ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ২০, ৩০ এবং ৪০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
প্রথমেই, ভাজক এবং ভাগশেষের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি,
২০ - ১০ = ১০
৩০ - ২০ = ১০
৪০ - ৩০ = ১০

এখানে, প্রতিটি ক্ষেত্রে পার্থক্য একই (১০)।
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ২০, ৩০ এবং ৪০ এর ল.সা.গু  অপেক্ষা ১০ কম।

২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১২০ - ১০ 
= ১১০

প্রশ্ন: কতজন বালককে 125 টি কমলা লেবু এবং 145 টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান:
এখানে,
125 ও 145 এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

125 ও 145 এর গ.সা.গু = 5

∴ 5 জন বালককে 125 টি আপেল ও 145 টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^২ × ৫^২
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ৯০০/৬০ মিনিট = ১৫ মিনিট।

∴ ১৫ মিনিট পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

∴ ৪ক × ৩ক = ৭২ × ৬
⇒ ১২ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/১২
⇒ ক^২ = ৩৬
∴  ক = ৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক
∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ২৪০
∴ ক = ২০

∴ সংখ্যা দুটি = ৩ × ২০ = ৬০
এবং ৪ × ২০ = ৮০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে 5 ও 240. একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যা = X 
ল.সা.গু × গ.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ 240 × 5 = 15 × X
⇒ X = 80

প্রশ্ন: ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ২, ৪, ৬, ৮, ১০ এবং ১২ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু. হল ১২০।
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১২০ সেকেন্ড বা, ২ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে ৬০/২ + ১ = ৩০ + ১ = ৩১ বার

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ৪৫০ এবং গ. সা. গু. ১৫। সংখ্যা দুটির অনুপাত ৫ : ৬ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = ৬ক, ছোট সংখ্যা = ৫ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল. সা. গু × গ. সা. গু
⇒ ৬ক × ৫ক = ৪৫০ × ১৫
⇒ ৩০ক^২ = ৬৭৫০
⇒ ক^২ = ৬৭৫০/৩০
⇒ ক^২= ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫

∴ ছোট সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ১৫ = ৭৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = ৭ক ও ৯ক
∴ গ.সা.গু = ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটি = ৭ × ৫ = ৩৫ এবং ৯ × ৫ = ৪৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু × গসাগু
∴ ল.সা.গু = (৩৫ × ৪৫)/গ.সা.গু
= (১৫৭৫)/৫
= ৩১৫

∴ ল.সা.গু = ৩১৫

প্রশ্ন: তিনটি মোমবাতি যথাক্রমে ১২, ১৬ এবং ২৪ সেকেন্ড পরপর জ্বালানো হয়। প্রথমবার একসঙ্গে জ্বলার পর, কত মিনিট পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে?

সমাধান: 
১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু হবে ন্যূনতম পরবর্তী একসঙ্গে জ্বলার সময়। 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
= ৪৮

∴ প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮ সেকেন্ড পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮/৬০ = ০.৮ মিনিট  পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজার সময় হবে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু।

৪ = ২^২
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২^২ × ৩ × ৫ = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ড বা ১ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. থেকে ৪ কম।

এখন,
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. = ২× ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪ = ১১৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১৮০

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ১৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/১৮০
∴ গ.সা.গু = ২০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৪০ হলে সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক ও ৫ক।

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৪ × ৫ × ক) = ২০ক।

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/২০
⇒ ক = ৭

সংখ্যা দুটি হলো: (৪ × ৭) = ২৮ এবং (৫ × ৭) = ৩৫

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ২৮ + ৩৫ = ৬৩

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০ 
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন 
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ab এবং গ.সা.গু. cd। একটি সংখ্যা m হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ab এবং গ.সা.গু. = cd
একটি সংখ্যা = m

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.

অপর সংখ্যাটি × m = ab × cd

∴ অপর সংখ্যা = abcd/m

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল,সা, গু 4x² + 12x² - 16x - 48, গ,সা,গু 2x+4। একটি সংখ্যা 4x² + 20x + 24 হলে অপরটি-

সমাধান:

[মূল প্রশ্নে 4x² + 12x² - 16x - 48 অংশটি ভুল দেওয়া আছে, এটি: 4x³ + 12x² - 16x - 48 হবে, তাই ল,সা, গু 4x³ + 12x² - 16x - 48 ধরে সমাধান করা হয়েছে] 

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48
গ,সা,গু = 2x + 4

একটি সংখ্যা = 4x² + 20x + 24
অপর সংখ্যা = ?

আমরা জানি, 
প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু

গ,সা,গু = 2x + 4 = 2(x + 2)

একটি সংখ্যা =  4x² + 20x + 24 
= 4(x² + 5x + 6)
= 4(x + 2)(x + 3)

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48 
= 4(x³ + 3x² - 4x - 12)
= 4[x²(x + 3) - 4(x + 3)]
= 4(x + 3)(x² - 4)
= 4(x + 3)(x - 2)(x + 2)

প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু
দ্বিতীয় সংখ্যা = [4(x + 3)(x - 2)(x + 2) × 2(x + 2)] / [4(x + 2)(x + 3)]
= [8(x + 3)(x - 2)(x + 2)2] / [4(x + 2)(x + 3)]
= 2(x - 2)(x + 2)
= 2(x² - 4)

প্রশ্ন: ৫৫, ৮০ ও ১০০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৫৫ = ৫ × ১১
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১০০ =  ২ × ২ × ৫ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫

প্রশ্ন: ১০/২১, ১৫/২৮ ও ২০/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১০, ১৫ ও ২০ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫
∴ গ.সা.গু. = ৫

হর ২১, ২৮ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
২১ = ৩ × ৭
২৮ = ২^২ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৪ × ৩ × ৫ × ৭ = ৪২০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৫/৪২০ = ১/৮৪

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৭ অংশ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৭ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৭ক/৩) = ৪২০ × ২০
⇒ (৭/৩)ক^২ = ৮৪০০
⇒ ক^২ = ৮৪০০ × (৩/৭)
⇒ ক^২ = ৩৬০০
⇒ ক = √৩৬০০
∴ ক = ৬০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = (৬০ × ৭)/৩ = ৪২০/৩ = ১৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ১৪০

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১৫ = ৩ × ৫ = ৩^১ × ৫^১
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫^১
২৫ = ৫ × ৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫ = ২^১ × ৩^১ × ৫^১

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^১ × ৫^২ = ৩০০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত = ১ (বিজোড়), ৫ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।
সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩০০ × ৩ = ৯০০

∴ সর্বনিম্ন ৯০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: ৩/৫, ৫/৭ এবং ৭/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৩, ৫ ও ৭ এর ল.সা.গু = ১০৫
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব,
৩/৫, ৫/৭ ও ৭/৯ এর ল.সা.গু
= ১০৫/১
= ১০৫

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ এর লসাগু = ৭২

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

১০০০ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৬৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৭২ - ৬৪)
= ১০০০ + ৮ = ১০০৮

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর ল.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: একটি ১২০ ফুট দৈর্ঘ্য ও ৭০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার ঘরের মেঝেকে বর্গাকার টাইলস দিয়ে সম্পূর্ণ ঢেকে দিতে হবে। সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
১২০ ও ৭০ এর গ.সা.গু ই হবে সর্বোচ্চ বর্গাকৃতির টাইলসের সংখ্যা কারণ টাইলসের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এমন সংখ্যা হতে হবে যাতে তা দিয়ে ১২০ এবং ৭০ উভয় সংখ্যাকে ভাগ করা যায়। তাহলে কোন টাইলস কাটতে হবে না।

৭০ = ২ × ৫ × ৭
১২০ =২ × ২× ২ × ৩ × ৫

∴ গসাগু = ২ × ৫ = ১০

∴ সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট ।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ৯ এবং ১৫ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ৯ এবং ১৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ × ৫ 

এখন,ছাত্রদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব হলে মোট ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে। 
∴ লসাগু এর সাথে ২ এবং ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = (২ × ২) × (৩ × ৩) × (৫  ×  ৫) = ৯০০

প্রশ্ন: x³ - 2x², x² - 4, xy - 2y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত? 

সমাধান:
১ম রাশি = x³ - 2x² 
= x²(x - 2)

২য় রাশি = x² - 4
= x² - 2² 
= (x + 2)(x - 2)

৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2)

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৭, ৯ এবং ১১ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ এবং ৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
৯ - ৫ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ৯ ও ১১ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭, ৯, ১১ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১১ = ১১

∴ ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ৭ × ১১
= ৯ × ৭ × ১১
= ৬৯৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৬৯৩ - ৪ = ৬৮৯

প্রশ্ন: ৪৫, ৬০ ও ৭৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭৫ =  ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫

প্রশ্ন: ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (৩, ৯)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
৩ = ৩ × ১
৯ = ৩ × ৩
∴ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩ × ৩ = ৯

হর (১০, ২০)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
∴ হরগুলোর গ.সা.গু = ২ × ৫ = ১০

∴ ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু = ৯/১০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২ক 

শর্তমতে, 
১২ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/১২ 
∴ ক = ১৫ 
সুতরাং, ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫
৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৪৫ ও ৬০ ।