বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: যদি কবির এর ওজন 10 পাউন্ড কমে, তাহলে কবির এর ওজন তার বোনের ওজনের দ্বিগুণ হবে। এখন তাদের উভয়ের ওজন 280 পাউন্ড হলে বর্তমানে কবির এর ওজন কত?

সমাধান: 
ধরি,
কবিরের বর্তমান ওজন = k পাউন্ড
তার বোনের বর্তমান ওজন = s পাউন্ড

প্রশ্নমতে,
k - 10 = 2s 
k = 2s + 10 ........(1)

আবার, তাদের  বর্তমানে মোট ওজন,
k + s = 280
⇒ 2s + 10 + s = 280
⇒ 3s = 280 - 10
⇒ 3s = 270
⇒ s = 270/3
∴ s = 90

∴ কবিরের বর্তমান ওজন, k = 2s + 10 = 2 × 90 + 10 = 180 + 10 = 190 পাউন্ড

অতএব, কবিরের বর্তমান ওজন = 190 পাউন্ড।

বড় সংখ্যাটি, (৭৯ + ১) / ২ = ৪০

প্রশ্ন: ৫০০ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

সমাধান:
• মৌলিক সংখ্যা (Prime Number):
- যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা ১ ও নিজ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
- উদাহরণ: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি।

এখানে,
৫০১ = ৩ × ১৬৭ ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা নয়।
৫০৩ ⇒ ১ ও ৫০৩ ছাড়া অন্য কোনো ভাজক নেই ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা।
৫০৭ = ৩ × ১৬৯ ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা নয়।
৫০৯ ⇒ ১ ও ৫০৯ ছাড়া অন্য কোনো ভাজক নেই ; সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা।
কিন্তু ৫০৩-এর চেয়ে বড়।

অতএব, ৫০০ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো ৫০৩।

০.৩
১/৩ = ০.৩৩
২/৩ = ০.৬৭
২/৫ = ০.৪০

প্রশ্ন: দুটি দড়ির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭২ মিটার এবং ৪০ মিটার। দড়ি দুটিকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হলে প্রতিটি টুকরোর দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ কত হতে হবে যাতে কোনো দড়ি অবশিষ্ট না থাকে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি দড়ির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭২ মিটার এবং ৪০ মিটার।

দড়ি দুটিকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হলে প্রতিটি টুকরোর সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য হবে ৭২ ও ৪০ এর গ. সা. গু এর সমান।

৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ = ৮

সুতরাং, প্রতিটি টুকরোর সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হতে পারবে।

প্রশ্ন: ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ২, ৪, ৬, ৮, ১০ এবং ১২ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু. হল ১২০।
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১২০ সেকেন্ড বা, ২ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে ৬০/২ + ১ = ৩০ + ১ = ৩১ বার

২, ৩, ৪ এবং ৫ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০ - ৩৯) = ২১

সরল করুন: ৩ + {(১৪ - ১০) × (২০ - ১৫) + ৩০} ÷ ২৫ - ৪

সমাধান:
৩ + {(১৪ - ১০) × (২০ - ১৫) + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + {৪ × ৫ + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + {২০ + ৩০} ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + ৫০ ÷ ২৫ - ৪
= ৩ + ২ - ৪
= ৫ - ৪
= ১

এখানে,
১৮/৩৬ = ০.৫
৫/৩ = ১.৬৬৭
১৬/৩১ = ০.৫১৬
৮/১২ = ০.৩৩৩
উত্তরঃ ঘ।

প্রশ্ন: ৫৪০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৫৪০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^২ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৫ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার দুই-পঞ্চমাংশ এবং এক-দশমাংশের পার্থক্য ৪.৫ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) - (ক/১০) = ৪.৫
⇒ (৪ক - ক)/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক/১০ = ৪.৫
⇒ ৩ক = ৪.৫ × ১০
⇒ ৩ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/৩
⇒ ক = ১৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ১৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ৪৫০ এবং গ. সা. গু. ১৫। সংখ্যা দুটির অনুপাত ৫ : ৬ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = ৬ক, ছোট সংখ্যা = ৫ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল. সা. গু × গ. সা. গু
⇒ ৬ক × ৫ক = ৪৫০ × ১৫
⇒ ৩০ক^২ = ৬৭৫০
⇒ ক^২ = ৬৭৫০/৩০
⇒ ক^২= ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫

∴ ছোট সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ১৫ = ৭৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = ৭ক ও ৯ক
∴ গ.সা.গু = ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটি = ৭ × ৫ = ৩৫ এবং ৯ × ৫ = ৪৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু × গসাগু
∴ ল.সা.গু = (৩৫ × ৪৫)/গ.সা.গু
= (১৫৭৫)/৫
= ৩১৫

∴ ল.সা.গু = ৩১৫

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় ৪৫.৫ কেজি। ১৩তম একজন ছাত্রের ওজন কত হলে সবার ওজনের গড় ৪৭.২ কেজি হবে?

সমাধান:
 ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৫.৫ কেজি
∴ ১২ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৫.৫ × ১২) কেজি 
= ৫৪৬ কেজি

আবার,
১৩ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৭.২ কেজি
১৩ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৭.২ × ১৩) কেজি
= ৬১৩.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন = (৬১৩.৬ - ৫৪৬) কেজি
= ৬৭.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন ৬৭.৬ কেজি।

ধরি,
সংখ্যাটি x

তাহলে প্রশ্নমতে,
4x + 12 = 8
x = -1

তাহলে,
2x + 7
= 5

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো দেখি:
ক) ৩/৫ = ০.৬
খ) ৭/১১ ≈ ০.৬৩৬
গ) ৪/৭ ≈ ০.৫৭১
ঘ) ৯/১৬ = ০.৫৬২৫

এখানে ০.৬৩৬ সংখ্যাটি ০.৬২৫ এর চেয়ে বড়।

∴ ৭/১১ ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়।

৩ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০
৫ ও ৭ এর লসাগু = ৩৫

১০০ কে ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ২ এবং ভাগশেষ থাকে ৩০

৩ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০ এর সাথে ৩৫ - ৩০ = ৫ যোগ করলে তা ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে। 

আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু×গসাগু
∴ ১৬৬৬ = ৯৮ × গসাগু
⇒ গসাগু = ১৬৬৬/৯৮ = ১৭

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০ সংখ্যাটিকে প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

এখানে মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক বা ঘাত হলো:
২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ১

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

∴ ৩৬০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৪

প্রদত্ত অপশনগুলোতে ৮৮ সংখ্যাটির সর্বাধিক ভাজক আছে।
৮৮ সংখ্যাটির ভাজক গুলো হলো: ১, ২, ৪, ৮, ১১, ২২, ৪৪ ও ৮৮।
অর্থাৎ মোট ৮টি ভাজক আছে।

Let the numbers be 13x and 15x
Then, their LCM = 195x
So, 195x = 39780
x = 204
∴ The numbers are 2652 and 3060

প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৪০, ১৫টি সংখ্যার গড় ৩০ এবং ২০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৫০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১৫টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৪০ = ৬০০

১৫টি সংখ্যার গড় ৩০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৩০ = ৪৫০

২০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ২০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৫০ = ১০০০

∴ ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬০০ + ৪৫০ + ১০০০) = ২০৫০
∴ ৫০টি সংখ্যার গড় = ২০৫০ ÷ ৫০ = ৪১

প্রশ্ন: তিনটি মোমবাতি যথাক্রমে ১২, ১৬ এবং ২৪ সেকেন্ড পরপর জ্বালানো হয়। প্রথমবার একসঙ্গে জ্বলার পর, কত মিনিট পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে?

সমাধান: 
১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু হবে ন্যূনতম পরবর্তী একসঙ্গে জ্বলার সময়। 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
= ৪৮

∴ প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮ সেকেন্ড পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮/৬০ = ০.৮ মিনিট  পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজার সময় হবে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু।

৪ = ২^২
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২^২ × ৩ × ৫ = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ড বা ১ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

We, know that
(a × b) = (HCF and LCM)
396 × 576 = HCF × 6336
HCF = 36

x + y = 18 এবং z = 12
∴ x, y এবং z এর মানের গড় = 30/3
= 10

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. থেকে ৪ কম।

এখন,
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু. = ২× ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪ = ১১৬

৬/১১ = ০.৫৪
৪/৭ = ০.৫৭
৩/৫ = ০.৬০
৫/৮ = ০.৬২
সুতরাং ৫/৮ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: ৪৫ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ এর গুণিতক সংখ্যা মোট কতটি?

সমাধান:
৪৫ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ এর গুণিতকগুলো হলো,
৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২, ৭৬, ৮০, ৮৪, ৮৮, ৯২, ৯৬, ১০০

∴ সংখ্যা মোট ১৪ টি। 

প্রশ্ন: বৃহত্তম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ক) ০.৮৫ = ০.৮৫

খ) ৫/৬ = ০.৮৩

গ) ৮/৯ = ০.৮৮ 

ঘ) ৪/৫ = ০.৮০

তুলনা করে পাই, ০.৮০ < ০.৮৩ < ০.৮৫ < ০.৮৮ 

সুতরাং সবচেয়ে বড় ৮/৯

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২০, ২৫, ৩০ ও ৪০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫

∴ ল.সা.গু. =  ২^৩ × ৩ × ৫^২ = ৬০০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।

সময় = ৬০০/৬০ মিনিট
= ১০ মিনিট।

∴ ১০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

০.২ × ০.০৩ × ০.০০৪
= ২/১০ × ৩/১০০ × ৪/১০০০
= ২৪/১০০০০০০
= ০.০০০০২৪

 প্রশ্ন: a = 9 এবং b ও c এর মানের গড় 18 হলে ‍a, b এবং c এর গড় মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 9
b ও c এর মানের গড় = 18
b ও c এর মানের সমষ্টি = (18 × 2)= 36

∴ a, b এবং c এর মানের গড় = (36 + 9)/3
= 45/3
= 15