ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

লব ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪

প্রশ্ন: ৩০ টি আপেল ও ৩৬ টি কমলা সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান: 
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু 
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২ × ৩^২

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ = ৮ × ৯ = ৭২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৭২ × ২ = ১৪৪

∴ সর্বনিম্ন ১৪৪টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

১০০০ কে ৭২ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৭২ = ১৩ (ভাগফল), ১৩ × ৭২ = ৯৩৬
১০০০ - ৯৩৬ = ৬৪ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ৬৪ = ৮

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০৮,
যা ৭২ এর গুণিতক এবং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং ল.সা.গু ৫৪ হলে সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৫৪ এবং অনুপাত = ২ : ৩ 

ধরি,
সংখ্যাগুলো হলো ২ক ও ৩ক
∴ ​ল.সা.গু = ৬ক 

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৬ 
⇒ ​ক = ৯ 

∴ একটি সংখ্যা = (২ × ৯) = ১৮ 
​এবং অপর সংখ্যা = (৩ × ৯) = ২৭ 

∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১৮ + ২৭ = ৪৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১১ এবং তাদের ল.সা.গু. ৬৯৩। একটি সংখ্যা ৭৭ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১ 
বা, ৭৭ × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১
বা, অপর সংখ্যা = (৬৯৩ × ১১)/৭৭ 
∴  অপর সংখ্যা = ৯৯

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১০, ১২, ১৮ এবং ২৪ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫ = ২^১ × ৫^১
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^১ = ৩৬০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে। 
এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৫ এর ঘাত = ১ (বিজোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ এবং ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩৬০ × ২ × ৫ = ৩৬০০

∴ সর্বনিম্ন ৩৬০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ এর লসাগু = ৪২০

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

১০০০ কে ৪২০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১৬০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৪২০ - ১৬০)
= ১০০০ + ২৬০ = ১২৬০

∴ চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য = ১২৬০

প্রশ্ন: কোনো প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদেরকে ৭, ৯, ১৪ ও ২১ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে। প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থী সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৫ যোগ করলেই নির্ণেয় শিক্ষার্থী সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭

∴ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ৩ × ৩ × ৭ = ১২৬

যেহেতু প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা হবে লসাগু অপেক্ষা ৫ বেশি।

∴ প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = (১২৬ + ৫) জন = ১৩১ জন ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ । 

প্রশ্ন: একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, পাঁচ ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং দশ জন গােয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত?

সমান:
একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে ৩ পথে গমন করে,
৫ ঘাটে পানি পান করে,
৯ টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং
১০ জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়। 

তাহলে, গরুর সংখ্যা = ৩, ৫, ৯ এবং ১০ এর ল.সা.গু.
সুতরাং, গরুর সংখ্যা = ৯০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬৮ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৪ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৩ × ৪)ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/১২
⇒ ক = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ × ক = ৪ × ১৪ = ৫৬

প্রশ্ন: x² - 2x - 3 এবং x² + 2x - 3 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথমে প্রতিটি বহুপদকে গুণনীয়কে ভাগ করি:
x² - 2x - 3 = x² - 3x + x - 3 = (x - 3)(x + 1) 
x² + 2x - 3 = x² + 3x - x - 3 = (x + 3)(x - 1)

সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজে বের করি:
প্রথমের গুণনীয়ক: (x - 3), (x + 1)
দ্বিতীয়ের গুণনীয়ক: (x + 3), (x - 1)

এখানে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে গ.সা.গু. = 1

∴ গ.সা.গু. = 1 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ৯ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৩২৪ হলে তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু = ক
ল.সা.গু = ৯ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল
৯ক^২ = ৩২৪
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = ৬

∴ ল.সা.গু = ৯ × ৬ = ৫৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের ল.সা.গু ৫৬০। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৭ক ও ৮ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৫৬ক 

শর্তমতে, 
৫৬ক = ৫৬০ 
বা, ক = ৫৬০/৫৬ 
∴ ক = ১০
সুতরাং ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ এবং ৮ক = ৮ × ১০ = ৮০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৭০ ও ৮০ ।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪১ ও ৬৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
২৭ - ৩ = ২৪
৪১ - ৫ = ৩৬
৬৭ - ৭ = ৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু 
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু = ২ × ২ × ৩
= ১২

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৭, ১১ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৭ ও ১১ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
১৫ - ১১ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭ = ১ × ৭
১১ = ১ × ১১
১৫ = ৩ × ৫

এখন, ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ১ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ১১৫৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১১৫৫ - ৪
= ১১৫১

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৮ - ১৩ = ৫
২৪ - ১৯ = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ কম।

১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২ 

∴ সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে= ৭২ - ৫ = ৬৭

প্রশ্ন: ৪, ৫, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
৪ = ২ × ২
৫ = ৫ × ১
১০ = ২ × ৫
১২ = ৩ × ২ × ২ 
এখন, 
ল.সা.গু নির্ণয়ের সময় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা থেকে তার সর্বোচ্চ ঘাত নেয়া হয়- 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২^২ × ৩ × ৫ = ৬০ 

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু।
১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
১৪৫ = ৫ × ২৯

এখানে সাধারণ উৎপাদক হলো ৫
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫

সুতরাং, সর্বোচ্চ ৫ জন বালককে এই ফলগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ।
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ মিনিট পরপর বাজে। যদি সকাল ১১ : ০০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৭২ মিনিট

৭২ মিনিট = ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট

সুতরাং, পরবর্তীতে একত্রে বাজবে:
১১ : ০০ + ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট = ১২ : ১২ টায়

প্রশ্ন: A = x³ - 3x² - 10x, B = x³ + 6x² + 8x হলে, A ও B এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

∴ A = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x{x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5)

∴ B = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 4x + 2x + 8)
= x{x(x + 4) + 2(x + 4)}
= x(x + 2)(x + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)

প্রশ্ন: কোনো লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮, ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম হবে।
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ = ৭২

∴ সংখ্যাটি = ৭২ - ৩ = ৬৯

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১২ ও ১৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৭ = ৮
২০ - ১২ = ৮
২৫ - ১৭ = ৮
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।

১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু বের করি,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
এখন, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৩০০ - ৮ = ২৯২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
∴ তাদের ল.সা.গু. = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৩০
∴ ক = ৮

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৫ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

∴ ল.সা.গু. =  ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।

সময় = ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট।

∴ ৫ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ =  কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক^২

আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০ক^২ = ১০৮০
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৬ক + ৫ক
= (৬ × ৬) + (৫ × ৬)
= ৩৬ + ৩০
= ৬৬

∴ (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ = (৬৬)^২ = ৪৩৫৬ 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৬ এবং ল.সা.গু. ১০৮। একটি সংখ্যা ৫৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৫৪ × ক = ৬ × ১০৮
⇒ ৫৪ × ক = ৬৪৮
⇒ ক = ৬৪৮/৫৪
∴ ক = ১২

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ১২।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ৮। যদি একটি সংখ্যা অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ক
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক (যেহেতু একটি অপরটির তিন-চতুর্থাংশ)

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪ক × ৩ক = ৯৬ × ৮
⇒ ১২ক^২ = ৭৬৮
⇒ ক^২ = ৭৬৮/১২
⇒ ক^২ = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
∴ ক = ৮

বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ × ৮ = ২৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩২