বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

২/৩ = ০.৬৭
৩/৫ = ০.৬
৮/১১ = ০.৭৩
১৭/২৭ = ০.৬৩

৩/৫ = ০.৬
৫/৮ = ০.৬২৫
৪/৭ = ০.৫৭
৭/৯ = ০.৭৭
সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যাটি ৭/৯।

১০ ব্যবধানে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর ক্রম ৪, ৪, ২, ২, ৩, ২, ২, ৩, ২, ১
তাই ২৭ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল 
= ১ + ২ + ৩ + ২ + ২ + ৩ + ২ + ১ 
= ১৬

কারণ, ২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৩ ও ২৯। কিন্তু নিতে হবে ১ টি (২৯)। 
২৩ বাদ যাবে।

মৌলিক সংখ্যাগুলো হচ্ছে ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭ 

প্রশ্ন:

সমাধান:

পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ৩০ × ৩ = ৯০ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ২৫ × ২ = ৫০ বছর
∴ পিতার বয়স = ৯০ - ৫০ = ৪০ বছর 

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে তুলনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা।
 ২/৫ = ০.৪
 ১/২ = ০.৫
 ৪/৫ = ০.৮
 ৪/৯ = ০.৪৪...

দশমিক মানগুলো তুলনা করলে আমরা দেখতে পাই যে ০.৮ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, ৪/৫ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ১২ এবং তাদের ল.সা.গু ৩০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১২ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৫ × ১২)ক = ৬০ক

প্রশ্নমতে,
৬০ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৬০
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ × ক = ১২ × ৫ = ৬০

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৪৮ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে, প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা × তৃতীয় সংখ্যা = ৮৪
দেখা যাচ্ছে যে, 'দ্বিতীয় সংখ্যা' উভয় গুণফলের মধ্যেই সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বিদ্যমান।

∴ ২য় সংখ্যাটি হবে ৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু

৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু বের করি:

৪৮ = ২^৪ × ৩
৮৪ = ২^২ × ৩ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২^২ × ৩ = ১২
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: ২৩৪ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৮, ১২ এবং ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ২৩৪ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৮, ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু বের করে ২৩৪ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৮, ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ৭২

২৩৪ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে,
৭২ × ৩ = ২১৬
অবশিষ্ট = ২৩৪ - ২১৬ = ১৮

যেহেতু ৭২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৭২ - ১৮ = ৫৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৫৪ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৬ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৩০ × ক = ১৮০ × ৬
⇒ ক = (১৮০ × ৬) / ৩০
⇒ ক = ৬ × ৬
⇒ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

২টি সংখ্যার গুন ফল = ল.সা.গু.×গ.সা.গু.
ল.সা.গু. = ২টি সংখ্যার গুনফল ÷ গ.সা.গু.
∴লসাগু = ৮৮৪০/২০ = ৪৪২

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৭০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ২ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ক 

∴ ২ক ও ৫ক এর ল.সা.গু = ১০ক

শর্তমতে,
১০ক = ৭০
⇒ ক = ৭০/১০
⇒ ক = ৭

∴ প্রথম সংখ্যা = ২ক = ২ × ৭ = ১৪

প্রশ্ন: ২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান। সর্বোচ্চ স্কোর সর্বনিম্ন স্কোরের চেয়ে ১৯০ রান বেশি। দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান হয়। সর্বোচ্চ স্কোর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান
∴ ২৫ ইনিংসের মোট = গড় × ইনিংস সংখ্যা
= ৫০ × ২৫
= ১২৫০ রান

আবার, 
দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান
২৩ ইনিংসের মোট = ৪৬ × ২৩ = ১০৫৮ রান

∴ দুটি বিশেষ ইনিংসের (সর্বোচ্চ + সর্বনিম্ন) মোট = ১২৫০ - ১০৫৮ = ১৯২ রান

ধরি,
সর্বনিম্ন স্কোর = ক রান
সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০ রান
তাহলে:
ক + (ক + ১৯০) = ১৯২
⇒ ২ক + ১৯০ = ১৯২
⇒ ২ক = ১৯২ - ১৯০
⇒ ২ক = ২
⇒ ক = ১

সুতরাং সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০
= ১ + ১৯০
= ১৯১ রান

অতএব, খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ স্কোর ১৯১ রান 

প্রশ্ন:  (০.০০২)/(০.১ × ০.২) = কত? 

সমাধান:
(০.০০২)/(০.১ × ০.২) 
= (০.০০২)/(০.০২)
= (২ × ১০০)/(২ × ১০০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ক
= ৬ × ৩
= ১৮ ।

অপর সংখ্যাটি a হলে,
২৪a = ১২০ × ৩
∴ a = (১২০ × ৩)/২৪
a = ১৫

0 = 0 × 1
2 = 2 × 1
6 = 3 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
এখানে সাধারন উৎপাদক = 1
∴ গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: (√9 - i²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √9 = √(3)² 
= 3
এবং  i² = - 1       [এখানে, i হচ্ছে জটিল সংখ্যা]

∴ প্রদত্ত রাশি, (√9 - i²) = 3 - (- 1)
= 3 + 1
= 4

অপর সংখ্যাটি × c = a × b
∴ অপর সংখ্যা = ab/c

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

সমাধান:
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা হবে ৭২ এবং ১০৮ এর গ. সা. গু
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

∴ গ. সা. গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ 

সুতরাং নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা ৩৬ টি।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু এবং ল. সা. গু যথাক্রমে ১৫ ও ২২৫। একটি সংখ্যা ৪৫ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার গ সা গু ১৫
ল সা গু ২২৫
এবং একটি সংখ্যা ৪৫ 

আমরা জানি,
গ. সা. গু × ল. সা. গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
১৫ × ২২৫ = ৪৫ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (১৫ × ২২৫)/৪৫ 
= ৭৫ 

অতএব, অপর সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে -
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6)

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6)
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
= 7x + 21
= 7(x + 3)

শর্তমতে, 
7(x + 3) = 33 × 7
বা, x + 3 = (33 × 7)/7
বা, x + 3 = 33
বা, x = 33 - 3
∴ x = 30

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6
= 30 + 6
= 36

(5/38) / (25/19)
= (5/38) X (19/25)
= 1/10

প্রশ্ন: কোনো খুঁটির এক-চতুর্থাংশ ভূমির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে দৃশ্যমান হলে খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

সমাধান:
এখানে, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৬x এর গ. সা. গু = x ∴ গ. সা. গু. x = ৪

এখন,
সাধারণ নিয়মে প্রথম সংখ্যটি ৫ × ৪ = ২০ এবং ২য় সংখ্যাটি ৬ × ৪ = ২৪

∴ ২০ ও ২৪ এর ল. সা. গু = ১২০

লব ক হলে হর ক+২,
সুতরাং ভগ্নাংশটি ক/(ক+২)

প্রশ্নমতে, {(ক - ৩)/(ক + ২ - ৩)} + ১/৪ = ১
বা, (ক - ৩)/(ক - ১) = ১ - (১/৪) = ৩/৪
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক - ৩
বা, ক = ৯
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ ৯/(৯ + ২) = ৯/১১

সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (১০০ × ৭০) = ৭০০০
এবং ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০) = ৪৫০০

∴ ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৬০) = ৪০ জন
∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০) = ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০ = ৬২.৫

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/২ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৩ক/২ = ১.৫ক
∴ সংখ্যা দুইটির গুণফল = ১.৫ক^২

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১.৫ক^২ = ১২০ × ২০ 
⇒ ১.৫ক^২ = ২৪০০ 
⇒ ক^২ = ২৪০০/১.৫
⇒ ক^২ = ১৬০০ 
⇒ ক = √১৬০০
∴ ক = ৪০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একই সময়ে বাজতে শুরু করে। ঘণ্টা চারটি যথাক্রমে প্রতি ৮ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ড, ১৮ সেকেন্ড এবং ২৪ সেকেন্ডের ব্যবধানে বাজে। ঘণ্টা চারটি ৩ ঘণ্টার মধ্যে কতবার একসাথে বাজবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টাগুলির সময়কাল যথাক্রমে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড।

৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২ সেকেন্ড
অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো প্রতি ৭২ সেকেন্ড অন্তর একত্রে বাজে।

এখন,
৩ ঘণ্টা = ৩ × ৬০ × ৬০ = ১০৮০০ সেকেন্ড
∴ ৩ ঘণ্টায় ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে = (১০৮০০ / ৭২) বার + ১ বার (শুরুতে বাজার জন্য)
= ১৫০ + ১
= ১৫১ বার

∴ ৩ ঘণ্টার মধ্যে ঘণ্টা চারটি একত্রে ১৫১ বার বাজবে।

প্রশ্ন: ১২^৩ কে সর্বনিম্ন কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১২^৩
= (৩ × ৪)^৩
= (৩^৩) × (৪^৩)
= (৩^৩) × (২^২)^৩
= (৩^৩) × (২^৬)
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
∴ ২^৬ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ ,
কিন্তু ৩^৩ সংখ্যাটির ঘাত বিজোড় হওয়ায় তা পূর্ণবর্গ নয়।

৩^৩ এর সাথে ৩ গুণ করলে গুণফল হবে,
 (৩^৩) × ৩
= ৩^৪  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

∴ ১২^৩ কে সর্বনিম্ন ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৮ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬৮ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৮ক

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৩ × ৮)ক = ২৪ক

প্রশ্নমতে,
২৪ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/২৪
⇒ ক = ৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৮ × ক = ৮ × ৭ = ৫৬

প্রশ্নঃ তিনটি সংখ্যা একে অপরের সহ-মৌলিক, যার প্রথম দুটির গুণফল 551 এবং শেষ দুটির গুণফল 1073 । প্রথম ও শেষ সংখ্যার গুনফল কত?

সমাধানঃ
যেহেতু সংখ্যাগুলো সহ-মৌলিক, তাদের সাধারণ গুননীয়ক হবে 1
এবং সংখ্যাগুলোর মধ্যম সংখ্যাটি Common.
সুতরাং মধ্যম সংখ্যাটি হবে প্রথম ও শেষ সংখ্যার গসাগু

মধ্যম সংখ্যাটি = 551 ও 1073 এর গসাগু = 29

সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = 551/29 = 19
এবং শেষ সংখ্যাটি = 1073/29 = 37

প্রথম ও শেষ সংখ্যার গুনফল = 19 x 37 = 703