ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ভূমি × ১২
= ৬ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৬ × ভূমি = ৮৪
বা, ভূমি = ৮৪/৬
বা, ভূমি = ১৪

∴ ভূমি = ১৪ গজ

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১০৫ বর্গএকক হলে, BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 
 
সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে। 

∴ BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১০৫ বর্গ একক 
 = ৩৫ বর্গ একক । 

ধরি,
কোণ দুটি যথাক্রমে 3x এবং 4x
প্রশ্নমতে,
3x + 4x + 40° = 180°
∴ 7x = 140°
x = 20°
বড় কোণটির পরিমাণ = 4 × 20° = 80°

প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 1 : √2
এখানে,
1² + 1²
= 1 + 1
= 2
= √2²
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ 
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰

ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/5, 2x/5 এবং 2x/5 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

ATQ,
x/5 + 2x/5 + 2x/5 = 180°
⇒ ( x + 2x + 2x )/5 = 180°
⇒ 5x/5 = 180°
∴ x = 180°

বৃহত্তম কোণ = 2x/5 = (2 × 180)/5 = 72°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ৫^২ = ৪^২ + ৩^২

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষবিন্দু A(4, 2), B(1, 5), C(- 2, - 1) হলে ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A(4, 2), B(1, 5) এবং C(-2, -1)
আমরা জানি,  
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র এর স্থানাঙ্ক, 
G{(x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)}

এখন, 
x-স্থানাঙ্ক = (4 + 1 - 2)/3 = (5 - 2)/3 = 3/3 = 1

এবং
y-স্থানাঙ্ক = (2 + 5 - 1)/3 = (7 - 1)/3 = 6/3 = 2

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র G(1, 2)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার এবং মাঠটির উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = ১২০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১২০ = (১/২) × ভূমি × ১৫ 
⇒ ভূমি × ১৫ = ১২০ × ২ 
⇒ ভূমি = (১২০ × ২)/১৫ 
⇒ ভূমি = ৮ × ২
∴ ভূমি = ১৬ মিটার

∴ মাঠটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:
ভরকেন্দ্র (Centroid):
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
- ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকেই 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
যদি দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান বা কম হয়, তাহলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

খ) ২ + ৫ = ৭, যা তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট; তাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = 45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a = b = 12 সে.মি.
আমরা জানি,
 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 12 × 12 × sin 45°
= 72 × (1/√2)
= 72 × (√2/2)
= 36√2 বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√2 বর্গ সে.মি.

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (s) = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ৩৬ একক হলে অপরটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল) 
বা, ৫৭৬ =  (১/২) × ৩৬ × নির্ণেয় বাহু 
বা, নির্ণেয় বাহু = (৫৭৬ × ২)/৩৬ 
∴ নির্ণেয় বাহু = ৩২ একক ।

- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

ত্রিভূজের ভূমি = a,
উচ্চতা = b,
অতিভূজ c = ১৭ সেঃমিঃ হলে
পরিসীমা a + b + c = ৪০
বা, a + b = ৪০ - c
বা, a + b = ৪০ - ১৭
বা, a + b = ২৩

আবার,
a² + b² = ১৭² = ২৮৯
বা, (a + b)² - ২ab = ২৮৯
বা, ২৩² - ২৮৯ = ২ab
বা, ২ab = ২৪০
বা, ab/2 = ২৪০/৪
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 ab = ৬০ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যমতে,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহু (অতিভুজ)-এর বর্গের সমান হবে।
∴ ভূমি^২ + লম্ব^২ = অতিভুজ^২

অপশন ক:
√2, √3, 5
বৃহত্তম বাহু = 5² = 25
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 25 ≠ 5, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন খ:
2, 3, 7
বৃহত্তম বাহু = 7² = 49
অপর দুই বাহু = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 
যেহেতু 49 ≠ 13, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন গ:
√2, √3, √5
বৃহত্তম বাহু = (√5)² = 5
অপর দুই বাহু = (√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5
যেহেতু 5 = 5, সমকোণী ত্রিভুজ।

অপশন ঘ:
5, 8, 13
বৃহত্তম বাহু = 13² =169
অপর দুই বাহু = 5² + 8² = 25 + 64 = 89
যেহেতু 169 ≠ 89, সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

সঠিক উত্তর: গ) √2, √3, √5

ভূমি b = ১৬ মিঃ
বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিঃ
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4(√(4a²-b²))
= 16/4((√(4.10²-16²)
= 48 বর্গমিঃ

এখানে,
a = 20,
b = 21,
c = 29,
s = (a + b + c)/2
= (20 + 21 + 29)/2
= 35
∴ ক্ষেত্রফল = √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √(35 × 15 × 14 × 6)
= 210 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ​ব্যাস = ৮ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮/২ = ৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √৩ × ৪
= ৪√৩

এখন,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
= (√৩/৪) × (৪√৩)২
= (√৩/৪) × ১৬ × ৩
= ১২√৩

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১২√৩ বর্গ সে.মি.

ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
∴ ৬ + ৭ = ১৩ > ১২

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
ক) ৫ + ৬ > ৭
খ) ৪ + ৮ = ১২ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
গ) ৬ + ৮ > ৯ 
ঘ) ১০ + ১২ >১৫

∴ অপশন 'খ' অর্থাৎ, ৪, ৮, ১২ সেন্টিমিটার তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়। 

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x - 4 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x + 4 সেমি
এখন,
x² + (x - 4)² = (x + 4)²
⇒ x² + x² - 8x + 16 = x² + 8x + 16
⇒ x² = 16x
⇒ x = 16
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 16 + 4 = 20 সেমি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x, (x/2) ও (3x/2)। ক্ষুদ্রতম কোণের মান রেডিয়ানে কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে, 
x, x/2 ও 3x/2

এখন
x + (x/2) + (3x/2) = 180° 
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180° 
⇒ 6x/2 = 180° 
⇒ 3x = 180° 
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°

সুতরাং 
তিনটি কোণের মান হবে যথাক্রমে,
x = 60°, x/2 = 60°/2 = 30° এবং 3x/2 = (3 × 60°)/2 = 90°

ক্ষুদ্রতম কোণ = 30° 

আমরা জানি, 
1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 30° = 30° × (π/180)
= π/6

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান π/6 রেডিয়ান হবে। 

প্রশ্ন: ত্রিভুজের শীর্ষ গুলি থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব গুলির ছেদবিন্দুকে কী বলে?


ভরকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের মধ্যমা গুলির ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র (Centroid) বলে।

পরিকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমদ্বিখন্ডকগুলির ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র (Circumcenter) বলে।

লম্বকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের শীর্ষ গুলি থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব গুলির ছেদবিন্দুকে লম্বকেন্দ্র (Orthocenter) বলে।

অন্তঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের কেন্দ্রকে অন্তঃকেন্দ্র (Incenter) বলে।

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর একটির দৈঘ্য a এবং ভূমি b হয়
তাহলে ক্ষেত্রফল = b/4 X √(4a² - b²) বর্গ একক।
এখন ধরি, ভূমি b=16 একক এবং অপর বাহুর একটি a = 10 একক |
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 16/4 X√(4 X 10² - 16²)
= 48 বর্গ একক।

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয় নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: 
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু ৮ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
 একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে তার ক্ষেত্রফল = √(৩/৪) × a^২

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (a) = ৮ মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (৮)^২
= √৩/৪ × ৬৪
= ১৬√৩ বর্গমিটার

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি