বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৩৫। এদের একটি ৬/৭ হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৩৫
এদের একটি ভগ্নাংশ = ৬/৭

ধরি, অপর ভগ্নাংশটি = ক
তাহলে:
(৬/৭) × ক = ১৮/৩৫
⇒ ক = (১৮/৩৫)/(৬/৭)
⇒ ক = (১৮/৩৫) × (৭/৬)
⇒ ক = (১৮ × ৭)/(৩৫ × ৬)
∴ ক = ৩/৫

সুতরাং, অপর ভগ্নাংশটি ৩/৫

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ২/৫ অংশ পানি পূর্ণ আছে। ট্যাংকটিতে আরও ৩২ লিটার পানি যোগ করা হলে এটি ৬/৭ অংশ পূর্ণ হবে। ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (২ক/৫) + ৩২ = (৬ক/৭)
⇒ ৩২ = (৬ক/৭) - (২ক/৫)
⇒ ৩২ = (৩০ক - ১৪ক)/৩৫
⇒ ৩২ = ১৬ক/৩৫
⇒ ২ = ক/৩৫
∴ ক = ৭০ 

∴ ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা ৭০ লিটার।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১৩ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাঁদায়
একটি খুঁটির ১/২ অংশ পানিতে

∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে খুঁটিটির = {(১/৩) + (১/২)} অংশ
= (২ + ৩)/৬ অংশ
= ৫/৬ অংশ

এখন,
অবশিষ্ট আছে খুঁটিটির = {১ - (৫/৬)} অংশ
= ১/৬ অংশ

খুঁটিটির ১/৬ অংশ = ১৩ মিটার
∴ সম্পূর্ণ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = (১৩ × ৬) মিটার
= ৭৮ মিটার

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ এর লসাগু = ৪২০

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

১০০০ কে ৪২০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১৬০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৪২০ - ১৬০)
= ১০০০ + ২৬০ = ১২৬০

∴ চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ১৪, ২১, ২৮ ও ৩৫ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য = ১২৬০

প্রশ্ন: তিনটি ধনাত্মক ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ, সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক ধনাত্মক সংখ্যা হলো: ক - ১, ক, ক + ১
গুনফল: 
(ক - ১) × ক × (ক + ১) = ক(ক^২ - ১) = ক^৩ - ক
যোগফল:
ক - ১ + ক + ক + ১ = ৩ক
প্রশ্নমতে,
ক^৩ - ক = ৫ × ৩ক
⇒ ক^৩ - ১৬ক = ০
⇒ ক(ক^২ - ১৬) = ০
⇒ ক = ০, ক^২ - ১৬ = ০

যেহেতু সংখ্যা তিনটি ধনাত্মক, তাই
ক = ৪
সংখ্যা তিনটি হলো: ৩, ৪, ৫
গড় = (৩ + ৪ + ৫)/৩ = ১২/৩ = ৪

√8/√2 = 2√2/√2 = 2 যা মূলদ।

প্রশ্ন: কোনো প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদেরকে ৭, ৯, ১৪ ও ২১ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে। প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থী সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৫ যোগ করলেই নির্ণেয় শিক্ষার্থী সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৭, ৯, ১৪ এবং ২১ এর লসাগু বের করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭

∴ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ৩ × ৩ × ৭ = ১২৬

যেহেতু প্রত্যেকবারই ৫ জন শিক্ষার্থী অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা হবে লসাগু অপেক্ষা ৫ বেশি।

∴ প্রতিষ্ঠানের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = (১২৬ + ৫) জন = ১৩১ জন ।

৮৮ = ২ × ২ × ২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১+১) = ৮
৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১+১) = ৬
সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ । 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: 
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। 
যেমন- √2, √3, √5, √10 ইত্যাদি। 

মূলদ সংখ্যা: 
- যেসকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q≠0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। 
• ৫/৩ ⇒  সকল সাধারণ ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। 
• √৪ এবং √৯ = ২ এবং ৩ ⇒ সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যা বা সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।

মনে করি,
একটি সংখ্যা 'ক' তাহলে অপর সংখ্যা 'খ'
শর্তমতে,
ক - খ = ১ -------(১) এবং ক × খ = ৭২।
এখন (ক+খ)^২ = (ক-খ)^২ + ৪ × কখ
বা, (ক+খ)^২ = ১^২ + ৪ × ৭২
বা, (ক+খ)^২ = ১ + ২৮৮
বা, ক+খ = √২৮৯
বা, ক + খ = ১৭ ------- (২)
(১) + (২) করে পাই,
২ক = ১৮
বা, ক = ৯
সুতরাং ৯ + খ = ১৭
খ = ৮

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ৩ = ১৮
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৩ = ৯ 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = (১৮ - ৯) = ৯ ।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৮ বছর এবং মা এবং ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর। পিতার বয়স ৬৬ বছর হলে, মাতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪৮ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪৮ × ২) বছর
= ৯৬ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪২ × ২) বছর
= ৮৪ বছর

পিতার বয়স = ৬৬ বছর
∴ পুত্রের বয়স = ৯৬ - ৬৬ = ৩০ বছর

∴ মাতার বয়স = ৮৪ - ৩০ = ৫৪ বছর

প্রশ্ন: একটি খুঁটির এক-চতুর্থাংশ মাটির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

সর্বনিম্ন ধারাবাহিক সংখ্যা দিয়ে চেক করলেই হবে।
প্রশ্নমতে,
ক = ৩, খ = ২ এবং গ = ১
এখন মানগুলো, ৪টি অপশনে বসালে দেখা যায়, ক + (খ/গ) = ৫ এর মান সর্বোচ্চ হয়।

এখানে 
১৯ + ১৪ = ৩৩
৩৩ + ১৪ + ৪ = ৫১
৫১ + ১৮ + ৪ = ৭৩
৭৩ + ২২ + ৪ = ৯৯

 প্রশ্ন: {- ২০ - (- ৫)} - {১২ + ( - ১১)} এর মান কত? 
 
সমাধান:
 {- ২০ - (- ৫)} - {১২ + ( - ১১)}
= {- ২০ + ৫} - {১২ - ১১}
= - ১৫ - ১
= - ১৫ - ১
= - ১৬

৯৬ এর বর্গ = ৯২১৬
তাহলে সৈন্য সরাতে হবে = (৯২২০ - ৯২১৬) জন
= ৪ জন।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৯০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ৩৯০
বা, ৩ক + ৩ = ৩৯০
বা, ৩ক = ৩৯০ - ৩
বা, ৩ক = ৩৮৭
 বা, ক = ৩৮৭/৩
∴ ক = ১২৯

∴ বড় সংখ্যাটি হলো = ক + ২ = ১২৯ + ২ = ১৩১

প্রশ্ন: তিনজন ব্যক্তি একটি পথে বরাবর দৌড়াচ্ছেন। তারা যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে এক চক্কর পূর্ণ করেন। সকাল ৮টার সময় তারা একই স্থান থেকে দৌড় শুরু করলে, পুনরায় কখন তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন?

সমাধান: 
১০ = ২ × ৫ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ১০, ১২ এবং ১৫ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
তারা আবার শুরুর স্থানে একসঙ্গে মিলিত হবেন ৬০ মিনিট পর।
শুরু করেছে সকাল ৮ : ০০ টায়
এবং ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা
∴ ৮ : ০০ + ১ ঘণ্টা = সকাল ৯ : ০০ টা

সুতরাং, তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন সকাল ৯টায়।

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় যদি আরো ১৪ টি মেশিন যোগ করা হয়, তবে মেশিনগুলোকে ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ সংখ্যক সারিতে সাজানো সম্ভব হবে। কারখানায় শুরুতে কতটি মেশিন ছিল?
সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২
অর্থাৎ, মেশিন সংখ্যা = ৭২ - ১৪ = ৫৮

∴ কারখানায় শুরুতে ৫৮ টি মেশিন ছিল।

প্রশ্ন:

সমাধান:

{(৯৬ - ১২) / ৩} + ১
= ২৮ + ১
= ২৯

প্রশ্ন: একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, পাঁচ ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং দশ জন গােয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত?

সমান:
একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে ৩ পথে গমন করে,
৫ ঘাটে পানি পান করে,
৯ টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং
১০ জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়। 

তাহলে, গরুর সংখ্যা = ৩, ৫, ৯ এবং ১০ এর ল.সা.গু.
সুতরাং, গরুর সংখ্যা = ৯০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান: 
৩/৭ = ০.৪২
৫/৯ = ০.৫৫
১/৩ = ০.৩৩
২/৫ = ০.৪০

∴ ৫/৯ > ৩/৭ > ২/৫ > ১/৩

 অতএব, ছোট ভগ্নাংশটি হলো ১/৩

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৬০ থেকে যত ছোট ৫৮০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
৭৬০ - ক  = ক - ৫৮০
⇒ ক + ক = ৭৬০ + ৫৮০
⇒ ২ক = ১৩৪০
⇒ ক = ১৩৪০/২
⇒ ক = ৬৭০

∴ সংখ্যাটি ৬৭০ ।

প্রশ্ন: একটি অফিসে ৩০ জন কর্মীর গড় বেতন ৩০০০০ টাকা। যদি ১৪ জনের গড় বেতন ৩৫০০০ টাকা হয়, বাকি ১৬ জনের গড় বেতন কত?

সমাধান: 
৩০ জন কর্মীর মোট বেতন = ৩০ × ৩০০০০ = ৯০০০০০ টাকা।

আবার,
১৪ জন কর্মীর মোট বেতন = ১৪ × ৩৫০০০ = ৪৯০০০০ টাকা।

এখন, 
বাকি ১৬ জন কর্মীর মোট বেতন = মোট বেতন - ১৪ জন কর্মীর মোট বেতন
= ৯০০০০০ - ৪৯০০০০ = ৪১০০০০ টাকা।

∴ বাকি ১৬ জন কর্মীর গড় বেতন = ৪১০০০০/১৬ জন = ২৫৬২৫ টাকা।

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২
= (৩৯ + ১)/২
= ২০