বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

৯৫/৩৭ এর দশমিক ভগ্নাংশ = ২.৫৬৭৫৬৭...... = ২.৫৬৭ [পৌনঃপুনিক হবে]

√৭২ = √২×৩৬ = ৬√২ যা p/q আকারে লেখা যায় না।

১৬ জাতের ১/৪ অংশ = ৪ জাত। অবশিষ্ট থাকে (১৬-৪) = ১২
∴ মোট গাছের সংখ্যা (৪×৫ + ১২×৪) = ৬৮ টি।

মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, ক × ৪ + ১ = ক × ৩ + ৫
বা, ৪ক + ১ = ৩ক + ৫
বা, ৪ক - ৩ক = ৫ - ১
বা, ক = ৪
∴ সংখ্যাটি = ৪

2, 3 এবং 4 দ্বারা গঠিত তিন অংকের জোড় সংখ্যার শেষ অংকটি হবে 4 অথবা 2
সংখ্যাগুলো হবে - 234, 324, 342, 432

১০ সে., ১৫ সে., ২০ সে. এবং ২৫ সে. এর ল.সা.গু. = ৩০০ সেকেন্ড = ৫ মিনিট
সুতরাং, ৫ মিনিট পরে একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। যেমন: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6 ,1/2 ইত্যাদি।

• অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন: √2 = 1.414213......, √3 = 1.732....., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক। ∴অমূলদ সংখ্যা।

খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক। ∴ অমূলদ সংখ্যা

গ) 1/√3 ; হরে মূলদ রাশি আছে। ∴ অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √3/√108 = √3/√(36×3)
= √3/(6√3)
= 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩ ও ২৯।
সংখ্যা গুলোর যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ + ১৩ + ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯
= ৫২

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার (৩/৮) অংশ ৭২ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৭২
বা, ৩ক/৮ = ৭২
বা, ৩ক = ৭২ × ৮
বা, ক = (৭২ × ৮)/৩
∴ ক = ১৯২

Question: When 18 is subtracted from 6 times a number, the result becomes 12 more than three times the same number.

Solution:
The equation:
6x - 18 = 3x + 12
⇒ 3x - 18 = 12
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30/3
x = 10

∴ The number is 10

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

∴ ৪ক × ৩ক = ৭২ × ৬
⇒ ১২ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/১২
⇒ ক^২ = ৩৬
∴  ক = ৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ৯০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ৯০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ৯০/৩ = ৩০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৩০/২ = ১৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (৯০ × ৩০) + ১৫
= ২৭০০ + ১৫ 
= ২৭১৫ 

প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি বালতির ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১২ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ৭ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ১২ - ৭ 
বা, y - y/২ = ৫
বা, y/২ = ৫
বা, y = ১০ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে.
x + ১০ = ১২
বা, x = ২ কেজি

সুতরাং, খালি বালতির ওজন = ২ কেজি

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪, ৬ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৪, ৬ ও ১২ এর ল.সা.গু = ১২

এখন,
১০০০ ÷ ১২ ⇒
ভাগফল = ৮৩
 ভাগশেষ = ৪

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৪

প্রশ্ন: নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
৫/৬, ৭/৯, ৮/১১, ৯/১০

সমাধান:
প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে রূপান্তর করি-
৫/৬ = ০.৮৩৩
৭/৯ ≈ ০.৭৭৭
৮/১১ ≈ ০.৭২৭
৯/১০ = ০.৯০০

তুলনা:
০.৮৩৩, ০.৭৭৭, ০.৭২৭, ০.৯০০

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৯/১০ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে, 
১২৯ -এ ১ + ২ + ৯ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৪৪ -এ ১ + ৪ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৩২৭ -এ ৩ + ২ + ৭ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৫৮ -এ ১ + ৫ + ৮ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ১৫৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ধরি, গ.সা.গু = x
অতএব সংখ্যা দুটি = ৫x, ৬x
আমরা জানি, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০
প্রশ্নমতে, ৩০x = ১২০
অতএব x = ৪

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৩/১০) = ৭/১০ অংশ

প্রশ্নমতে,
৭/১০ অংশ = ৮৪ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = (৮৪ × ১০)/৭ = ১২০ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: 2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ,
(১) 2x + y = 7
(২) 2x - y = 13

দুটি সমীকরণ যোগ করলে:
(2x + y) + (2x - y) = 7 + 13
⇒ 4x = 20
⇒ x = 20/4
x = 5

এবার x = 5 মানটি (১) নম্বর সমীকরণে বসাই:
⇒ 2(5) + y = 7
⇒ 10 + y = 7
⇒ y = 7 - 10
y = - 3

∴ x = 5 এবং y = - 3

১০০ = ৪×২৫ = ২^২×৫^২
∴ ১০০ এর ভাজক সংখ্যা = (২+১)(২+১) = ৩×৩ = ৯

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক
∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ২৪০
∴ ক = ২০

∴ সংখ্যা দুটি = ৩ × ২০ = ৬০
এবং ৪ × ২০ = ৮০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৮ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯
এবং, একটি সংখ্যা ৩৮

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৮  × অপর সংখ্যা = ১১৪ × ১৯ 
⇒ অপর সংখ্যা = (১১৪ × ১৯)/৩৮ 
∴ অপর সংখ্যা =  ৫৭

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৫৭। 

মনে করি, সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর ৬০/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ২০০

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ভগ্নাংশটি = x/y  ; [যেখানে x = লব, y = হর]

দেওয়া শর্ত দুটি, লবের সাথে ৫ যোগ করলে মান ৩ হয়
⇒ (x + ৫)/y = ৩
⇒ x + ৫ = ৩y
∴ x = ৩y - ৫ ……… (১)

এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে মান ৪ হয়
⇒ x/(y - ৪) = ৪
⇒ x = ৪(y - ৪)  
⇒ ৩y - ৫ = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪y - ১৬ 
⇒ ৪y - ৩y = ১৬ - ৫ 
∴ y = ১১

(১) নং হতে পাই, 
⇒ x = ৩y - ৫
⇒ x = ৩৩ - ৫ 
∴ x = ২৮ 

সুতরাং ভগ্নাংশটি = ২৮/১১

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১২ বছর

∴ ২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৫ × ১২) বছর
= ৩০০ বছর

শিক্ষকসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ২৫ জন ছাত্র + ১ জন শিক্ষক
= ২৬ জন

শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় = ১৩ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২৬ জনের মোট বয়স = (২৬ × ১৩) বছর
= ৩৩৮ বছর

∴  শিক্ষকের বয়স = (শিক্ষকসহ মোট বয়স) - (২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স)
= (৩৩৮ - ৩০০) বছর
= ৩৮ বছর।

x³ + x²y = x²(x + y)
x²y + xy² = xy(x + y)

∴ রাশিদ্বয়ের লসাগু = x²y(x + y)

প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?

সমাধান:
প্রথমে ৯৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 
= ২^৫ × ৩^১ 

এখন, ৯৬ ভাজক আছে = (৫ + ১) × (১ + ১) 
= ৬ × ২ 
= ১২ 

সুতরাং, ৯৬ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে 5 ও 240. একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যা = X 
ল.সা.গু × গ.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ 240 × 5 = 15 × X
⇒ X = 80

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশী, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক/২ = ক/৩ + ১৭
বা, ক/২ - ক/৩ = ১৭
বা, (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
বা, ক/৬ = ১৭
বা, ক = ১৭ × ৬
বা, ক = ১০২

সুতরাং, সংখ্যাটি = ১০২

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ২ মিটার পানির উপরে আছে।  সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পানিতে ও মাটিতে আছে= {(ক/৫) + (২ক/৩)} অংশ
= {(৩ক + ১০ক)/১৫} অংশ
= ১৩ক/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/১৫)
= (১৫ক - ১৩ক)/১৫ অংশ
= ২ক/১৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/১৫ = ২ মিটার
বা, ২ক = ২ × ১৫
বা, ২ক = ৩০
বা, ক = ৩০/২
বা, ক = ১৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৫০ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬০। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০

এখন,
প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫০ = ২৫০ 
শেষ ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ৬০ = ৩৬০ 

প্রশ্নমতে,
মোট ১২টির যোগফল = প্রথম ৫টি + ষষ্ঠ + শেষ ৬টি
⇒ ৭২০ = ২৫০ + ষষ্ঠ + ৩৬০ 
⇒ ষষ্ঠ = ৭২০ - ৬১০ 
∴ ষষ্ঠ = ১১০ 

প্রশ্ন: এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি
i. এর বৈশিষ্ট্য দশ গুণোত্তর
ii. অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম চালু হয়
iii. বাংলাদেশে ১ লা জুলাই ১৯৮১ সালে চালু হয়
নিচের কোন উত্তরটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন দেশে পরিমাপের জন্য বিভিন্ন পরিমাপ পদ্ধতি প্রচলিত থাকায় আন্তর্জাতিক ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানে অসুবিধা হয়। তাই ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানের ক্ষেত্রে পরিমাপ করার জন্য আন্তর্জাতিক রীতি তথা মেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহৃত হয় ।

এ পরিমাপের বৈশিষ্ট্য হলো:
- এটা দশগুণোত্তর । দশমিক ভগ্নাংশের দ্বারা এ পদ্ধতিতে পরিমাপ সহজে প্রকাশ করা যায়।
- অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম এ পদ্ধতির প্রবর্তন করা হয়।
- বাংলাদেশে ১লা জুলাই, ১৯৮২ সাল থেকে এ মেট্রিক পদ্ধতি চালু করা হয়।
এখন দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ওজন ও তরল পদার্থের আয়তন প্রতিটি পরিমাপেই এ পদ্ধতি পুরোপুরি প্রচলিত রয়েছে ।

উৎস: গণিত, অষ্টম শ্রেণি।