বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 7x এবং 5x 
∴সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু = x
এবং ল.সা.গু = 35x

প্রশ্নমতে,
35x = 140
⇒ x = 140/35
∴ x = 4

অতএব, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু 4

প্রশ্ন: একটি দলের ৭ জন সদস্যের গড় বয়স ১৫ বছর। পরে আরও ৫ জন সদস্য যোগ দেওয়ায় গড় বয়স ১৬ বছর হলো। নতুন ৫ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি কত?

সমাধান:
৭ জন সদস্যের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৭ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি (১৫ × ৭) বছর
= ১০৫ বছর

নতুন ৫ জন সদস্য সহ দলের মোট সদস্য = (৭ + ৫) = ১২ জন

১২ জন সদস্যের গড় বয়স ১৬ বছর
∴ ১২ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি = (১৬ × ১২) = ১৯২ বছর

∴ নতুন ৫ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি = (১৯২ - ১০৫) = ৮৭ বছর

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩০ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩০ × ৩) বছর
= ৯০ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯০ - ৪২) বছর 
= ৪৮ বছর।

x + 1/x = 2
= x² - 2x + 1 = 0
= ( x - 1 )² = 0
= x = 1
x⁵⁰⁰ - (1/x)⁶⁰⁰ = (1)⁵⁰⁰- (1/1)⁶⁰⁰
⇒ 1 - 1 = 0

০.৩
১/৩ = ০.৩৩
২/৭ = ০.২৯
৩/১১ = ০.২৭
অর্থাৎ সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ হচ্ছে - ১/৩

প্রশ্ন: যদি ১৫ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭০ নম্বর পায় এবং ৩৫ জন ছাত্র গড়ে ৮০ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
১৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর (৭০ × ১৫) = ১০৫০
৩৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর (৮০× ৩৫) = ২৮০০
∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
∴ মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১০৫০ + ২৮০০ = ৩৮৫০
সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৩৮৫০/৫০ = ৭৭

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৭

এখানে, ১^২+১^২ = ২; ২^২+১^২ = ৫; ২^২+২^২ = ৮; ৩^২+১^২ = ১০। ২, ৫, ৮, ১০ এই চারটি সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি রূপে লেখা যায়।
এখন,
১ থেকে ১০ এর মধ্যে দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- তিনটি সংখ্যাকে (২, ৫ এবং ৮)।
১ এবং ১০ এর মধ্যে দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- তিনটি সংখ্যাকে (২, ৫ এবং ৮)।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- চারটি সংখ্যাকে (২, ৫, ৮ এবং ১০)।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৩৮৫টি আম আছে। এর সাথে আরো কমপক্ষে কতগুলো আম যোগ করলে সেগুলো ৫, ৮ এবং ১০ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
আমের মোট সংখ্যা এমন হবে যাতে তা ৫, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৫, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু বের করতে হবে।

এখন,
৫ = ৫
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৫ = ৪০

এখন ৩৮৫ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করি,
৪০ × ৯ = ৩৬০
অবশিষ্ট = ৩৮৫ - ৩৬০ = ২৫

যেহেতু ৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৪০ - ২৫ = ১৫

∴ কমপক্ষে ১৫টি আম যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১০৮ এবং গ.সা.গু ১৮। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই তৃতীয়াংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি ৩ক
ছোট সংখ্যাটি ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ২ক = ১০৮ × ১৮
⇒ ৬ক^২ = ১৯৪৪
⇒  ক^২ = ১৯৪৪/৬
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = ১৮

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১৮ = ৩৬

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৮, ৯ এবং ১২ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ৭ এবং ১০ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
৮ - ৬ = ২
৯ - ৭ = ২
১২ - ১০ = ২

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ৯ এবং ১২ এর ল. সা. গু অপেক্ষা ২ কম।

৮, ৯ এবং ১২ এর ল. সা. গু = ৭২

তাহলে, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে = ৭২ - ২ = ৭০

x - 2 ) x³ - x² ( x² + x + 2
          x³ - 2x²
        -----------
                  x²
                  x² - 2x
                 ----------
                         2x
                         2x - 4
                        ---------
                                4

১/২ এর ক% = ৩/৪
বা, ১/২ এর ক/১০০ = ৩/৪
বা, ক = ৩ × ২ × ১০০/৪
বা, ক = ১৫০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং এদের গ.সা.গু. ৬ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

​সমাধান: 
​ধরি,
​সংখ্যা দুইটি ৪ক এবং ৫ক

​∴ এদের গ.সা.গু. = ক
এবং ​ল.সা.গু = ২০ক

​প্রশ্নমতে,
​ক = ৬

​​∴ ল.সা.গু = ২০ক
​= ২০ × ৬ = ১২০

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ১ ঘণ্টা, ২ ঘণ্টা ও ৩ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১, ২ ও ৩ এর ল.সা.গু = ৬
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ৬ ঘণ্টা পর।

∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/৬) বার 
= ৪ বার 

১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘন্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘন্টাটি সর্বোচ্চ ৪ বার বাজবে। 

লসাগু = ৪৯৫, গসাগু = ৫
মনে করি, সংখ্যা দুটি, ৫ক এবং ৫খ
লসাগু = ৫কখ = ৪৯৫
সুতরাং, কখ = ৯৯
এখানে, ১, ৯৯ - ৯, ১১ - ৩, ৩৩ এরকম সম্ভাব্য মান হতে পারে।
সেক্ষেত্রে,
সংখ্যা দুটি হবে,
৫, ৪৯৫
৪৫, ৫৫
১৫, ১৬৫
যেহেতু, দেয়াই আছে যে যোগফল ১০০ তাই বুঝাই যাচ্ছে যে নির্ণেয় সংখ্যা দুটি ৪৫ এবং ৫৫। তাই, পার্থক্য, ৪৫ - ৫৫ = ১০।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৫। তাদের মধ্যে ৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৮ হলে, বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০
মোট গড় = ৭৫
∴ ৮০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৭৫ × ৮০ = ৬০০০

৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় = ৭৮
∴ ৫০ জনের মোট নম্বর = ৭৮ × ৫০ = ৩৯০০

বাকি শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০ - ৫০ = ৩০
∴ বাকি শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৬০০০ - ৩৯০০ = ২১০০

∴ বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = ২১০০ ÷ ৩০ = ৭০

এখানে,
5/12 = 0.417
6/13 - 0.462
11/24 = 0.458
3/8 = 0.375
উত্তরঃ খ

x এর মান ∞ হলে,
1/(∞+1)
= 1/∞
= 0

২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (১০০+২০) = ১২০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য (১২০ + ১২০ এর ২০%) = (১০০+২৪) = ১৪৪ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারে সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়।  
ফলে সৈন্যদের সংখ্যা ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।

এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু।
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু 
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০ (যা বর্গাকার সংখ্যা নয়)

১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
এটিকে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৯, ১২ ও ১৫ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদের সংখ্যা হবে  
= (২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) × ৫ জন  
= ৯০০ জন

∴ সৈন্যের সংখ্যা = ৯০০ জন।

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে চাকা দুটির পরিধির অর্থাৎ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু এর সমান।
 ∴ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু = ২০

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ২০ মিটার
∴ ১২ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব (১২ × ২০) মিটার = ২৪০ মিটার

৩০ কে ২/৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪৫। 
৪৫ + ১০ = ৫৫

প্রশ্ন: √(16i⁴)/2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, 
√(16i⁴)/2 = √(16 × i² × i²)/2
= √{16 × (- 1) × (- 1)}/2                [∵ i² = - 1]
= √(16 × 1)/2
= √(16)/2
= 4/2
= 2

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৯০ এবং পার্থক্য ৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা হলো ক ও খ, যেখানে ক > খ

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৯০ ........(১)
ক - খ = ৩০ ........(২)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে,
২ক = ৯০ + ৩০ = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151
মনে করি,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে g, (g - 1)

শর্তমতে,
বা, g² - (g - 1)² = 151
বা, g² - (g² - 2 × g × 1 + 1²) = 151
বা, g² - g² + 2g - 1 = 151
বা,  2g - 1 = 151
বা, 2g = 151 + 1
বা, 2g = 152
বা, g = 152/2
∴ g = 76

অপর সংখ্যাটি = 76 - 1 = 75
বড় সংখ্যাটি  76

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬+ ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং মা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে, মায়ের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ২) বছর = ৮০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৮০ - ৬২) বছর = ১৮ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩২ × ২) বছর = ৬৪ বছর

∴ মায়ের বয়স = (৬৪ - ১৮) বছর = ৪৬ বছর

অতএব, মায়ের বয়স ৪৬ বছর।

মনে করি,
প্রথম বছরের আয় x টাকা
প্রশ্নমতে,
দ্বিতীয় বছরের আয় 3x/2 টাকা
তৃতীয় বছরের আয় (5/2)(3x/2) = 15x/4 টাকা

x + 3x/2 + 15x/4 = 55000
=> (4x + 6x + 15x) / 4 = 55000 * 3
=> 25x = 12 * 55000
=> x = 26400
তাহলে,
প্রথম বছরের আয় 26400 টাকা
দ্বিতীয় বছরের আয় ৩৯৬০০ টাকা
তৃতীয় বছরের আয় ৯৯০০০ টাকা
দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় = ৬৯৩০০ টাকা

৫৭, ১৪৫ এর গ.সা.গু = ১
∴ এরা সহমৌলিক।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 , যেমন: √16 = 4, 3/1 = 3, 11/2 = 5.5, 5/3 = 1.666....... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
- যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
- শূন্য, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং পৌনপুণিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- যেমন: √2 = 1.414213......., √3 = 1.732 ........, √11 = 3.31662........ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
- অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

অপশনসমূহ:
(ক) = 15/99 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(খ) 2/5 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(গ) √(27/48) = √(9/16) = 3/4 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(ঘ) √8 = √(4 × 2) = 2√2 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং √2 একটি অমূলদ সংখ্যা। তাই √8 একটি অমূলদ সংখ্যা।