বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে
- দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফল এর গুণিতক জোড় সংখ্যা।
-বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
যেমন: 1 বর্গ = 1² = 1 এবং 3 বর্গ = 3² = 9
- পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২, √৩ যা অমূলদ সংখ্যা।

রোমান সংখ্যার Face Value - I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, এবং M = 1,000
সুতরাং, 
MMMDCCLXXVII = 1000 + 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1
= 3777

৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ ফুট
৬৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ X ৬৪/৪ = ৯৬ ফুট

ধরি, a = 2 ,b = 4(যেহেতু a,b যদি দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা)। তাহলে b²+1 = 4²+1 = 17, যা স্পষ্টত বিজোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ৫। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩ 

প্রশ্নমতে,
ক × (২ক/৩) =  ৩০ × ৫
⇒ ২ক^২ = ৩০ × ৫ × ৩
⇒ ক^২ = ৪৫০/২
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ ক = ১৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৫ 
ছোট সংখ্যাটি = (২ × ১৫)/৩ = ৩০/৩ = ১০ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ১৫ - ১০ = ৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ২৫২০ এবং সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৬৮ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ গ.সা.গু = গুণফল/ল.সা.গু 
= ২৫২০/১৬৮
= ১৫

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংস রানের গড় ৪৫.৫। ১১ তম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে? 

সমাধান: 
১০ ইনিংসের রানের গড় = ৪৫.৫
∴ ১০ ইনিংসের মোট রান = (১০ × ৪৫.৫)
= ৪৫৫ রান

আবার,
১১ ইনিংসের রানের গড় = ৫০.০
∴ ১১ ইনিংসের মোট রান = (১১ × ৫০.০)
= ৫৫০ রান

∴ ১১ তম ইনিংসের রান = (৫৫০ - ৪৫৫)
= ৯৫ রান ।

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^{৭ × ২})
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

সংখ্যাটি = (৩১ + ৫৫) / ২ = ৪৩

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ ও ৫৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ভাগশেষ ১০ (দশ) যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২^৪
২৪ = ২^৩ × ৩
৩৬ = ২^২ × ৩^২
৫৪ = ২ × ৩^৩

ল.সা.গু. = ২^৪ × ৩^৩
= ৪৩২

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু. + ভাগশেষ
= ৪৩২ + ১০
= ৪৪২

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

​৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭
১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

ধরি,
গ.সা.গু. a
∴ ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × a
= ১৮১৫
∴ a = ১২১

প্রশ্ন: যদি P একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে (5P + 6) থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং (3P + 13) থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?
সমাধান:
5P + 6 এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা = 5P + 6 + 2 = 5P + 8
 3P + 13 এর চেয়ে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যা = 3P + 13 -1 = 3P + 12

∴ পার্থক্য = 5P + 8 - (3P + 12)
= 5P + 8 - 3P - 12
= 2P - 4

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩২ থেকে যত বেশি ৭৮ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩২ = ৭৮ - x
বা, x + x = ৩২ + ৭৮
বা, ২x = ১১০
বা, x = ১১০/২
∴ x = ৫৫

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার সাতগুণের সাথে সেই সংখ্যার চারগুণ যোগ করলে ২৭৫ হয়। সংখ্যাটি কত?
 
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা ক 

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ৪ক = ২৭৫
⇒ ১১ক = ২৭৫
⇒ ক = ২৭৫/১১ 
∴ ক = ২৫ 

সুতরাং, সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 3 এবং ল.সা.গু. 11880। একটি সংখ্যা 120 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, 120 × অপর সংখ্যা = 35640
বা, অপর সংখ্যা = 35640 ÷ 120 = 297

∴ অপর সংখ্যা = 297

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ 0, 1, 2, -1, -2, √2, √5, 22/7

অপশন ক, খ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (গ) এর √-৩৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ,
√-৩৬ = √(-১ × ৩৬) = √-১ × √৩৬ = i × ৬ = ৬i, বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

সংখ্যার 1ম অংকটি 4 দিয়ে পূর্ন করতে হবে। অবশিষ্ট 3 টি অংক দিয়ে পূর্ন করা যায় = 3! = 6 উপায়ে
∴ গঠিত সংখ্যা = 1 × 6 = 6 উপায়ে

এখানে, (৩+৭+১০) = ২০
∴ ১ম টুকরোটির দৈর্ঘ্য = ৬০ × ৩/২০ = ৯ মিটার
   ২য় 〃 〃 = ৬০ × ৭/২০ = ২১ মিটার
   ৩য় 〃 〃 = ৬০ × ১০/২০ = ৩০ মিটার

প্রশ্ন: ১৭৬ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
১৭৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ১১
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ১১

এখানে, ১১ জোড়া বিহীন
∴ ১১ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (ক/৩) = ৪(৯৫ - ক) - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩৮০ - ৪ক - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩১০ - ৪ক
⇒ ১০৫ - ক = ৩(৩১০ - ৪ক)
⇒ ১০৫ - ক = ৯৩০ - ১২ক
⇒ ১২ক - ক = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১ক = ৮২৫
⇒ ক = ৮২৫/১১
∴ ক = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক হলো ভাগফলের দশগুণ এবং ভাগশেষের পাঁচগুণ। যদি ভাগশেষ ৪৬ হয়, তবে ভাজ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভাগশেষ = ৪৬
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ

∴ ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ
= ৪৬ × ৫
= ২৩০

আবার, 
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
⇒ ২৩০ = ভাগফল × ১০
∴ ভাগফল = ২৩০/১০
= ২৩

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৩০ × ২৩) + ৪৬
= ৫২৯০ + ৪৬
= ৫৩৩৬

∴ ভাজ্য = ৫৩৩৬

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 265 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যা = x
তাহলে বড় সংখ্যা = x + 1

প্রশ্ন অনুযায়ী,
x² + (x + 1)² = 265
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x - 264 = 0
⇒ x² + x - 132 = 0
⇒ x² + 12x - 11x - 132 = 0
⇒ x(x + 12) - 11(x + 12) = 0
⇒ (x - 11)(x + 12) = 0
হয়, 
x - 11 = 0
∴ x = 11
অথবা, 
x + 12 = 0
∴ x = - 12 ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 

সুতরাং, ছোট সংখ্যা = 11
এবং বড় সংখ্যা = 11 + 1 = 12

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
0.25, √36, √50, (√81)/9.

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q​ আকারে লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: 1/2, 3, 0.25, √36, (√81)/9.

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q আকারে লেখা যায় না এবং যাদের দশমিকের পর অসীম সংখ্যক অঙ্ক থাকে এবং কোনো অঙ্ক বা অঙ্কসমষ্টির পুনরাবৃত্তি ঘটে না সেগুলোকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: √2, √3, √50, π.

এখানে,
0.25 = 25/100 = 1/4, যা একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা।
√36 = √(6²) = 6, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2, যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না।
এবং,
(√81)/9 = √(9²)/9 = 9/9 = 1, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ 0.25, √36, (√81)/9 মূলদ সংখ্যা এবং √50 অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২, ১৮ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২ এবং ৩ সাধারণ গুণনীয়ক

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

প্রশ্ন: ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৫ টি ২ টাকার নোট = ৫ × ২ = ১০ টাকা
১০ টি ৩ টাকার নোট = ১০ × ৩ = ৩০ টাকা

 ∴ মোট টাকা = ১০ + ৩০ = ৪০ টাকা

আবার,
১০ টি ১০ টাকার নোট = ১০ × ১০ = ১০০ টাকা

∴ (৫ টি ২ টাকার নোট + ১০ টি ৩ টাকার নোট)/১০ টি ১০ টাকার নোট
= ৪০/১০০
= ২/৫ অংশ

∴ ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের ২/৫ অংশ।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(x/২) + ৬ = ২x/৩
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬
বা, x/৬ = ৬
∴ x = ৩৬

∴ সংখ্যাটি = ৩৬।

প্রশ্ন: ৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা। ৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা। ২৪টি আপেল এবং ২৪টি আমের মোট মূল্য কত?

সমাধান:
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের মোট মূল্য (৪০ × ৯) = ৩৬০ টাকা

আবার,
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের মোট মূল্য (৫০ × ১৫) = ৭৫০ টাকা

∴ (৫ + ৭) বা ১২ টি আপেল ও (৪ + ৮) বা ১২ টি আমের মোট মূল্য = (৩৬০ + ৭৫০) = ১১১০ টাকা

তাহলে, (১২ × ২) বা ২৪ টি আপেল ও (১২ × ২) বা ২৪ টি আমের মোট মূল্য = (১১১০ × ২) বা ২২২০ টাকা

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ১০০
বা, ৫ক = ১০০
বা, ক = ২০

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৫/১৩) = ৮/১৩ অংশ

এখন,
৮/১৩ অংশ = ৯৬ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = ৯৬ × (১৩/৮) = ১৫৬ পৃষ্ঠা