ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 63° বড় হয়, তাহলে ৩য় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = x
∴ ১ম কোণ = 4x
৩য় কোণ = 4x + 63°

প্রশ্নমতে,
x + 4x + 4x + 63° = 180°
⇒ 9x = 180° - 63°
⇒ 9x = 117°
⇒ x = 117°/9
∴ x = 13°

∴ ৩য় কোণ = 4x + 63 = 52° + 63° = 115°

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে , কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০ । ইহা একটি সমকোনী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ মিটার । ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ভূমি × ১৪
= ৭ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৭ × ভূমি = ৮৪
⇒ ভূমি = ৮৪/৭ 
∴ ভূমি = ১২

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = ১২  মিটার 

অন্ত:কেন্দ্রের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল হবে = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক 
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো ∠A, ∠B এবং ∠C

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
অর্থাৎ, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ... (১)

প্রশ্নমতে,
∠A = ∠B + ∠C ... (২)

সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) তে বসিয়ে পাই,
∠A + ∠A = 180°
বা, 2∠A = 180°
বা, ∠A = 90°

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(১০ × ৪)
= ২০ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত একক? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক
এবং সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
⇒ 150 = (1/2) × 25 × অপর বাহু 
⇒ 25 × অপর বাহু = 300 
⇒ অপর বাহু = 300/25 
∴ অপর বাহু = 12 একক 

সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 একক

এখানে,
17² = 15² + 8²
∴ ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ
যার একটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ 90° অপর কোণদ্বয়ের প্রতিটি সুক্ষকোণ।
∴ বৃহত্তম কোণ = 90°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার, 21 মিটার, 29 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  a = 20 মিটার, b = 21 মিটার, c = 29 মিটার, 21m,
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c​)/2 
= (20 + 21 + 29​)/2
= 70/​2
= 35

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √{35 × 15  × 14  × 6}
= √44100
= 210 মিটার 

ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো x, 2x ও 3x
প্রশ্নমতে,
x + 2x + 3x = 180°
বা, 6x = 180°
বা, x = 30°
সুতরাং বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 3x - x = 2x = 2×30° = 60°

যেহেতু, 15² + 8² = 17² 
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে
১+২+৩ = ৬x
৬x= ১৮০°
x=৩০°
১ম দুইটি কোণ= যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°
তৃতীয় কোণ=৯০°
আমরা জানি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
শর্তমতে , x²+ (x - 2)² = (x + 2)²
বা, x²+ x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ অতিভূজ = x + 2 = 8 + 2 = 10c.m.

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজে ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠ACD = 120°
বা, ∠ACE + ∠ECD = 120°
বা, 3∠ECD + ∠ECD = 120°
বা, 4∠ECD = 120°
∴ ∠ECD = 30°
∴ ∠ACE = 3∠ECD
= 3 × 30°
= 90°

ত্রভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC = 64
⇒ (1/2) × 2BC × BC = 64
⇒ BC² = 64
⇒ BC = 8
∴ AB = 16
∴  AC² = AB² + BC²= 8² + 16² = 320
∴ AC = √320

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b হলে, এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 8 × 10 × sin60°
=  (1/2) × 8 × 10 × (√3/2)
= 20√3 বর্গসে.মি. 

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)।
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 16
বা, ক - 90 + ক = 16
বা, 2ক = 106
বা, ক = 53
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 - 53
= 37°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের-

সমাধান:
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। 

এখানে তিনটি বৃত্তের চিত্রে,
প্রথম চিত্রের ভিতরে তীর দুটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় চিত্রের ভিতরে তীরটি যেদিকে আছে তৃতীয় চিত্রে তীরটি তার বিপরীত দিকে আছে।একই ভাবে তিনটি ত্রিভুজের চিত্রে,
প্রথম ত্রিভুজের(চিত্র-৪) ভিতরে বৃত্ত দুইটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় ত্রিভুজের(চিত্র-৫) ভিতরের বৃত্তটি আছে উপরের দিকে, তাহলে এর পরবর্তী ত্রিভুজটির ভিতরে বৃত্তটি হবে নিচের দিকে।
অতএব, ত্রিভুজ-৩(চিত্র-৬) হবে অপশন ক এর অনুরূপ।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি হলে ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহু)²
= (√3/4) × 6²
= (√3/4) × 36
= 9√3 বর্গ সে.মি।

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 6 × h = 3h বর্গ সে.মি।

প্রশ্নমতে,
3h = 9√3
⇒ h = (9√3)/3
= 3√3 সে.মি।

∴ ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য 3√3 সে.মি।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
এখানে,
৫^২ = ৩^২ + ৪^২
১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
সুতরাং, ৮ : ৪ : ১২ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে না।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ৫ × ৪
= ১০ বর্গ মিটার 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয়?

সমাধান:
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত:
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।

ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° হলে অপর দুইটি কোণের সমষ্টি হবে 90°।
ধরি, অপর দুইটি কোণ 2x ও 3x.
∴ 2x+3x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18
∴ ছোট কোণ 2x এর পূরক কোণ = 3x = 3×18 = 54°

প্রশ্ন: চিত্রে ∠RPS এর মান কত? 

সমাধান:
চিত্রে,
∠PQR = 30° এবং ∠PRQ = 40°
সুতরাং, ত্রিভুজ QPR–এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি অনুযায়ী,
∠QPR = 180° - (30° + 40°)
= 180° - 70°
= 110°

এখন, P বিন্দুতে PQ সরলরেখাটি S পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
অতএব, ∠RPS হলো ∠QPR–এর বহিঃকোণ।

যেহেতু, বহিঃকোণের মান = বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টি
∴ ∠RPS = 30° + 40° = 70°