বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২১৬ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ২১৬
বা, ৩ক + ৩ = ২১৬
বা, ৩ক = ২১৬ - ৩
বা, ৩ক = ২১৩
বা, ক = ২১৩ / ৩
∴ ক = ৭১

∴ বড় সংখ্যাটি হলো= ক + ২ = ৭১ + ২ = ৭৩

৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৬০
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৪ × ৬০ = ৪৫
আবার, ২/৩ × ৬০ =৪০
আবার, ৪/৫ × ৬০ = ৪৮
এবং ৫/৬ × ৬০ = ৫০
সুতরাং সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

ধরি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y. সুতরাং প্রশ্নানুসারে-
x+y = 7 ………… (i)
x-y = 3 …………. (ii)
(i) + (ii) ⇒ x+y+x-y = 7+3
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই-
5+y = 7
⇒ y = 2
∴ ভগ্নাংশটি 5/2.

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত? 

সমাধান: 
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩২১০
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল = (৫৩২১০ - ১০২৩৫) 
= ৪২৯৭৫। 

প্রশ্ন:কোনো স্কুলে একদিন ১৩৫ জন ছাত্র অনুপস্থিত ছিল। অনুপস্থিতির হার ৩% হলে ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
৩ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০ জন 
১ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০/৩ জন 
১৩৫ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা (১০০ × ১৩৫)/৩ জন
= ৪৫০০

মুনাফার হার বাড়ে = (১০% -৮%)= ২%
অর্থাৎ, ১০০ টাকায় ১ বছরে আয় বাড়ে ২ টাকা
১০০ টাকায় ৪ বছরে আয় বাড়ে ২×৪ = ৮ টাকা
এখন,
আয় ৮ টাকা বাড়লে তার মূলধন ১০০ টাকা
আয় ১ টাকা বাড়লে তার মূলধন ১০০/৮ টাকা
আয় ১২৮ টাকা বাড়লে তার মূলধন (১০০×১২৮)/৮ টাকা
= ১৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৬টি আপেল এবং ৯টি কমলা সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
যখন কোনো জিনিস সমান সংখ্যায় ভাগ করে বা সমান সংখ্যক করে কোনো পাত্রে বা প্যাকেটে রাখার কথা বলা হয়, তখন প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) বের করতে হয়।

৬ ও ৯ এর গ.সা.গু = ৩

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৩ টি

প্রশ্ন: ৮ জনের একটি দলের ৫৬ কেজি ওজনের এক জনের পরিবর্তে অপর একজন যুক্ত হলে, গড় ওজন ২.৫ কেজি হ্রাস পায়। নতুন ব্যক্তিটির  ওজন কত? 

সমাধান:
ধরি, 
৮ জন গড় ওজন = ক কেজি 
৮ জন মোট ওজন = ৮ক কেজি 
আবার, 
নতুন ব্যক্তির ওজন = খ কেজি হলে, 
নতুন ৮ জনের গড় ওজন = (ক - ২.৫) কেজি 
∴ নতুন ৮ জনের মোট ওজন = {(ক - ২.৫) × ৮} কেজি 

প্রশ্নমতে, 
৮ক - ৫৬ + খ = {(ক - ২.৫) × ৮}
⇒ ৮ক - ৫৬ + খ = ৮ক - ২০
⇒ ৮ক + খ - ৮ক = - ২০ + ৫৬ 
∴ খ = ৩৬ 

∴ নতুন ব্যক্তির ওজন = ৩৬ কেজি ।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৩ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/৪ + ১/২ ) × x অংশ = (৩x/৪) অংশ 
এবং পানির উপরে আছে = (১ - ৩x/৪) = (x/৪) অংশ 

প্রশ্নমতে,
x/৪ = ৩
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের পাঁচগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ক - ১, ক, ক + ১
গুণফল = (ক - ১) × ক × (ক + ১)

যোগফল = (ক - ১) + ক + (ক + ১) = ৩ক

প্রশ্নমতে,
(ক - ১) × ক × (ক + ১) = ৫ × ৩ক
বা, ক × (ক^২ - ১) = ১৫ক
বা, ক^২ - ১ = ১৫
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

সুতরাং তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ৩, ৪, ৫

তিনটি সংখ্যার গড় = (৩ + ৪ + ৫) ÷ ৩ = ১২ ÷ ৩ = ৪

যে সকল সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা তাদের কে মৌলিক সংখ্যা বলে।
এখানে ২৬৩, ২৪১, ২৩৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা।
কিন্তু ২৫৩/১১ = ২৩ পাওয়া যায় তাই ২৫৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা নয় তাই ২৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক নয়।

8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে সৈন্যদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, তাদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং সৈন্যদেরকে বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি সৈন্য সংখ্যা = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3) = 3600 জন হয়।
এবং এখানের অপশনগুলোর মধ্যে ৩৬০০ই ১২০ এর গুণিতক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

- এখানে ২ এর সূচক জোড়, কিন্তু ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড় (১)।
- বর্গাকৃতিতে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে। পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ এবং একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৬০ × ৩ × ৫
= ৬০ × ১৫
= ৯০০ জন

গণিতে ফেল করে = ১০০% - ৮০% =২০%
বাংলায় ফেল করে = ১০০% - ৯০% =১০%
গণিতে ও বাংলায় ফেল করে = ২০%+১০% = ৩০%
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করে = ১০০% -৩০% =৭০%
এখন,
৭০ জন পাস হলে ছাত্র ১০০
১ জন পাস হলে ছাত্র ১০০/৭০
৩৫০ জন পাস হলে ছাত্র (১০০×৩৫০) /৭০ = ৫০০ জন

২/৩ = ০.৬৭
৩/৫ = ০.৬
৮/১১ = ০.৭৩
১৭/২৭ = ০.৬৩

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
​৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ সেগুলো হলো = ৪৩, ৫৩, ৭৩।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি,
= (৪৩ + ৫৩ + ৭৩)
= ১৬৯

অতএব, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি হলো ১৬৯।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ - ৫ = ২৯৫

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় 6। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
ছয়টি সংখ্যার গড় = ৬ 
∴ ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬ × ৬)
= ৩৬

আবার,
প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করা হলে-
ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = {৩৬ - (৬ × ৩)}
= (৩৬ - ১৮)
= ১৮

∴ নতুন সংখ্যাগুলোর গড় = ১৮/৬
= ৩

প্রশ্ন: ১৪৭৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
১৯) ১৪৭৫ ( ৭৭
       ১৩৩ 
_____________
         ১৪৫
         ১৩৩ 
______________
           ১২  

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৯ - ১২ = ৭

সমাধান:
(এভাবে বছরের সাথে মাসও থাকলে একসাথে গুণ করে মাসগুলোকে বছর বানাতে হবে)

২০ জনের মোট বয়স = ২০ × ১২ = ২৪০ বছর।

নতুন ৪ জন সহ ২০ + ৪ = ২৪ জনের মোট বয়স = ২৪ × (১১ বছর ৮ মাস) [যেহেতু নতুন ৪ জন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে]

= ২৬৪ বছর ১৯২ মাস 
 ২৬৪ বছর + ১৬ বছর (১৯২ মাসে ১৬ বছর হয়)
= ২৮০ বছর 

এখন নতুন ৪ জনের বয়স = ২৮০ - ২৪০ = ৪০ বছর।

সুতরাং নতুন ৪ জনের গড় বয়স = ৪০ ÷ ৪ = ১০ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭৫ এবং গ.সা.গু ৫। একটি সংখ্যার দ্বিগুণ ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩০
বা, একটি সংখ্যা = ৩০ ÷ ২ = ১৫

ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৫ × ক = ৭৫ × ৫
বা, ১৫ক = ৩৭৫
বা, ক = ৩৭৫ ÷ ১৫
বা, ক = ২৫

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫ থেকে যত বেশি ৮৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪৫ = ৮৫ - ক
⇒ ক + ক = ৮৫ + ৪৫
⇒ ২ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/২ 
⇒ ক = ৬৫

∴ সংখ্যাটি = ৬৫

এখানে,
২৭৩ = ১৩×৭×৩ এবং ২২১ = ১৩×১৭
∴ গ.সা.গু. = ১৩
অর্থাৎ ১৩ জন শিশুর মাঝে।

( 2x + 3y )/( 3x + 2y ) = 5/6
Or, 15x + 10y = 12x + 18y
Or, 15x – 12x = 18y – 10y
Or, 3x = 8y
Or x/y = 8/3
x : y = 8 : 3

৩, ৬, ৯ এর গ.সা.গু. = ৩
৭, ৩৫, ৫৬ এর ল.সা.গু. = ২৮০
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৩/২৮০

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যা:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪........

আমরা জানি,
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)

এখানে, n = ২৫
∴ যোগফল = ২৫(২৫ + ১)
= ২৫ × ২৬
= ৬৫০

∴ প্রথম ২৫টি জোড় সংখ্যার যোগফল = ৬৫০

মনে করি,
প্রথম সংখ্যাটি (ক-১), সুতরাং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে,
ক^২ - (ক - ১)^২ = ৩৩
বা, ক^২ - (ক^২ - ২ক + ১) = ৩৩
বা, ক^২ - ক^২ + ২ক - ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৪
বা, ক = ১৭
সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = ১৭ -‌ ১
= ১৬

0.3 × 30 ÷ 10
= 9 ÷ 10
= 0.9

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৩/৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = ১২
ল.সা.গু. = ১৮০

ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক 
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক/৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ক × ৩ক/৫ = ১২ × ১৮০ 
⇒ ৩ক^২/৫ = ২১৬০
⇒ ক^২ = (২১৬০ × ৫)/৩ 
⇒ ক^২ = ৭২০ × ৫
⇒ ক = √ ৩৬০০ 
∴ ক = ৬০ 

সুতরাং, বড় সংখ্যা = ৬০
এবং ছোট সংখ্যা = (৩/৫) × ৬০ = ৩৬

ধরি,সংখ্যাটি ক। এখানে, ০.১˙ = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০
প্রশ্নমতে, ক/৯-ক/১০ = ১
বা, (১০ক-৯ক)/৯০ = ১
∴ ক = ৯০

প্রশ্ন:দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৮৪ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ২১ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
২১ × অপর সংখ্যা = ৮৪ × ৭
অপর সংখ্যা = (৮৪ × ৭)/২১
= ২৮

প্রশ্ন: p ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে q দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে r। যদি ৩p কে ৩q দ্বারা ভাগ করা হয় তাহলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান: 

ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
p = qx + r       [ধরি, ভাগফল = x]
⇒ ৩p = ৩qx + ৩r
⇒ ৩p = ৩q(x) + ৩r
∴ ভাগশেষ = ৩r