ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য x সেমি হলে পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে-
x² + x² = 10²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 50 = 25 বর্গসেমি

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভূজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 মিটার ও 6 মিটার। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
লম্ব = x মিটার

আমরা জানি,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
বা, x² + 6² = 10²
বা, x² + 36 = 100
বা, x² = 100 - 36
বা, x² = 64
বা, x = √64
∴ x = 8

সুতরাং, ত্রিভুজের লম্ব = 8 মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
= (1/2) × 6 × 8
= 3 × 8
= 24 বর্গমিটার

অতএব, মাঠটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ 10² = a² +a²
⇒ 100 = 2a²
⇒ a² = 100/2
⇒a² = 50

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
=1/2 × a × a
= 1/2 × a²
= 1/2 × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 54° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
∴ ১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 54°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 54° = 180°
বা, 9a = 180° - 54°
বা, 9a = 126°
বা, a = 126°/9
∴ a = 14°

∴ ১ম কোণ = 4 × 14° = 56°

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²) = 16/4 √(4×10²-16²) = 4√(400-256) = 4×12 = 48 বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 16 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 104 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?


সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 13 মিটার, AC = b = 16 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 104 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 104 = (1/2) × 13 × 16 × sinθ
⇒ 13 × 8 × sinθ = 104
⇒ sinθ = 104/104
⇒ sinθ = 1
⇒ sinθ = sin90°
⇒ θ = 90°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 90°

যেহেতু ABC ত্রিভুজে AB = AC, তাহলে B ও C কোণ সমান হবে। সুতরাং A = 180° - (B + C) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

মনে করি,

লম্ব = a সে.মি 
∴ অতিঃ = (a + 2) সে.মি
∴ a² + 8² = (a + 2)²
বা, a² + 64 = a² + 4a + 4
বা, 4a = 60
∴ a = 15

∴ লম্ব = 15 সে.মি
অতিঃ = 15 + 2 = 17 সে.মি

∴ পরীসীমা = 15 + 17 + 8
= 40 সে.মি

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PE একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PE-এর দৈর্ঘ্য 36 সে.মি. হয়, তাহলে GE-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে ভূমির দিকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে, PE মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র।
∴ PG : GE = 2 : 1
অনুপাতের যোগফল = 2 + 1 = 3
মধ্যমা PE-এর দৈর্ঘ্য = 36 সে.মি.

ভরকেন্দ্র G, মধ্যমা PE-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PG এবং GE।
∴ GE-এর দৈর্ঘ্য = 36 এর (1/3) অংশ
= 36 × (1/3) সে.মি.
= 12 × 1 সে.মি.
= 12 সে.মি.

সুতরাং, GE-এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
এখন, প্রশ্নোক্ত সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার।
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) X (16)²
= (√3/4) X 16 X 16
= 64√3

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভুজের এক বাহর দৈর্ঘ্য a একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমবাহুু ত্রিভুজের একটি দৈর্ঘ্য a একক
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =(√3/4)a² বর্গ একক

মনে করি ক্ষুদ্রতম কোণ = x
প্রশ্নমতে, 90° + x + x + 10° = 180°
বা, 2x = 80°
বা, x = 40°

ADC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ACD = 60°; ∠ADC = 90°; ∠DAC = 30°
∴ DC = AD/tan60° = 9/√3
∴ BC = 18/√3
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) ×(18/√3)² = 27√3 or 81/√3 বর্গমিটার

ত্রিভূজের যেকোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের সমান।

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং অতিঃ c = 17
∴ পরিসীমা = a + b + c = 40
বা, a + b = 40 - c = 40 - 17 = 23 cm
বা, (a + b)² = 23²
বা, (a² + b²) + 2ab = 529
বা, c² + 2ab = 529 (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a² + b² = c²)
বা, 2ab = 529 - c² = 529 - 17² = 529 - 289 = 240
বা, ab = 120
∴ Δ = 1/2 ab = 120/2 = 60 বর্গ সে. মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
শর্তানুসারে,
√3/4(a+1)² - (√3/4)a² = √3
বা, √3/4(a² + 2a + 1 - a²) = √3
বা, 2a + 1 = 4
বা, 2a = 4 - 1
বা, 2a = 3
বা, a = 3/2
ক্ষেত্রফল= √3/4 × (3/2)²
= 9√3/16

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৪ × ৩)
= ৬ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি-

সমাধান:
ধরি,
বাহু = ক = ৫
বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি
= (ক - ২) × ১৮০°(ক - ২)

এখানে,
(৫ - ২) × ১৮০°
= ৩ × ১৮০°
= ৫৪০°
১ সমকোণ = ৯০°
অতএব,
৫৪০°/ ৯০° = ৬ সমকোণ

∴ একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি ৬ সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ৬^২
= (√৩/৪) × ৩৬ 
= ৯√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = (180-60)°+(180-60)°+(180-60)° = 360°।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ এর ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)ক^২ বর্গ মিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (ক + ৪)^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (ক + ৪)^২ - (√৩/৪)ক^২ = ১৬√৩
⇒ (√৩/৪) × {(ক + ৪)^২ - ক^২} = ১৬√৩
⇒ (ক + ৪)^২ - ক^২ = ১৬√৩ × (৪/√৩)
⇒ ক^২ + ৮ক + ১৬ - ক^২ = ৬৪
⇒ ৮ক + ১৬ = ৬৪ 
⇒ ৮ক = ৬৪ - ১৬ 
⇒ ৮ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৮ 
⇒ ক = ৬

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি, অতিভূজ^২ = লম্ব^২ + ভুমি^২
বা, c²  =  a² + b² 
বা, a² + b² = c²

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ। ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ১৮০° - (১০°+৮০°) = ৯০°, অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ।

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তে একটি ত্রিভুজ আঁকা হলে, সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অর্ধবৃত্তে সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজ হবে ব্যাসার্ধকে ভিত্তি ধরে এবং কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত উঁচু।

এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের ভিত্তি = 2r (অর্ধবৃত্তের ব্যাস)
উচ্চতা = r
তাহলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = 1/2 × ভিত্তি × উচ্চতা
= 1/2 × 2r × r 
= r²

∴ r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তে আঁকা বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে r²

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = (বড় বাহু)^২ + (ছোট বাহু)^২ অথবা (বড় বাহু - অতিভুজ)^২ - (ছোট বাহু)^২
সূত্রানুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = ১৭^২ - ১৫^২
                  = ৮^২
∴ তৃতীয় বাহু = ৮ সে.মি

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে প্রথম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের দ্বিতীয় কোণটি = x ডিগ্রি। 
প্রশ্নানুযায়ী,
প্রথম কোণটি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ, অর্থাৎ 3x ডিগ্রি। 
এবং তৃতীয় কোণটি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে 30 ডিগ্রি বড়,
অর্থাৎ x + 30 ডিগ্রি।  

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x + x + (x + 30°) = 180°
⇒ 5x + 30° = 180°
⇒ 5x = 180° - 30°
⇒ 5x = 150°
∴ x = 30°

∴ প্রথম কোণটি হল  3x = 3 × 30° = 90°

এখানে,
অতিভূজ = 25m
ধরি,
ভূমি = 4a মিঃ
উচ্চতা = 4a এর 3/4
= 3a মিঃ
∴ (4a)² + (3a)² = 25
বা, 16a² + 9a² = 625
বা, 25a² = 625
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4 × 5
= 20m
∴ উচ্চতা = 3 × 5
= 15m
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 20 × 15
= 150 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার বাগানের প্রতিপাশে লাগানো বেড়ার প্রতিটির দৈর্ঘ্য সমান। যদি বাগানটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হয় তবে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজাকৃতি বাগানের প্রতিপাশের বেড়ার দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং ত্রিভুজটি সমবাহু।

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a² বর্গমিটার 
= (√3/4)(4)² বর্গমিটার 
= (√3/4) × 16 বর্গমিটার
= 4√3 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ সর্বদা 90° হয়।
ত্রিভুজের কোণের সূত্র অনুসারে:
90° + অন্য দুটি কোণ = 180°
⇒ অন্য দুটি কোণ = 180° - 90° = 90°

তাহলে,
60° + 36° = 96° (90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)
40° + 50° = 90°
30° + 70° = 100° (90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)
80° + 20° = 100°(90° এর চেয়ে বড় হওয়ায় সম্ভব না)

∴ 40° এবং 50° দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।