বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

x লব হলে, হর = x + 4

ভগ্নাংশের বর্গ = {x/(x + 4)}²
= x²/(x² + 8x + 16)
প্রশ্নানুসারে, x² + 8x + 16 = x² + 40
বা, x = 3
∴ হর = 7
ভগ্নাংশটি = 3/7 

প্রশ্নঃ তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৩ হলে তাদের গুণফল কত হবে?

সমাধানঃ
ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ক, (ক + ১), (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ৩৩
বা, ৩ক + ৩ = ৩৩
বা, ৩ক = ৩০
 বা, ক = ১০

সুতরাং তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ১০, ১১, ১২

তাদের গুণফল = ১০ × ১১ × ১২
 = ১১০ × ১২ = ১৩২০

√০.৩ = ০.৫৪৭৮
২/৩ = ০.৬৭
২/৫ = ০.৪০

সুতরাং, প্রশ্নোক্ত সংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ০.৩

প্রশ্ন: If you count 1 to 100, how many 5's will you pass on the way?

সমাধান:
1 থেকে 100 পর্যন্ত গণনা করলে কতবার 5 আসবে তা বের করতে হবে।

একক স্থানে 5: 
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
= 10টি

দশক স্থানে 5:
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
= 10টি

মোট = 10 + 10 = 20টি

(এখানে, 55 সংখ্যাটিতে '5' অঙ্কটি এককের স্থানে এবং দশকের স্থানে, উভয় জায়গাতেই একবার করে আছে, তাই এটিকে উভয় গণনায় ধরা হয়েছে।)
∴ উত্তর: ক) 20

প্রশ্ন: যদি ক এবং খ জোড় সংখ্যা ও গ  বিজোড় সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারবে না ?

সমাধান:
ধরি,
ক = ২, খ = ৪ এবং গ = ৩

এখন, 
ক) তে আছে, ক × খ = ২ × ৪ = ৮ হবে । 
খ) তে আছে, ক × গ  = ২ × ৩ = ৬ হবে । 
ঘ) তে আছে, গখ/ক = (৩ × ৪)/২ = ৬ হবে ।

কিন্তু,
গ) তে আছে, গ/ক = ৩/২  হবে না।(কারণ বিজোড় সংখ্যা জোড় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যা হয় না)
তাই জোড় হতে পারবে না। 

সঠিক উত্তর - গ) গ/ক

পানির পরিমাণ = ১৫ - (৫ + ১.৫) = ৮.৫ কেজি 

বাস্তব সংখ্যার(Real Number) সেট গঠিত হয় মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা নিয়ে।
সাধারণত মূলদ সংখ্যাকে (Rational Number) Q এবং অমূলদ সংখ্যাকে (Irrational Number) I বা Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং বাস্তব সংখ্যার সেট হবে R = {Q ∪ Q′}.

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় M এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় N হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = M
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PM 

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = N 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QN 

মোট সংখ্যা = P + Q 
তাদের সমষ্টি = PM + QN 
∴ তাদের গড় = (PM + QN)/(P + Q) 

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

তাহলে, মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/২ + ১/৩) × x অংশ
= (৫x/৬) অংশ
আবার,
পানির উপরে আছে = (x - ৫x/৬)
= (x/৬) অংশ 

প্রশ্নমতে, 
x/৬ = ২ 
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬x

প্রশ্নমতে, 
৬x = ৪৮
বা, x = ৪৮/৬
∴ x = ৮

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ২x + ৩x
= ৫x
= ৫ × ৮
= ৪০ 

১০০ টি ফলের মধ্যে কমলা ৪০ টি
∴ ১৫〃 〃 〃 〃(৪০×১৫)/১০০ টি
                  = ৬ টি
∴ ১৫ টি ফলের মধ্যে আপেল (১৫-৬) = ৯ টি

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল z হয়, তবে নিচের কোনটি একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = ১৫ × ২৮ × ৩৩

এখন, 
ক) z/২১ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৭) = ৪ × ৫ × ৩ × ১১  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]
খ) z/২৪ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৮) = (৪ × ৫ × ৭ × ৩ × ১১)/৮  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না]
গ) z/৫৫ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৫ × ১১) = ৩ × ৪ × ৩ × ৭  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) z/২৪

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর ৬৫। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর ৭০ হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = ৬৫ 
∴ ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর (৬৫ × ১০০) 
= ৬৫০০

আবার, ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ৭০ 
 ∴ ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর (৭০ × ৬০)
= ৪২০০

এখন, ছাত্রের সংখ্যা (১০০ - ৬০) জন
= ৪০ জন

ছাত্রদের মোট নম্বর (৬৫০০ - ৪২০০) = ২৩০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৩০০/৪০
= ৫৭.৫

Let's assume the present age of mother be 7x years and daughter be x years.
(7x-4)/(x-4) = 19/1
⇒ 7x-4 = 19(x-4)
⇒ 19x-7x = 76-4
⇒ 12x = 72
⇒ x = 6
∴ Mother's age after 4 years = 7x+4 = 7×6+4 = 46 years.

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সংখ্যাগুলো ১ এবং সেই সংখ্যাটি ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তারাই মৌলিক সংখ্যা।

৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = ৭ টি।
সুতরাং, ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা হলো ৭ টি।

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২।
∴ (৫১ + ১)/২ = ২৬

প্রশ্ন: ৮০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৮০০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২^৫ × ৫^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৮০০ × ২ = ১৬০০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে  ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

০.৩×০.৩ = ০.০৯
∴ √০.০৯
= √(০.৩×০.৩)
= √(০.৩)^২
= ০.৩

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪

√.49 + √.0049
= 0.7 + 0.07
= 0.77

৬, ৮, ১০ ও ১২ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ৫ = ১২০
সুতরাং নির্ণেয় বর্গ সংখ্যাটি = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ × ২ × ৫ × ৫
= ৩৬০০

প্রশ্ন: তেলভর্তি একটি পাত্রের ওজন ১৮ কেজি। পাত্রের এক-তৃতীয়াংশ তেলভর্তি হলে তার ওজন ৮ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ তেলের ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১৮ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/৩ = ৮ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/৩) = ১৮ - ৮
বা, y - y/৩ = ১০
বা, (৩y - y)/৩ = ১০
বা, ২y/৩ = ১০
বা, y = ১০ × ৩/২
বা, y = ১৫ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ১৫ = ১৮
বা, x = ১৮ - ১৫
বা, x = ৩ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৩ কেজি

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১
⇒ ২ক + ১ = ৪১
⇒ ২ক = ৪১ - ১
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

প্রশ্ন: কতজন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে যাতে প্রত্যেকে সমান সংখ্যক কলা ও আপেল পায়?

সমাধান:
এখানে, ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় ছাত্রের সংখ্যা।
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
১৪০ = ২ × ২ × ৫ × ৭

∴ ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৭ = ২৮

∴ ২৮ জন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।