২০ বর্গ সে.মি.
গ
৫০ বর্গ সে.মি.
ঘ
১০০ বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

২৫ বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

২৫ বর্গ সে.মি.

ক

ব্যাখ্যা

৯১৫.

কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
সমকোণী
খ
সূক্ষ্মকোণী
গ
স্থূলকোণী
ঘ
সমদ্বিবাহু সমকোণী

সঠিক উত্তর: ক

সমকোণী

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

সমকোণী

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
ত্রিভুজটি সমকোণী।

৯১৬.

ত্রিভুজ ABC এর BE = FE = CF। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

ক
৭২
খ
৬০
গ
৪৮
ঘ
৬৪

সঠিক উত্তর: ক

৭২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৭২

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এর BE = FE = CF। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:

ত্রিভুজ AEC তে, EF = FC এবং AF মধ্যমা।
∴ ΔAEF = ΔAFC
আবার, ত্রিভুজ ABF তে, BE = EF এবং AE মধ্যমা।
∴ ΔABE = ΔAEF
∴ ΔABE = ΔAEF = ΔAFC
এখন,
ΔAEC = 48
⇒ ΔAEF + ΔAFC = 48
⇒ ΔAFC + ΔAFC = 48
⇒ 2.ΔAFC = 48
∴ ΔAFC = 24
∴ ΔABE = ΔAEF = ΔAFC = 24
সুতরাং,
ΔABC = ΔABE + ΔAEF + ΔAFC
= 24 + 24 + 24
= 72

৯১৭.

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির অন্তরফল কত?

ক
ক) 240°
খ
খ) 0°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 60°

সঠিক উত্তর: খ

খ) 0°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 0°

খ

ব্যাখ্যা

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির অন্তরফল = 120° - 120° = 0°

৯১৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার এবং উচ্চতা ভূমির এক-তৃতীয়াংশ হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
৪৮ বর্গমিটার
খ
৫৪ বর্গমিটার
গ
৬৪ বর্গমিটার
ঘ
৭২ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

৫৪ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৫৪ বর্গমিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার এবং উচ্চতা ভূমির এক-তৃতীয়াংশ হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = ১৮ মিটার
উচ্চতা = ১৮/৩ মিটার = ৬ মিটার

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১৮ × ৬
= ৫৪ বর্গমিটার।

৯১৯.

কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে, ত্রিভুজটি কি হবে?

ক
ক) সমবাহু ত্রিভুজ
খ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ
গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) বিষমবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

গ

ব্যাখ্যা

- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

৯২০.

ত্রিভূজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ৩য় বাহুর -

ক
সমান
খ
উপর লম্ব
গ
অর্ধেক
ঘ
দ্বিগুণ

সঠিক উত্তর: গ

অর্ধেক

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

অর্ধেক

গ

ব্যাখ্যা

ত্রিভূজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ৩য় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্য ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

মনে করি ABC একটি ত্রিভূজ। D, E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। D, E যোগ করি।
উপপাদ্য ১৫ অনুসারে, DE ।। BC এবং DE = 1/2 BC

সূত্র - নবম - দশম শ্রেণি, গণিত, বোর্ড বই

৯২১.

BP ও CQ, Δ ABC-এর দুটি মধ্যমা, BC = 12 সে.মি. হলে QP এর মান কত?

ক
ক) 24 সে. মি.
খ
খ) ৪ সে. মি.
গ
গ) 6 সে. মি.
ঘ
ঘ) 12 সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6 সে. মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6 সে. মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BP ও CQ, Δ ABC-এর দুটি মধ্যমা, BC = 12 সে.মি. হলে QP এর মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

BP ও CQ, Δ ABC-এর দুটি মধ্যমা হলে

AB এর মধ্যবিন্দু Q এবং AC এর মধ্যবিন্দু P
QP = (1/2)BC
= (1/2) × 12
= 6 সে.মি.

৯২২.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৭২০০√৩ বর্গ সে.মি.
খ
৯০০√৩ বর্গ সে.মি.
গ
৯৫০০√৩ বর্গ সে.মি.
ঘ
৯৮০০√৩ বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

৯০০√৩ বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৯০০√৩ বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮০ সে.মি. হলে, সমবাহু ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮০/ ৩ সে.মি. বা ৬০ সে.মি.।

সুতরাং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) ×৬০^২ বর্গ সে.মি. = ৯০০√৩ বর্গ সে.মি.

৯২৩.

যে ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য, ১৭ সে.মি. ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি.। সে ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সমকোণী
গ
গ) সমদ্বিবাহু
ঘ
ঘ) সূক্ষ্মকোণী

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমকোণী

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমকোণী

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য, ১৭ সে.মি. ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি.। সে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য, ১৭ সে.মি. ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি.

এখানে
(১৭)^২ = ২৮৯

আবার
(১৫)^২ + ৮^২ = ২২৫ + ৬৪ = ২৮৯

ত্রিভুজটি সমকোণী

৯২৪.

ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) স্থুলকোণী
গ
গ) সমবাহু
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সমদ্বিবাহু

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সমদ্বিবাহু

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
C কোণের মান = 180° - 40° - 70°
= 180° - 110°
= 70°

এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

৯২৫.

কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

ক
৬, ৮, ১২
খ
৪, ৬, ১০
গ
৪, ৭, ১০
ঘ
৫, ৭, ১১

সঠিক উত্তর: খ

৪, ৬, ১০

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৪, ৬, ১০

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
গ) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৪, ৬, ১০

৯২৬.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৭ সে.মি
খ
খ) ৮ সে.মি
গ
গ) ৪ সে.মি
ঘ
ঘ) ৫ সে.মি

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৫ সে.মি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৫ সে.মি

ঘ

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒অতিভুজ² = ৩² + ৪² = ২৫
⇒অতিভুজ = ৫

৯২৭.

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?

ক
ক) 2c² = b² + a²
খ
খ) b² = c² + a²
গ
গ) a² = b² + c²
ঘ
ঘ) c² = b² + a²

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) c² = b² + a²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) c² = b² + a²

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ² = উচ্চতা² + ভূমি²
c² = b² + a²

৯২৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 মিটার
খ
18 মিটার
গ
20 মিটার
ঘ
22 মিটার

সঠিক উত্তর: গ

20 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

20 মিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে ভাষাগত কিছুটা ত্রুটি আছে। প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল, 'অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি?'
তবে, প্রশ্নে যেহেতু অতিভুজ নির্দিষ্ট করে দেয়া আছে, তাই আমরা প্রশ্নটি বাতিল করছি না।
তাই, অধিকতর গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার নেয়া হয়েছে।
==================================

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 25²
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার এবং, অপর বাহু = (3 × 20)/4 = 15 মিটার

৯২৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের কতটি প্রতিসাম্য রেখা আছে?

ক
২ টি
খ
৩ টি
গ
৪ টি
ঘ
৬ টি

সঠিক উত্তর: খ

৩ টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৩ টি

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের কতটি প্রতিসাম্য রেখা আছে?

সমাধান:

যদি কোনো সরলরেখা বরাবর কোনো চিত্র ভাঁজ করলে তার অংশ দুইটি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় সেক্ষেত্রে সরলরেখাটিকে প্রতিসাম্য রেখা বলা হয়।
∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিসাম্য রেখা আছে ৩টি।

৯৩০.

ΔABC -এ, AB = 8cm, BC = 10cm এবং AC = 12cm, AB এর মধ্য বিন্দু E এবং AC -এর মধ্য বিন্দু F হলে EF = ?

ক
ক) 8 cm
খ
খ) ৫ cm
গ
গ) ৬ cm
ঘ
ঘ) ২০ cm

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৫ cm

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৫ cm

খ

ব্যাখ্যা

EF = ১/২ BC
= ১/২ × ১০
= ৫ cm

৯৩১.

একটি ত্রিভুজের যদি কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?

ক
সমবাহু
খ
সূক্ষ্মকোণী
গ
সমকোণী
ঘ
স্থূলকোণী

সঠিক উত্তর: গ

সমকোণী

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

সমকোণী

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যদি কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

৯৩২.

দুইটি ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে অনুরূপ বাহুর বিপরীত কোনগুলোর মধ্যে সম্পর্ক কি হবে?

ক
ক) অসমান
খ
খ) সমান
গ
গ) ছোট
ঘ
ঘ) পরষ্পর সমকোন

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমান

খ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক এবং এদের কোন গুলো পরষ্প সমান।

৯৩৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
২০ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
৩২ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

১৬ মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

১৬ মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a²

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) a² = ৬৪√৩
⇒ a² = ৬৪ × ৪
⇒ a² = ২৫৬
⇒ a = √২৫৬
∴ a = ১৬

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার

৯৩৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
200 বর্গ সে.মি.
খ
300 বর্গ সে.মি.
গ
400 বর্গ সে.মি.
ঘ
500 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

300 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

300 বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 1200/4 = 300 বর্গ সে.মি.
∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ সে.মি.

৯৩৫.

প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, p° = কত?

ক
85°
খ
110°
গ
125°
ঘ
135°

সঠিক উত্তর: গ

125°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

125°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, p° = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 45° + 55° = 180°
⇒ ∠A = 80°

∴ p° = ∠A + ∠B = 80° + 45° = 125°

৯৩৬.

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য {২/(৩ এর বর্গমূল)} একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
১/(৩ এর বর্গমূল)
খ
৩ এর বর্গমূল
গ
৩
ঘ
১

সঠিক উত্তর: ক

১/(৩ এর বর্গমূল)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১/(৩ এর বর্গমূল)

ক

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = {২/(৩ এর বর্গমূল)} একক
= ২/√৩ একক
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (২/√৩)^২
= (√৩/৪) × (৪/৩)
= ১/√৩
= ১/(৩ এর বর্গমূল)

৯৩৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
12 বর্গ সে.মি.
খ
15 বর্গ সে.মি.
গ
18 বর্গ সে.মি.
ঘ
20 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

12 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

12 বর্গ সে.মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 6 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (6/4) × √{4 × (5)² - (6)²}
= (3/2) × √(100 - 36)
= 3/2 × √64
= 3/2 × 8
= 12

৯৩৮.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 'a' হয় তবে ক্ষেত্রফল হবে -

ক
(√৩a²)/৪
খ
(√৩a²)/2
গ
৩/(২a²)
ঘ
√১/(২a²)

সঠিক উত্তর: ক

(√৩a²)/৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(√৩a²)/৪

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 'a' হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে -

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4

৯৩৯.

কোন ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে এটি কোন ধরণের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সূক্ষ্মকোণী
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) স্থুলকোণী

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমকোণী

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) সমকোণী

গ

ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটিকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

৯৪০.

PQR ত্রিভূজের ∠Q =90° এবং ∠P = 2∠R হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
PR = 2QR
খ
PQ = 2PR
গ
PR = 2PQ
ঘ
QR = 2PQ

সঠিক উত্তর: গ

PR = 2PQ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

PR = 2PQ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQR ত্রিভূজের ∠Q =90° এবং ∠P = 2∠R হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে,
∠Q = 90°
∠P = 2∠R

আমরা জানি,
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
∠Q = 90°
⇒ ∠P + ∠R = 90°

∠P = 2∠R
⇒ 2∠R + ∠R = 90°
⇒ ∠R = 30°,

∴ ∠P = 60°
সমকোণ ত্রিভুজে,
PR = অতিভুজ
QR = বিপরীত ∠P,
PQ = বিপরীত ∠R

sin P = QR / PR
→ sin 60° = √3/2
→ QR = (√3/2) PR

sin R = PQ/PR
→ sin 30° = 1/2
→ PQ = (1/2) PR
সুতরাং, PR = 2 PQ

৯৪১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
36 মিটার
খ
24 মিটার
গ
42 মিটার
ঘ
18 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

36 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

36 মিটার

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 36√3
বা, a²/4 = 36
বা, a² = 144 = 12²
∴ a = 12

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 12
= 36 মিটার

সুতরাং, পরিসীমা = 36 মিটার।

৯৪২.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ এবং ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি. ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
3√3cm
খ
2cm
গ
3cm
ঘ
2√3cm

সঠিক উত্তর: গ

3cm

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

3cm

গ

ব্যাখ্যা

ধরি, তিনটি কোণ যথাক্রমে ক, ২ক, ৩ক
এখন, ক + ২ক + ৩ক = ১৮০
⇒৬ক = ১৮০
⇒ক = ১৮০/৬
⇒ক = ৩০
∴ ২ক = ২ × ৩০ = ৬০°
∴ ৩ক = ৩ × ৩০ = ৯০°

সুতরাং, ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত বাহু অপেক্ষা বড়।
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম বাহু হচ্ছে AB
cos∠BAC = AB/AC
∴ cos 60° = AB/AC
⇒ 1/2 = AB/6
⇒ AB = 3 cm

৯৪৩.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 8√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
5.5 মিটার
খ
7 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
10√3 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

7 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

7 মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 8√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²

প্রত্যেক বাহু 2 মিটার বাড়ালে নতুন বাহু = (a + 2) মিটার
নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 2)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × (a + 2)² − (√3/4) × a² = 8√3
⇒ (√3/4) × {(a + 2)² - a²} = 8√3
⇒ (√3/4) × (a² + 4a + 4 - a²) = 8√3
⇒ (√3/4) × (4a + 4) = 8√3
⇒ (√3/4) × 4(a + 1) = 8√3
⇒ √3 × (a + 1) = 8√3
⇒ a + 1 = 8
⇒ a = 7

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 7 মিটার

৯৪৪.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মিটার, ২১ মিটার এবং ২৯ মিটার হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০০ বর্গমিটার
খ
২১০ বর্গমিটার
গ
২৯০ বর্গমিটার
ঘ
৩০০ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

২১০ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২১০ বর্গমিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মিটার, ২১ মিটার এবং ২৯ মিটার হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
a = 20 মিটার
b = 21 মিটার
c = 29 মিটার

অর্ধ পরিসীমা s = (a + b + c)/2 মিটার
= (20 + 21 + 29)/2 মিটার
= 70/2 মিটার
= 35 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)} বর্গমিটার
= √(35 × 15 × 14 × 6) বর্গমিটার
= √44100 বর্গমিটার
= 210 বর্গমিটার

৯৪৫.

স্থূলকোণী ত্রিভুজে মোট কয়টি স্থূলকোণ থাকতে পারে?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

১ টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১ টি

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্থূলকোণী ত্রিভুজে মোট কয়টি স্থূলকোণ থাকতে পারে?

সমাধান:
ত্রিভুজ:
- তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ।
- রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে।
- যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে।
- ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।

সমবাহু ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরম্পর সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

বিষমবাহু ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই অসমান তা বিষমবাহু ত্রিভুজ।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, তা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।

স্থূলকোণী ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ, তা স্থূলকোণী ত্রিভুজ।
- স্থূলকোণী ত্রিভুজের শুধু একটি কোণ স্থূলকোণ; অপর দুইটি কোণ সূক্ষ্মকোণ।

সমকোণী ত্রিভুজ:
- যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ, তা সমকোণী ত্রিভুজ।
- সমকোণী ত্রিভুজের শুধু একটি কোণ সমকোণ; অপর দুইটি কোণ সূক্ষ্মকোণ।

৯৪৬.

একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৩৩ মিটার
খ
৪৪ মিটার
গ
৫১ মিটার
ঘ
৫৩ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

৪৪ মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৪৪ মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার
আমরা জানি, একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২

প্রশ্নমতে,
বাহু^২ = ১২১
⇒ বাহু = √১২১
∴ বাহু = ১১ মিটার

পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১১ মিটার
= ৪৪ মিটার

৯৪৭.

ΔABC -এ, ∠A = ৫০°, ∠C = ৭০° এবং BC || EF হলে, ∠BEF = ?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৮০°
গ
গ) ১০০°
ঘ
ঘ) ১২০°

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১২০°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১২০°

ঘ

ব্যাখ্যা

EF || BC এবং AC ছেদক
∴ ∠AFE = ∠C = ৭০°
∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠BEF = ∠A + ∠AFE
= ৫০° + ৭০°
= ১২০°

৯৪৮.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোনের মান ৫০° হলে, অপর কোনদ্বয়ের মান কত?

ক
ক) ৬০° ও ৭০°
খ
খ) ৬৫° ও ৬৫°
গ
গ) ৫০° ও ৫০°
ঘ
ঘ) ৫০° ও ৮০°

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৬৫° ও ৬৫°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৬৫° ও ৬৫°

খ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি = ১৮০°
শীর্ষ কোনের মান ৫০° হলে অপর কোনদ্বয়ের মান = (১৮০ – ৫০) বা ১৩০°
তাহলে, প্রত্যেকটি কোন ১৩০/২ = ৬৫°

৯৪৯.

ভরকেন্দ্র মধ্যমা তিনটিকে নিচের কোন অনুপাতে বিভক্ত করে?

ক
ক) 2 : 1
খ
খ) 3 : 1
গ
গ) 3 : 2
ঘ
ঘ) 4 : 1

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2 : 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2 : 1

ক

ব্যাখ্যা

- ভরকেন্দ্র মধ্যমাত্রয়কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

৯৫০.

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোণটি?

ক
4 : 5 : 6
খ
9 : 40 : 41
গ
7 : 8 : 9
ঘ
9 : 10 : 12

সঠিক উত্তর: খ

9 : 40 : 41

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

9 : 40 : 41

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোণটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ 41² = 40² + 9²

সুতরাং, 9 : 40 : 41 বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত = 3 : 4 : 5, 6 : 8 : 10, 5 : 12 : 13, 7 : 24 : 25, 9 : 40 : 41 এই রকম হয়ে থাকে।

৯৫১.

∠ABC = কত?

ক
40°
খ
50°
গ
60°
ঘ
90°

সঠিক উত্তর: খ

50°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

50°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠ABC = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠ACD = 120°
∠BAC = 70°

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের মান বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের মানের সমষ্টির সমান।
∴ ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
বা, ∠ABC = ∠ACD - ∠BAC
বা, ∠ABC = 120° - 70°
= 50°

৯৫২.

কোন তিনটি বাহু দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

ক
৫, ১২, ১৩
খ
৩, ৪, ৫
গ
৭, ২৪, ২৫
ঘ
৬, ৭, ৮

সঠিক উত্তর: ঘ

৬, ৭, ৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৬, ৭, ৮

ঘ

ব্যাখ্যা

৫^২ + ১২^২ = ১৩^২
৩^২ + ৪^২ = ৫^২
৭^২ + ২৪^২ = ২৫^২
৬^২ + ৭^২ ≠ ৮^২ এক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়

৯৫৩.

একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৫ সেমি এবং ৪ সেমি হলে নিচের কোনটি অপর বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে?

ক
ক) ১ সেমি
খ
খ) ৪ সেমি
গ
গ) ৯ সেমি
ঘ
ঘ) ১২ সেমি

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৪ সেমি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৪ সেমি

খ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশন টেস্ট:
ক) ১ সেমি + ৪ সেমি = ৫ সেমি [গ্রহণযোগ্য নয়]
খ) ৪ সেমি + ৪ সেমি > ৫ সেমি [গ্রহণযোগ্য]
গ) ৫ সেমি + ৪ সেমি = ৯ সেমি [গ্রহণযোগ্য নয়]
ঘ) ৫ সেমি + ৪ সেমি < ১২ সেমি [গ্রহণযোগ্য নয়]

৯৫৪.

ABC ত্রিভুজের AB = AD + DE + EF + FB এবং AD = DE = EF = FB। CDB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সেমি হলে, CAE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 24 বর্গ সেমি
খ
খ) 48 বর্গ সেমি
গ
গ) 72 বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) 12 বর্গ সেমি

সঠিক উত্তর: খ

খ) 48 বর্গ সেমি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 48 বর্গ সেমি

খ

ব্যাখ্যা

CAE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (CAD + CDE) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (72/3 + 72/3) বর্গ সেমি
= 48 বর্গ সেমি
[ CD, CE, CF মধ্যমা হওয়ায় প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হবে ]

৯৫৫.

একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

ক
তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ
খ
একটি কোণ স্থুলকোণ ও অপর দুটি সূক্ষ্মকোণ
গ
একটি কোণ সমকোণ ও অপর দুটি সূক্ষ্মকোণ
ঘ
একটি কোণ সমকোণ বা স্থুলকোণ, অপর দু’টি সূক্ষ্মকোণ

সঠিক উত্তর: ক

তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

৯৫৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৬ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?

ক
৩৮°
খ
৪৫°
গ
৪৮°
ঘ
৫২°

সঠিক উত্তর: গ

৪৮°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪৮°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৬ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৬°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৬°
⇒ ক = ৮৪°/২
⇒ ক = ৪২°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪২° + ৬° = ৪৮°

৯৫৭.

কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুটি ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা______ হবে?

ক
ক্ষুদ্রতম
খ
সমান সমান
গ
বৃহত্তর
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

বৃহত্তর

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

বৃহত্তর

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুটি ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা______ হবে?

সমাধান:

ত্রিভুজের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে-
কোনো ত্রিভুজে বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু সর্বদা ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।
অর্থাৎ,
যে কোণ যত বড় ⇒ তার বিপরীত বাহু তত বড়
যে কোণ যত ছোট ⇒ তার বিপরীত বাহু তত ছোট
যেমন, যদি ∠A > ∠B হয়, তাহলে BC > AC হবে।
যেখানে BC হলো ∠A-এর বিপরীত বাহু এবং AC হলো ∠B-এর বিপরীত বাহু)

সুতরাং, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহুটি ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

৯৫৮.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ 70° হলে, সমান সমান কোণদ্বয়ের মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 45°
গ
গ) 50°
ঘ
ঘ) 55°

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 55°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 55°

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ 70° হলে, সমান সমান কোণদ্বয়ের মান কত?

সমাধান-
মনে করি,
সমান সমান কোণদ্বয়ের মান = x

এখন,
x + x + 70 = 180
⇒ 2x + 70 = 180
⇒ 2x = 110
⇒ x = 55°

৯৫৯.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি-

ক
স্থূল কোণ
খ
সমকোণ
গ
সমকোণ বা স্থূল কোন
ঘ
সূক্ষ্মকোণ বা স্থূল কোণ

সঠিক উত্তর: খ

সমকোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

সমকোণ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি-

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই

৯৬০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ অপেক্ষা ভূমি 6 মি. কম। লম্বের দৈর্ঘ্য 12 মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) 28 মি.
খ
খ) 30 মি.
গ
গ) 32 মি.
ঘ
ঘ) 36 মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 36 মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 36 মি.

ঘ

ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 6 মি.
এখানে, লম্ব = 12 মি.

আমরা জানি
(x + 6)²= x²+ 12²
⇒ x² + 12x + 36 = x² +144
⇒ 12x = 108
⇒ x = 9

∴ অতিভুজ = 9 + 6 = 15 মি.
ত্রিভুজটির পরিসীমা = 12 + 9 + 15 = 36 মি.

৯৬১.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
54 বর্গ একক
খ
56 বর্গ একক
গ
60 বর্গ একক
ঘ
64 বর্গ একক

সঠিক উত্তর: গ

60 বর্গ একক

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

60 বর্গ একক

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 24 একক
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²) বর্গ একক
= (24/4) × √{(4 × 13²) - 24²}
= 6 × √{(4 × 169) - 576}
= 6 × √(676 - 576)
= 6 × √100
= 6 × 10
= 60 বর্গ একক

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো 60 বর্গ একক।

৯৬২.

কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) ৫, ৬, ৭
খ
খ) ৫, ৭, ১৪
গ
গ) ৩, ৪, ৮
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

ক) ৫, ৬, ৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ৫, ৬, ৭

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর বিয়োগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
ক) এ ক্ষেত্রে যে কোন দুটি বাহুর বিয়োগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট। এক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) এ ক্ষেত্রে, ১৪ - ৭ = ৭, যা ৫ অপেক্ষা বড়।

৯৬৩.

একটি ত্রিভুজ আকৃতির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১২ গজ
খ
১৪ গজ
গ
১৬ গজ
ঘ
১৮ গজ

সঠিক উত্তর: খ

১৪ গজ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

১৪ গজ

খ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
বা, ৮৪ = ১/২ × ভূমি × ১২ [শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = উচ্চতা]
বা, ভূমি × ৬ = ৮৪
বা, ভূমি = ৮৪/৬
বা, ভূমি = ১৪

৯৬৪.

তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক
২, ৫ এবং ৮
খ
৫, ৪ এবং ৯
গ
৩, ৪ এবং ৫
ঘ
সকল ক্ষেত্রে

সঠিক উত্তর: গ

৩, ৪ এবং ৫

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৩, ৪ এবং ৫

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান :
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
২ + ৫ < ৮
৫ + ৪ = ৯
সুতরাং এক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

৩, ৪ এবং ৫ হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।

৯৬৫.

একটি বাড়ি 80 ফুট উচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে 18 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কতফুট লম্বা?

ক
ক) 41 ফুট
খ
খ) 81 ফুট
গ
গ) 42 ফুট
ঘ
ঘ) 82 ফুট

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 82 ফুট

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 82 ফুট

ঘ

ব্যাখ্যা

AB = √(80² + 18²) = 82

৯৬৬.

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD, BC এর উপর লম্ব। এক্ষেত্রে, 4AD² = ?

ক
ক) 2AB²
খ
খ) 3AB²
গ
গ) 4AB²
ঘ
ঘ) 5AB²

সঠিক উত্তর: খ

খ) 3AB²

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 3AB²

খ

ব্যাখ্যা

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD, BC এর উপর লম্ব
AD² = AB² – BD²
4AD² = 4AB² – (2BD)²
= 4AB²-BC² [BC = 2BD]
= 4AB²-AB²
= 3AB²

৯৬৭.

ΔXYZ এ ∠X = 65°, ∠Y = 25° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরণের হবে?

ক
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ
গ) সমবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমকোণী ত্রিভুজ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) সমকোণী ত্রিভুজ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔXYZ এ ∠X = 65°, ∠Y = 25° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরণের হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

এখন,
∠X + ∠Y + ∠Z = 180°
65° + 25° + ∠Z = 180°
90° + ∠Z = 180°
∠Z =180° - 90°
∠Z =90°

ΔXYZ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৯৬৮.

ত্রিভূজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ৩য় বাহুর-

ক
ক) উপর লম্ব
খ
খ) সমান দৈর্ঘ্যের
গ
গ) দ্বিগুণ দৈর্ঘ্যের
ঘ
ঘ) সমান্তরাল

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সমান্তরাল

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) সমান্তরাল

ঘ

ব্যাখ্যা

ত্রিভূজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ৩য় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্য ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

৯৬৯.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২√৩ বর্গমিটার
খ
√৩ বর্গমিটার
গ
৪√৩ বর্গমিটার
ঘ
১৬√৩ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

√৩ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

√৩ বর্গমিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a^২ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

৯৭০.

কোনো ত্রিভূজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ঃ২ঃ৩, ত্রিভূজটির বৃহত্তম বাহু ও ক্ষুদ্রতম বাহুর অনুপাত কত?

ক
ক) ৩ঃ১
খ
খ) ৪ঃ৩
গ
গ) ৩ঃ২
ঘ
ঘ) ২ঃ১

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২ঃ১

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২ঃ১

ঘ

ব্যাখ্যা

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে x, 2x, 3x
∴x + 2x + 3x = 180°
⇒6x = 180°
∴x = 30°
আমরা জানি, a/sin30° = b/sin60° = c/sin90°
⇒a/(½) = b/(√3/2) = c/1
⇒a:b:c = ½ : √3/2 : 1 = 1 : √3 : 2
∴বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর অনুপাত = 2 : 1

৯৭১.

কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 36 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 54 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 27 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 18 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

গ) 27 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 27 বর্গ সে.মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
= (1/2) × 9 × 12 × sin30°
= (1/2) × 9 × 12 × (1/2)
= 27 বর্গ সে.মি.

৯৭২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুুজ 15 সেমি এবং অপর দুটি বাহুর অন্তর 3 সেমি হলে, অপর বাহু দুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

ক
ক) ১০ সেমি, ১৩ সেমি
খ
খ) ৯ সেমি, ১২ সেমি
গ
গ) ১৩ সেমি, ১৬ সেমি
ঘ
ঘ) ১১ সেমি, ১৪ সেমি

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৯ সেমি, ১২ সেমি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৯ সেমি, ১২ সেমি

খ

ব্যাখ্যা

ধরি,
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং অপরটি y সে.মি.
প্রশ্নমতে, x - y = 3 ......... (1)
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
x² + y² = 15²
⇒ (x-y)² + 2xy = 225
⇒ 3² + 2xy = 225
⇒ 2xy = 216
⇒ xy = 108 ............ (2)
আমরা জানি,
(x+y)² = (x-y)² + 4xy
⇒ (x+y)²= 3² + 4×108 = 441
∴ x+y = 21 ............. (3)
এখন, (1) + (3)
⇒ x+y + x-y = 21+3
⇒ 2x = 24
∴ x = 12
x এর মান (3) এ বসিয়ে -
∴ y = 9
সুতরাং, অপর বাহু দুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় 9 সেমি ও 12 সেমি।

এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13, 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়। অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।

৯৭৩.

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

ক
45°
খ
20°
গ
90°
ঘ
30°

সঠিক উত্তর: ঘ

30°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

30°

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
⇒ 90° + অপর দুটি কোণ = 180°
⇒ অপর দুটি কোণ = 180° - 90°
∴ অপর দুটি কোণ = 90°

∴ দুটি কোণের এক-তৃতীয়াংশ = 90°/3 = 30°

৯৭৪.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৬ সে.মি.
খ
খ) ৫ সে.মি.
গ
গ) ৮ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৭ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৫ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৫ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
বা, অতিভুজ = √(৩² + ৪²)
= √(৯ + ১৬)
= √২৫
∴ অতিভুজ = ৫ মিটার

৯৭৫.

ত্রিভুজের দুটি কোণ ৪৫° ও ৯০° হলে অপর কোণের মান কত হবে?

ক
ক) ১৫°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ৬৫°
ঘ
ঘ) ২২৫°

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৪৫°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৪৫°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের দুটি কোণ ৪৫° ও ৯০° হলে অপর কোণের মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের অপর কোণ x°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

এখন,
৪৫° + ৯০° + x° = ১৮০°
বা, ১৩৫° + x° = ১৮০°
বা, x° = ১৮০° - ১৩৫°
∴ x° = ৪৫°

৯৭৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
24 বর্গ সে.মি.
খ
36 বর্গ সে.মি.
গ
48 বর্গ সে.মি.
ঘ
72 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

36 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

36 বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
এখানে, সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = a = 12 সে.মি. এবং b = 12 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ
⇒ ক্ষেত্রফল = (1/2) × 12 × 12 × sin 30°
= (1/2) × 144 × 1/2 [sin 30° = 1/2]
= 72 × 1/2
= 36

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

৯৭৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 1 মিটার
খ
খ) 2 মিটার
গ
গ) 3 মিটার
ঘ
ঘ) 4 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2 মিটার

খ

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)²/4 - √3a²/4= 3√3
a² + 4a + 4 - a² = 12
4a + 4 = 12
4a = 8
a = 2
∴ a = 2মিটার

৯৭৮.

একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
16 বর্গ সে.মি.
খ
25 বর্গ সে.মি.
গ
40 বর্গ সে.মি.
ঘ
36 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

25 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

25 বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি, সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, a² + a² = 10²
বা, 2a² = 100
বা, a² = 100/2
বা, a² = 50

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × a × a
= (1/2) × a²
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

৯৭৯.

সুষম পঞ্চভুজের একটি শীর্ষকোণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) 106°
খ
খ) 108°
গ
গ) 110°
ঘ
ঘ) 112°

সঠিক উত্তর: খ

খ) 108°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 108°

খ

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4) সমকোণ
= (10-4) × 90°
= 6 × 90°
= 540°
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের একটি শীর্ষ কোণ = 540°/5
= 108°

৯৮০.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 60°
গ
গ) 80°
ঘ
ঘ) 90°

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 90°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 90°

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3

ধরি
১ম বাহু = x
২য় বাহু = 2√2x
৩য় বাহু = 3x

এখন
(3x)² = (2√2x)² + x²
9x² = 8x² + x²
9x²= 9x²

প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°

৯৮১.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
40 বর্গ সে.মি.
খ
25 বর্গ সে.মি.
গ
50 বর্গ সে.মি.
ঘ
65 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

25 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

25 বর্গ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
a² + a² = 10²
⇒ 2a² = 100
⇒ a² = 50

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a²
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

৯৮২.

কোন বাহুগুলো দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

ক
৫, ৭, ১০
খ
৬, ৬, ১২
গ
৮, ২, ১২
ঘ
৯, ১১, ২০

সঠিক উত্তর: ক

৫, ৭, ১০

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৫, ৭, ১০

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বাহুগুলো দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুইবাহুর সমষ্টি, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
∴ (৫ + ৭) > ১০
১২ > ১০

৯৮৩.

কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখন্ডকগুলোর ছেদবিন্দুর নাম -

ক
অন্তঃকেন্দ্র
খ
ভরকেন্দ্র
গ
পরিকেন্দ্র
ঘ
লম্বকেন্দ্র

সঠিক উত্তর: ক

অন্তঃকেন্দ্র

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

অন্তঃকেন্দ্র

ক

ব্যাখ্যা

অন্তঃকোণের সংজ্ঞানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।

৯৮৪.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির পার্থক্য 5 ডিগ্রী হলে, এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 32.5°
গ
গ) 42.5°
ঘ
ঘ) 47.5°

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 47.5°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 47.5°

ঘ

ব্যাখ্যা

মনে করি, সূক্ষ্মকোণ দুইটি যথাক্রমে x ও x + 5
x + x +5° = 90°
2x + 5° = 90°
2x = 85°
x = 85°/2
x = 42.5°
বৃহত্তম কোণটির পরিমাপ = 42.5° + 5° = 47.5°
---------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
বৃহত্তম কোণ = (90° + 5°) ÷ 2 = 47.5°
ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - 5°) ÷ 2 = 42.5°

৯৮৫.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪ বর্গ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৫ সে.মি
খ
খ) ১৬ সে.মি
গ
গ) ১২ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৮ সে.মি

সঠিক উত্তর: খ

খ) ১৬ সে.মি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ১৬ সে.মি

খ

ব্যাখ্যা

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

৯৮৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
ক) ৩√৩
খ
খ) ৪√৩
গ
গ) ৬√৩
ঘ
ঘ) ৯√৩

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৯√৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৯√৩

ঘ

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a =৬ সেন্টিমিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a²
= (√৩/৪) (৬)²
= ৯√৩ বর্গ সেন্টিমিটার

৯৮৭.

ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1ঃ1ঃ√2 হলে ত্রিভুজটি হবে -

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সূক্ষকোণী
গ
গ) স্থুলকোণী
ঘ
ঘ) বিষমবাহু

সঠিক উত্তর: ক

ক) সমকোণী

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) সমকোণী

ক

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে-
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 1² + 1²
⇒ অতিভুজ = √(1² + 1²) = √2
এখানে যেহেতু ১ম দুটি বাহু দ্বারা ৩য় বাহুটি অর্থাৎ অতিভুজ পাওয়া যায়, তাই ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।

৯৮৮.

সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১০০ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ৫০ বর্গ সে.মি.
গ
গ) ৫০√২ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য, ক = ১০ সে.মি.
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (ক)^২ বর্গ সে.মি.
= √৩/৪ (১০)^২ বর্গ সে.মি.
= {(√৩/৪) × ১০০} বর্গ সে.মি.
= ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গ সে.মি.।

৯৮৯.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে a/3, a/3 এবং 4a/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
60°
গ
90°
ঘ
120°

সঠিক উত্তর: ঘ

120°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

120°

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে a/3, a/3 এবং 4a/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ বা 180°
∴ a/3 + a/3 + 4a/3 = 180°
বা, (a + a + 4a)/3 = 180°
বা, 6a/3 = 180°
বা, 6a = 180° × 3
বা, a = (180° × 3)/6
∴ a = 90°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = 4a/3
= (4 × 90)°/3
= 120° ।

৯৯০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৪
খ
১৬
গ
৮
ঘ
১২

সঠিক উত্তর: ক

৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৪

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক

শর্তমতে,
{(√৩)/৪} × ক^২ = ৪√৩
বা, ক^২ = ১৬
∴ ক = ৪

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ একক

৯৯১.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, নিচের কোনটি ∠ACD এর সমান হবে?

ক
∠A + ∠B
খ
∠A + ∠B + ∠C
গ
∠A + ∠B - ∠C
ঘ
∠A + ∠C

সঠিক উত্তর: ক

∠A + ∠B

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

∠A + ∠B

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, নিচের কোনটি ∠ACD এর সমান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
উক্ত ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠ACD এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠A ও ∠B

∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ∠A + ∠B

৯৯২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60° হলে, ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

ক
1 : √2 : 2
খ
1 : √3 : 2
গ
1 : √3 : 1
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: খ

1 : √3 : 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1 : √3 : 2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60° হলে, ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
কোণ তিনটি হলো, 30°, 60° ও 90°

আমরা জানি,
a/sinA = b/sinB = c/sinC
or, a : b : c = sinA : sinB : sinC
= sin30° : sin60° : sin90°
= (1/2) : (√3/2) : (1)
= 1 : √3 : 2 ;[ 2 দ্বারা গুণ করে ]

৯৯৩.

ABC ত্রিভুজে AB=30 মিটার, BC= 20 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

ক
30°
খ
90°
গ
60°
ঘ
0°

সঠিক উত্তর: খ

90°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

90°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB=30 মিটার, BC= 20 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB= 30 মিটার
BC= 20 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ মিটার

আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
⇒ 300 = (1/2) × 30 × 20 × sin ∠B
⇒ 300 = 300 × sin ∠B
⇒ 300 ÷ 300 = sin ∠B
⇒ sin ∠B = 1
⇒ sin ∠B = sin 90°
∴ ∠B = 90°

৯৯৪.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

ক
ক) স্থুলকোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষ্মকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

সঠিক উত্তর: ক

ক) স্থুলকোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) স্থুলকোণ

ক

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে

৯৯৫.

3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
6.75 বর্গ সে.মি.
খ
6.25 বর্গ সে.মি.
গ
6.55 বর্গ সে.মি.
ঘ
67.5 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

6.75 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

6.75 বর্গ সে.মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. ও c = 5.5 সে.মি.
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (3 + 4.5 + 5.5)/2 = 6.5

ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}
= √(6.5 × 3.5 × 2 × 1)
= √45.5
= 6.75 বর্গ সে.মি.

৯৯৬.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

ক
ক) সরল কোণ
খ
খ) সমকোণ
গ
গ) সূক্ষ্মকোণ
ঘ
ঘ) স্থুল কোণ

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) স্থুল কোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) স্থুল কোণ

ঘ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুল কোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

৯৯৭.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) ৩, ৫ এবং ৮
খ
খ) ৫, ৭ এবং ১৫
গ
গ) ৭, ৮ এবং ৯
ঘ
ঘ) ৮, ৯ ও ১৮

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৭, ৮ এবং ৯

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৭, ৮ এবং ৯

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
ক) ৩ + ৫ = ৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
খ) ৫ + ৭ < ১৫ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়
গ) ৭ + ৮ > ৯ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব
ঘ) ৮ + ৯ < ১৮ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়

৯৯৮.

ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠A = 50°, ∠B = 90° হলে ∠ACD = কত?

ক
60°
খ
40°
গ
140°
ঘ
120°

সঠিক উত্তর: গ

140°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

140°

গ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ অন্তঃস্থ বিপরীত দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 50° + 90°
= 140°

৯৯৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সেন্টিমিটার হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার ?

ক
ক) 4 সেন্টিমিটার
খ
খ) 5 সেন্টিমিটার
গ
গ) 6 সেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) 8 সেন্টিমিটার

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6 সেন্টিমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6 সেন্টিমিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সেন্টিমিটার হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার ?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেন্টিমিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 9√3
a²/4 = 9
a² = 36
a² = 6²
a= 6

১,০০০.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্ব-দ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

ক
ক) ভরকেন্দ্র
খ
খ) পরিকেন্দ্র
গ
গ) আন্তঃকেন্দ্র
ঘ
ঘ) লম্ববিন্দু

সঠিক উত্তর: খ

খ) পরিকেন্দ্র

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) পরিকেন্দ্র

খ

ব্যাখ্যা

অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।