ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫১, ৭৭ ও ১১৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫১, ৭৭ ও ১১৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ ও ৭ অবশিষ্ট থাকে তাই, 
৫১ - ৩ = ৪৮
৭৭ - ৫ = ৭২
১১৫ - ৭ = ১০৮

এখন, ৪৮, ৭২ ও ১০৮ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৪৮ = ২^৪ × ৩
৭২ = ২^৩ × ৩^২
১০৮ = ২^২ × ৩^৩

গ.সা.গু = ২^২ × ৩ = ৪ × ৩ = ১২

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৪৮০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ২৪০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৪৮০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২৪০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪৮০০ = ২৪০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৪৮০০/২৪০

∴ গ.সা.গু = ২০

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৯০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৯০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৯০/৩) + ১ = ৩০ + ১
= ৩১ বার

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৮, ৭৪ ও ৯৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ২ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
৫৮ - ৪ = ৫৪
৭৪ - ২ = ৭২
৯৬ - ৬ = ৯০

এখন, ৫৪, ৭২ ও ৯০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই,
৫৪ = ২ × ৩ × ৩ × ৩
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৩ = ১৮

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৫/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৫ক/৩

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৫ক/৩) = ১৮০ × ১২
⇒ (৫/৩)ক^২ = ২১৬০
⇒ ক^২ = ২১৬০ × ৩/৫
⇒ ক^২ = ১২৯৬
⇒ ক = √১২৯৬
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৩৬ × ৫)/৩ = ৬০

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৬০

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান: 
১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ এর লসাগু = ৪৩২
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ 

১০০০ কে ৪৩২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১৩৬

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৪৩২ - ১৩৬) 
= ১০০০ + ২৯৬
= ১২৯৬

প্রশ্ন: দুইটি রাশির ল.সাগু. সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গুর ১২ গুণ। গ.সা.গু. ও ল.সা.গুর সমষ্টি ৮০৬। যদি একটি সংখ্যা ১৮৬ হয় তাহলে অন্য সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু. = ক
∴ ল.সা.গু. = ১২ক

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ক = ৮০৬
⇒ ১৩ক = ৮০৬
⇒ ক = ৮০৬/১৩
⇒ ক = ৬২ 

∴ গ.সা.গু. = ৬২
এবং ল.সা.গু. = ১২ × ৬২ = ৭৪৪

এখন,
১৮৬ × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু
⇒ অপর সংখ্যা = (৬২ × ৭৪৪)/১৮৬
⇒ অপর সংখ্যা = ২৪৮

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৪, ৭৭ ও ৯০ কে  ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৬৪, ৭৭ ও ৯০ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ অবশিষ্ট থাকে সেহেতু ,
৬৪ - ৪ = ৬০ 
৭৭ - ৫ = ৭২
৯০ - ৬ = ৮৪

এখন, ৬০, ৭২ ও ৮৪ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা। 
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ৪ ঘণ্টা, ৬ ঘণ্টা ও ৯ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকে। ২ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৪ × ৯
= ৩৬
অর্থাৎ, তিনটি ঘণ্টা ৩৬ ঘণ্টা পরপর একত্রে বাজবে।

এখন,
২ দিন = ২ × ২৪ = ৪৮ ঘণ্টা।
∴ ২ দিন বা ৪৮ ঘণ্টায় বাজবে = ৪৮/৩৬ = ১ (ভাগশেষ ১২ থাকবে)
কিন্তু শুরুতে একবার একত্রে বাজে (সময় = 0:00),
তারপর ৩৬ ঘণ্টা পর আবার বাজে।

∴ ২ দিনে তারা একত্রে বাজবে মোট ২ বার।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৯ এবং এদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
 
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৪x এবং ৯x

∴ ৪x এবং ৯x এর ল.সা.গু = ৩৬x

প্রশ্নমতে,
৩৬x = ৩৬০
⇒ x = ৩৬০ ÷ ৩৬
⇒ x = ১০

∴ ১ম সংখ্যাটি = ৪x
= ৪ × ১০
= ৪০

∴ ২য় সংখ্যাটি = ৯x
= ৯ × ১০
= ৯০

প্রশ্ন: ২/৩ এবং ৫/৬ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
লব ২ ও ৫ এর ল.সা.গু = ১০
হর ৩ ও ৬ এর গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৩ এবং ৫/৬ এর ল.সা.গু = ১০/৩ । 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৮০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/৮০
∴ গ.সা.গু = ৪৫

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ এবং ২৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু থেকে ৫ কম।

১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫
= ৩০০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০০ - ৫ = ২৯৫

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
∴ লব ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২ । 

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজার পর যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগলো। ঘণ্টাগুলো পুনরায় কত সময় পর একত্রে বাজবে? 

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু. এর সমান সময়ের পর পুনরায় একত্রে বাজবে। 

৩ = ১ × ৩ 
৫ = ১ × ৫ 
৭ = ১ × ৭ 
৮ = ১ × ২ × ২ × ২
১০ = ১ × ২ × ৫

নির্ণেয় ল.সা.গু. = ১ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ৮৪০ 

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর
= ১৪ মিনিট পর

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৪২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৭ক হলে
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক
এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ৪২০

∴ ক = ৪২০/৩৫ = ১২

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ১২

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫ এবং ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০

১০০০০ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর চেয়ে ২৫ গুণ বেশি। যদি এই দুই সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হয়, তবে তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
∴ দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু = ২৫x 

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল = দুইটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ২৫x × x = ২০২৫ 
⇒ ২৫x^২ = ২০২৫ 
⇒ x^২ = ২০২৫/২৫ 
⇒ x^২ = ৮১ 
⇒ x^২ = ৯^২ 
∴ x = ৯ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৫ × ৯ 
= ২২৫ ।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৭৮, ১১০ ও ১৪২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ২ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৭৮, ১১০ ও ১৪২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ২ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে, তাই সংখ্যাগুলো থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে।

এখানে,
৭৮ - ৬ = ৭২
১১০ - ২ = ১০৮
১৪২ - ৭ = ১৩৫
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৭২, ১০৮ এবং ১৩৫ এর গ.সা.গু।

৭২ = ২^৩ × ৩^২
১০৮ = ২^২ × ৩^৩
১৩৫ = ৩^৩ × ৫

∴ গ.সা.গু = ৩^২ = ৯

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৯

নোট:
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

প্রশ্ন: একদল ছাগল প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে চার পথে যায়, ছয়টি খোঁয়াড়ে ঢোকে, আটটি মাঠে চরে এবং দশজন রাখাল সমান সংখ্যক ছাগল দেখাশোনা করে। তাহলে ছাগলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ছাগলের সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যা ৪, ৬, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অর্থাৎ ৪, ৬, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ ছাগলের সংখ্যা = ১২০।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫ এবং ২২৫। প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু = ১৫ এবং ল.সা.গু = ২২৫

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১৫ × ২২৫
= ৩৩৭৫

এখন,
প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ৯ × ৫ = ৪৫

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক

সুতরাং,
৪৫ × ক = ৩৩৭৫

⇒ ক = ৩৩৭৫/৪৫
⇒ ক = ৭৫

∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কমলার সাথে কমপক্ষে কতগুলো কমলা সংযুক্ত করলে তা ৬, ৭ অথবা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কমলা সংযুক্ত করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি। 

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা ৩ বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর, লব অপেক্ষা ৩৩ বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = ক
তাহলে, হর = ক + ৩
∴ ভগ্নাংশটি = ক/(ক + ৩)

ভগ্নাংশটির বর্গ = {ক/(ক + ৩)}^২
= ক^২/(ক + ৩)^২
= ক^২/(ক^২ + ৬ক + ৯)

প্রশ্নমতে,
(ক^২ + ৬ক + ৯) - ক^২ = ৩৩
⇒ ৬ক + ৯ = ৩৩
⇒ ৬ক = ২৪
⇒ ক = ৪

সুতরাং, লব = ৪
হর = ৪ + ৩ = ৭

∴ ভগ্নাংশটি হলো ৪/৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৪০ × ক = ২৪০ × ৮
⇒ ক = (২৪০ × ৮)/৪০
⇒ ক = ১৯২০/৪০
⇒ ক = ৪৮

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪

আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু. 
বা, ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬ × ৪) 
= ১২০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ১২০ এবং গ. সা. গু. ২০। সংখ্যা দুটির অনুপাত ২ : ৩ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো ২ক এবং ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল. সা. গু. × গ. সা. গু.
∴ (২ক) × (৩ক) = ১২০ × ২০
∴ ৬ক^২ = ২৪০০
∴ ক^২ = ২৪০০/৬
∴ ক^২ = ৪০০
∴ ক = √৪০০
∴ ক = ২০

বড় সংখ্যাটি = ৩ক
∴ বড় সংখ্যাটি = ৩ × ২০ = ৬০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল.সা.গু 180। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 3x এবং 4x.
∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x
এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল = 12x²

আমরা জানি,
দুইটির গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, 12x² = 180 × x
বা, 12x = 180
∴ x = 15

∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3 × 15 = 45 এবং 4 × 15 = 60.

প্রশ্ন: সবচেয়ে বড় কোন সংখ্যা দিয়ে ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ভাগশেষ ৩, ৪ এবং ৫ থাকে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: দুইটি দলের সদস্য সংখ্যার ল.সা.গু ৯০ ও গ.সা.গু ১৫ হলে এবং প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু অপেক্ষা বেশি হলে, উভয় দলের সদস্য মোট কত জন?

সমাধান:
আমরা জানি, সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
সংখ্যা দুটির গুণফল = ৯০ × ১৫ = ১৩৫০

আবার, সংখ্যা দুটি অবশ্যই তাদের গ.সা.গু (১৫) এর গুণিতক হবে।
ধরি, সংখ্যা দুটি ১৫a এবং ১৫b (যেখানে a ও b পরস্পর মৌলিক সংখ্যা)।

শর্তমতে,
১৫a × ১৫b = ১৩৫০
⇒ ২২৫ab = ১৩৫০
⇒ ab = ১৩৫০/২২৫
⇒ ab = ৬

যেহেতু a ও b পরস্পর মৌলিক, তাই তাদের গুণফল ৬ হওয়ার সম্ভাব্য জোড়া হলো (১, ৬) অথবা (২, ৩)।

যদি (a, b) = (১, ৬) হয়,
তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ১) = ১৫ এবং (১৫ × ৬) = ৯০
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু (১৫) অপেক্ষা বেশি হতে হবে। এখানে একটি দলের সদস্য ১৫ জন, যা শর্ত পূরণ করে না।

যদি (a, b) = (২, ৩) হয়, তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ২) = ৩০ এবং (১৫ × ৩) = ৪৫
এখানে ৩০ ও ৪৫ উভয়ই ১৫ অপেক্ষা বেশি, যা শর্ত পূরণ করে।

∴ উভয় দলের মোট সদস্য সংখ্যা = (৩০ + ৪৫) = ৭৫ জন।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ৮, ১২ ও ১৮ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৬, ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

অতএব, ৭২ সেকেন্ড পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৮ হয় এবং একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হয়, তবে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩

আমরা জানি,
সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ক × (২ক/৩) = ৪৮ × ৮
⇒ ২ক^২/৩ = ৩৮৪
⇒ ২ক^২ = ৩৮৪ × ৩
⇒ ২ক^২ = ১১৫২
⇒ ক^২ = ৫৭৬
⇒ ক = √৫৭৬
∴ ক = ২৪

অতএব, ছোট সংখ্যাটি = (২৪ × ২)/৩ = ১৬

প্রশ্ন: ১/৩, ২/৫, ৭/৪ এবং ৩/৫ এর ল.সা.গু.কত? 

সমাধান:
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু. / হরগুলো গ.সা.গু

লবগুলো =  ১, ২, ৭, ৩
ল.সা.গু.: = ১ × ২ × ৭ × ৩ = ৪২

হরগুলো = ৩, ৫, ৪, ৫
গ.সা.গু.:
৩ এর ভাজক: ১, ৩
৫ এর ভাজক: ১, ৫
৪ এর ভাজক: ১, ২, ৪

সবগুলোর সাধারণ ভাজক একমাত্র ১

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = ৪২ / ১ = ৪২

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৪, ৩৬, ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
২৪ - ১৪ = ১০  
৩৬ - ২৬ = ১০  
৪৮ - ৩৮ = ১০  

২৪, ৩৬, ৪৮ থেকে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ বিয়োগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে।

এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩  
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩  
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু.  
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩  
= ১৪৪

যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে  
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ১০ = ১৩৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ৭ এবং তাদের ল.সা.গু. ২১০ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৭ক

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৭)ক = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৩৫
⇒ ক = ৬

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫ × ক
= ৫ × ৬ = ৩০