বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,  দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১০ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৫ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ২৮: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ৯ এবং ১৬:
৯ = ৩ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
৯ এবং ১৬ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ৯, ১৬ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ৬ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো (গ) ৯, ১৬।

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো, 
n, n + 1, n + 2, n + 3

∴ তাদের গুণফল = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
= x(x + 2)  ; [ধরি, x = n² + 3n] 
= x² + 2x
= x² + 2x + 1  ; [1 যোগ করে পাই] 
= (x + 1)²  ; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান:

R কে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো,

R × 8 = 8R
বর্গ: (8R)² = 64R²

বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো,

ভাগ: 64R² ÷ 4 = 16R²

বর্গমূল: √(16R²) = 4R
তাহলে, Q = 4R

উত্তর: খ) 4R

প্রশ্নমতে,
(.০২ + .০০৮ + ১.০০২ + ৪০.০১২ + x) /৫ = ১২.২১২৪
⇒ ৪১.০৪২ + x = ৬১.০৬২
⇒ x = ৬১.০৬২ - ৪১.০৪২
∴ x = ২০.০২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৯ হলে, সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৪ক ও ৯ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩৬
⇒ ক = ৫

∴ প্রথম সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯ক = ৯ × ৫ = ৪৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ৪৫ − ২০ = ২৫

লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হতে ৩ বিয়োগ।

২|২৪, ৩৬, ৪৮
 ২|১২, ১৮, ২৪
  ২|৬, ৯, ১২
   ৩|৩, ৯, ৬
       ১, ৩, ২

নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ = ১৪৪
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ৩
= ১৪১

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ক) ১১/১৪ = ০.৭৮৫৭ 

খ) ১৭/২১ = ০.৮০৯৫

গ) ৫/৬ = ০.৮৩৩৩

ঘ) ১২/১৫ = ০.৮

ধরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
x × 60% - 60 = 60
6x/10 = 120
x = 200

সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ৩ = ১৪১

প্রশ্ন: ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (২, ৪)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
২ = ২
৪ = ২^২
∴ ল.সা.গু = ৪

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫
∴ গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু = ৪/৩

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলের ১০ জন খেলোয়াড়ের রানের গড় ৩৫। যদি আরও একজন খেলোয়াড় যোগ হয়, তবে দলের মোট রান ৩৯৬ হয়। ১১তম খেলোয়াড়ের রানের গড় কত?

সমাধান:
প্রথমে ১০ জন খেলোয়াড়ের গড় ৩৫।
∴ ১০ জনের মোট রান = ১০ × ৩৫ = ৩৫০

আবার, 
এখন ১১ জনের মোট রান = ৩৯৬

∴ ১১তম খেলোয়াড়ের রান = ৩৯৬ - ৩৫০ = ৪৬

সুতরাং ১১তম খেলোয়াড়ের রান ৪৬

( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
( a² - 16b²) ও ( a + 4b ) লসাগু =( a² - 16b²)
প্রদত্ত রাশি,
=( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
= { a² + 16b² - ( a - 4b )² }/( a² - 16b²)
= 8ab/( a² - 16b²)

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ অবশিষ্ট থাকে তাই,
৫২ - ৪ = ৪৮
৭০ - ৬ = ৬৪
৮৮ - ৮ = ৮০

এখন, ৪৮, ৬৪ ও ৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৪ × ৩
৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ = ২^৪ × ৫

∴ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২^৪ = ১৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৬

Let number are = 2x, 3x, 4x
given,
LCM of (2×3×2)x = 12x
12x = 240
x = 20
∴ numbers are 2×20 = 40
3×20 = 60
4×20 = 80
∴ Smaller is 40

২ ও ৩ এর ভিতরে অসংখ্য সংখ্যা আছে( যেমনঃ 2.1, 2.11, 2.111 ................)

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ক) ৫০৪ ⇒ ৫ + ০ + ৪ = ৯ (বিভাজ্য)
খ) ১৪৭ ⇒ ১ + ৪ + ৭ = ১২ (বিভাজ্য)
গ) ৫১৩ ⇒ ৫ + ১ + ৩ = ৯ (বিভাজ্য)
ঘ) ২৫১ ⇒ ২ + ৫ + ১ = ৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)

∴ ২৫১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু।
∴ এখানে, ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু = ৩
∴নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩

৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

৮ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
৮^২ = ৬৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪।

৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = (৮ × ৮) = ৬৪ বছর
শিক্ষকসহ ৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = {৯×(৮+৭)} = ১৩৫ বছর।
∴ শিক্ষকের বয়স = ১৩৫ - ৬৪ = ৭১ বছর।

প্রশ্ন: ৬৫৫৯ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
এখানে,
৮১ × ৮১ = ৬৫৬১ 
প্রদত্ত সংখ্যা = ৬৫৫৯
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬৫৬১ - ৬৫৫৩) = ২

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

পূর্ণ সংখ্যা (Integers): 
শূন্য সহ সকল ধনাত্বক ও ঋণাত্বক অখণ্ড সংখ্যা সমূহকে পূর্ণ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: .............., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি। সাধারণত পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Z = {.........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি} । 

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q যদি সহমৌলিক হয় এবং q ≠ 0, q ≠ 1 হয় তবে p/q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: 1/2, 2/3, 5/6,- 5/2 ইত্যাদি। 
p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। 
যেমন: 1/3, 2/3, 2/7, ......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3/2, 5/3, 7/2, 9/4, ............ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। 

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q এবং q ≠ 0 হলে, আকারের সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Q =  {p/q | p,q ∈ Z এবং q ≠ 0, p ও q সহমৌলিক} । 

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): 
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
যেমন: π, √2, √3, √(5/2) ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা।

ধরি, a = 1 এবং b = 3 (উভয়ই বিজোড়)

এখন, প্রতিটি অপশনে মান বসাই:

ক) ab = 1 × 3 = 3 (বিজোড়)

খ) b + 2a + 2 = 3 + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 (বিজোড়)

গ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 (বিজোড়)

ঘ) 2a + 4b = 2(1) + 4(3) = 2 + 12 = 14 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: ঘ) 2a + 4b

গাণিতিক গড় সমান হতে হলে সংখ্যাত্রয়ীর যোগফল সমান হতে হবে।
∴৬+৮+১০=২৪ 
এবং ৭+৯+ক=২৪ 
বা,ক=৮

ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লব এর ল.সা.গু)/(হর এর গ.সা.গু)
১, ২, ৩ এর ল.সা.গু = |১, ২, ৩ = ৬
৪, ৫, ৩ এর গ.সা.গু = ১

সুতরাং, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৬/১
                                      = ১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক 
∴ ৫ক ও ৬ক এর গ.সা.গু = ক 

প্রশ্নমতে, 
গ.সা.গু = ক 
∴ ক = ৪ 

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে- 
৫ক = ৫ × ৪ = ২০
এবং
৬ক = ৬ × ৪ = ২৪ 

এখন, 
২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ১২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০ ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গের চার-পঞ্চমাংশ ৮০ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x 

শর্তমতে,
x^২ × (৪/৫) = ৮০
⇒ x^২ = (৮০ × ৫)/৪
⇒ x^২ = ২০ × ৫
⇒ x^২ = ১০০
⇒ x = √১০০
∴ x = ১০

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হয়। ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্রটির প্রথম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫
এবং তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ৮২

∴ তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (৮২ × ৩) = ২৪৬

সুতরাং, ২য় ও ৩য় পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (২৪৬ - ৮৫) = ১৬১

∴ ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় = ১৬১ / ২ = ৮০.৫

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x - 742 = 830 - x
বা, x + x = 830 + 742
বা, 2x = 1572
বা, x = 1572/2
∴ x = 786.

১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
৫/৬ = ০.৮৩৩৩৩
১২/১৫ = ০.৮
১৭/২১ = ০.৮০৯৫
সুতরাং ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ হচ্ছে ১১/১৪

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

সমাধান:
২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।

এখানে,
২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০  এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫ × ৭ = ৬৩০০

∴ সর্বমোট ৬৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।