বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
মনে করি, 
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে

∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ

∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ

প্রশ্ন: ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

প্রশ্ন: কতজন বালককে 125 টি কমলা লেবু এবং 145 টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান:
এখানে,
125 ও 145 এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

125 ও 145 এর গ.সা.গু = 5

∴ 5 জন বালককে 125 টি আপেল ও 145 টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

অর্থাৎ, সংখ্যাটির (১০০ - ৪০)% = ৬০% = ৪৫
∴  সংখ্যাটি, ১০০% = (৪৫/৬০%) × ১০০% = ৭৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২০টি লাল মার্বেল এবং ১৬৮টি সবুজ মার্বেল আছে। কোনো মার্বেল না ভেঙে সর্বাধিক কতগুলি প্যাকেটে এমনভাবে রাখা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও সবুজ মার্বেল থাকে?

সমাধান: 
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ 
১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭ 

∴ ১২০ ও ১৬৮ এর গ.সা.গু = ২৪ 

∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ২৪টি প্যাকেটে রাখা যাবে।

প্রশ্নঃ একটি কেক এর ৩/৪ অংশ একজন ছেলে আর ১/৪ অংশ একজন মেয়ে খায়। যদি মেয়েটি ৩০ গ্রাম খায়, কেকের মোট ওজন কত?

সমাধানঃ 
মেয়ের অংশ = ১/৪, 
খাওয়া = ৩০ গ্রাম
১/৪ অংশ কেক = ৩০ গ্রাম
১ অংশ কেক = ৩০ × ৪ গ্রাম = ১২০ গ্রাম

∴ কেকের মোট ওজন ১২০ গ্রাম

প্রশ্ন: প্রথম ৫টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখার যোগফল নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রথম ৫টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলো:
১, ৩, ৫, ৭, ৯

এগুলোর যোগফল:
১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৫
২৫ = ৫ × ৫

∴ ৫ × ৫ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
১.৮ = ১৮/১০ = ৯/৫ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.০৫ = ১০৫/১০০ = ২১/২০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.৯ = ১৯/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
০.০৮ = ৮/১০০ = ২/২৫ [প্রকৃত ভগ্নাংশ]

∴ প্রকৃত ভগ্নাংশ = ২/২৫

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ এর গ.সা.গু.।

ভগ্নাংশগুলোর লব ৭, ৫, ৮৩ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর ২৪, ৩২, ১৬ এর ল.সা.গু. = ৯৬

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/৯৬

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১/৯৬।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০। প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ১২ × ১৮০ 
= ২১৬০

এখন, 
প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ২০ × ৩ = ৬০ 

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক 
সুতরাং, ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০ 
∴ ক = ৩৬ 

সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যা ৩৬ 

পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২৪ × ৩ = ৭২ বছর।
৩ বছর পূর্বে দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ১৫ × ২ = ৩০ বছর।
দুই পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০ + (৩+৩) = ৩৬ বছর।
সুতরাং পিতার বর্তমান বয়স = (৭২ - ৩৬) = ৩৬ বছর।

প্রশ্ন: রমজান আলীর গত তিন বছরের গড় আয় ১১০০০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের ১.৫ গুণ আয় এবং তৃতীয় বছরে দ্বিতীয় বছরের ২ গুণ আয়। দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বছরের আয় = ক  টাকা।
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ক টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ২ × ১.৫ক = ৩ক টাকা।

∴ তিন বছরের মোট আয় = ক + ১.৫ক + ৩ক = ৫.৫ক  টাকা।

প্রশ্নমতে, 
৫.৫ক/৩ = ১১০০০০
⇒ ক = (১১০০০০ × ৩)/৫.৫
∴ ক = ৬০০০০ টাকা 

এখন, 
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ × ৬০০০০ = ৯০০০০ টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ৩ × ৬০০০০ = ১৮০০০০ টাকা।

∴  দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় = (৯০০০০ + ১৮০০০০)/২ = ২৭০০০০/২ = ১৩৫০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ১০ হতে ৪০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যেসব সংখ্যা কেবলমাত্র ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি । ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

১০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো:
১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৮টি

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৪/৯ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্ট সম্পত্তির ৩/৮ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৪)/৯
= (৯ - ৪)/৯
= ৫/৯ অংশ

৫/৯ এর ৩/৮ অংশ = ১৫/৭২ অংশ

প্রশ্নমতে,
(৫/৯) - (১৫/৭২) অংশ = ২০০০
(৪০/৭২ - ১৫/৭২) অংশ = ২০০০
২৫/৭২ অংশ = ২০০০

∴ ১ অংশ বা, মোট সম্পত্তি = (২০০০ × ৭২)/২৫
= ৫৭৬০ টাকা

০.১ × ১/২
= ১/১০ × ১/২
= ১/২০
= ০.০৫

প্রশ্ন: ২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম।

প্রশ্নমতে,
২০ = a - ৫
∴ a = ২০ + ৫

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x+6 = 2x - 21
∴ x = 27

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 17। যদি লবের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
 ভগ্নাংশটি = a/b​ (যেখানে a = লব, b = হর, এবং a ও b পূর্ণসংখ্যা, b ≠ 0)

শর্তমতে, 
a + b = 17 
⇒ b = 17 - a .......(1)
আবার,
লবের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, অর্থাৎ
(a + 3)/b = 1
⇒ a + 3 = b
⇒ a + 3 = 17 - a   ; [(1) নং হতে]
⇒ 2a = 17 - 3
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

a এর মান (1) নং হতে পাই, 
b = 17 - a = 17 - 7 = 10
∴ b = 10

∴ ভগ্নাংশটি = 7/10

প্রশ্ন: ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সারিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গকারে সাজানো যায়?

সমাধান: 
মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূল:
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।

সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে। 

সংখ্যা তিনটির গড় হবে মধ্যবর্তী সংখ্যার মান।
∴ মধ্যবর্তী সংখ্যা = ৫৭/৩ = ১৯
তাহলে, পরবর্তী তথা ৩য় সংখ্যা = ১৯ + ২ = ২১

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় 7a, 5a
∴ ল.সা.গু. = 35a
= 175
বা, a = 5
∴ 7a, 5a এর গ.সা.গু. a = 5

প্রশ্ন: চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^২ × ৫^২
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ৯০০/৬০ মিনিট = ১৫ মিনিট।

∴ ১৫ মিনিট পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

সরল করুন: ৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩

সমাধান:
৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [{৫ + ৩} × {৫ × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × {১০ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × ৫ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৪০ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + ৩৯ ÷ ১৩
= ৭ + ৩
= ১০

মনে করি,
১ম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং,
২য় সংখ্যাটি = ক + ১ ৩য় সংখ্যাটি
= ক + ২
৪র্থ সংখ্যাটি = ক + ৩
এবং ৫ম সংখ্যাটি = ক + ৪
শর্তমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ + ক + ৩ + ক + ৪ = ৩৬০
বা, ৫ক = ৩৬০ - ১০
বা, ক = ৩৫০/৫
বা, ক = ৭০
অতএব,
বড় সংখ্যাটি = ক + ৪ = ৭০ + ৪
= ৭৪

সঠিক উত্তরঃ খ) ৯
খ) ৯^২ - √৯ = ৮১ - ৩ = ৭৮

অন্যান্য অপশনঃ
ক) ৬^২ - √৬ ≠ ৭৮
গ) ১২^২ - √১২ ≠ ৭৮
ঘ) ৮৮^২ - √৮৮ ≠ ৭৮

১০২ এবং ১৮৬ কে নির্ণেয় সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে।
সুতরাং ১০২ - ৬ = ৯৬ এবং ১৮৬ - ৬ = ১৮০ কে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকবে না।
অর্থাৎ বৃহত্তম সংখ্যা এমন নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা ৯৬ এবং ১৮০ নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯৬ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু = ১২।

প্রশ্ন: কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ টাকা = ১০০ পয়সা
সুতরাং, 
৩.২৫ টাকা = ৩২৫ পয়সা
৪.৭৫ টাকা = ৪৭৫ পয়সা
১১.৫০ টাকা = ১১৫০ পয়সা

এখন,
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ
৩২৫ = ৫ × ৫ × ১৩
৪৭৫ = ৫ × ৫ × ১৯
১১৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ২৩

∴ ৩২৫, ৪৭৫ ও ১১৫০ এর গ.সা.গু = ২৫

অতএব, সবচেয়ে বড় ২৫ পয়সার মুদ্রার প্রয়োজন।