বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংস রানের গড় ৪৫.৫। ১১ তম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে? 

সমাধান: 
১০ ইনিংসের রানের গড় = ৪৫.৫
∴ ১০ ইনিংসের মোট রান = (১০ × ৪৫.৫)
= ৪৫৫ রান

আবার,
১১ ইনিংসের রানের গড় = ৫০.০
∴ ১১ ইনিংসের মোট রান = (১১ × ৫০.০)
= ৫৫০ রান

∴ ১১ তম ইনিংসের রান = (৫৫০ - ৪৫৫)
= ৯৫ রান ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬৮ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৪ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৩ × ৪)ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/১২
⇒ ক = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ × ক = ৪ × ১৪ = ৫৬

৪০ কে ২/৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৬০। 
৬০ + ১৫ = ৭৫

প্রশ্ন: ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হলো,
৪৩, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯, ৬০

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = ৪টি 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = x
সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার  ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক 
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু 
⇒ ক. (৪ক/৩) = ৭২ × ৬
⇒ (৪/৩)ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √৩২৪
∴ ক = ১৮ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ১৮
∴ বড় সংখ্যাটি = (১৮ × ৪)/৩ = ২৪ 

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ১৮ এবং ২৪

প্রশ্ন: i + i² + i³ + i⁴ + ...................... + i²⁵ = ?

সমাধান: 

i এর ক্রমিক চারটি ঘাতের যোগফল শুন্য।
i = √ - 1
i² = - 1
i³ = - i
i⁴ = 1
i⁵ = i

তাই i²⁴ পর্যন্ত যোগফল শুন্য। 

∴ i²⁵
= i^{24 + 1}
= (i⁴)⁶ . i¹
= (1)⁶ . i
= i

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৬, ২৮
১৬-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৮, ১৬
২৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ২, ৪
∴ ১৬, ২৮ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৫২, ৯১
৫২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২
৯১-এর গুণনীয়ক: ১, ৭, ১৩, ৯১
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ১৩
∴ ৫২, ৯১ সহমৌলিক নয়।

অপশন (গ): ২৭, ৩৮
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ১৯, ৩৮
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১
∴ ২৭, ৩৮ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ঘ): ২১, ১০৫
২১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
১০৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫, ১০৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
∴ ২১, ১০৫ সহমৌলিক নয়।

প্রশ্ন:

সমাধান: 

৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ১২০
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৪ × ১২০
= ৯০
আবার,
৫/৬ × ১২০ = ১০০
আবার,
৩/৫ × ১২০ = ৭২
এবং ৭/৮ × ১২০ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৩/৫।

আমরা জানি,
৫০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩।
সুতরাং সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য = ৯৭ - ৫৩
= ৪৪

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৫, ৬, ১৮ ও ২০ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৪ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৪ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ এর লসাগু বের করি:
৫ = ১ × ৫
৬ = ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

যেহেতু প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে লসাগু অপেক্ষা ৪ বেশি।

∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৪) জন = ১৮৪ জন।

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট বিজোড় সংখ্যাটি = ক
∴ বড় বিজোড় সংখ্যাটি হবে ক + ২

প্রশ্নমতে,
(ক + ২)^২ - ক^২ = ৪০
⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৪০
⇒ ৪ক + ৪ = ৪০
⇒ ৪ক = ৪০ - ৪
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৩৬/৪
⇒ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি হলো ৯
এবং,
বড় সংখ্যাটি = ক + ২ = ৯ + ২ = ১১

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৩ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে অংশ = ক/৩
পানির নিচে অংশ = ক/২

মোট মাটি ও পানির নিচে অংশ = ক/৩ + ক/২ অংশ
= (২/৬ + ৩/৬)ক
= ৫ক/৬ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬)
= (৬ক - ৫ক)/৬
= ক/৬ অংশ

প্রশ্নমতে, 
ক/৬ = ১০
⇒ ক = ১০ × ৬
∴ ক = ৬০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার।

৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১৫ বছর হলে বর্তমান বয়স ১০ বছর
অর্থাৎ, স্ত্রীর বর্তমান বয়স ১০X৩ = ৩০ বছর
∴ ঐ ব্যাক্তির বর্তমান বয়স ৩০+৫ = ৩৫ বছর

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
= ৩ × ৩
= ৯ ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৬ থেকে যত বড়, ৮৪ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৬ = ৮৪ - ক
⇒ ক + ক = ৮৪ + ৩৬
⇒ ২ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ সংখ্যাটি হলো = ৬০

প্রশ্ন: x² - 2x - 3 এবং x² + 2x - 3 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথমে প্রতিটি বহুপদকে গুণনীয়কে ভাগ করি:
x² - 2x - 3 = x² - 3x + x - 3 = (x - 3)(x + 1) 
x² + 2x - 3 = x² + 3x - x - 3 = (x + 3)(x - 1)

সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজে বের করি:
প্রথমের গুণনীয়ক: (x - 3), (x + 1)
দ্বিতীয়ের গুণনীয়ক: (x + 3), (x - 1)

এখানে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে গ.সা.গু. = 1

∴ গ.সা.গু. = 1 

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, ভাগ ০.৫ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান: 
ভাগফল = ০.৫
ভাজক= ০.৫ × ১০ = ৫

ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল 
= ৫ × ০.৫
= ২.৫

মূল প্রশ্নে শুধু ভাগ লেখা আমরা ভাগ কে ভাগফল হিসেবে ধরে সমাধান করেছি।
ভাগ ০.৫ কে ভাগফল হিসেবে ধরে সমাধান করলে সঠিক উত্তর ২.৫ পাওয়া যায়।
সঠিক উত্তর হবে: ঘ)২.৫

প্রশ্ন: প্রথম ৩০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ৩০ টি বিজোড় সংখ্যা:
১, ৩, ৫, ৭, ৯,…....

আমরা জানি,
প্রথম n টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n^২
এখানে, n = ৩০

∴ যোগফল = ৩০^২ = ৯০০

∴ প্রথম ৩০টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ৯০০ 

সরল করুন: {(৭/১৪) ÷ (৫/১০)} × {(২৪/৬) ÷ (২০/৫)}

সমাধান:
{(৭/১৪) ÷ (৫/১০)} × {(২৪/৬) ÷ (২০/৫)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × (৪ ÷ ৪)
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১
= ১

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার যোগফল ১৮০। প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ, এবং তৃতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যা থেকে ৩০ কম। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক
∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক
∴ তৃতীয় সংখ্যা = ৩ক - ৩০

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + (৩ক - ৩০) = ১৮০
⇒  ক + ৩ক + ৩ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক = ১৮০ + ৩০
⇒ ৭ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭
∴ ক = ৩০

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৩০

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৫, ৫০, এবং ৭৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ২, এবং ৫ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৫, ৫০ ও ৭৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ২, ৫ ভাগশেষ থাকবে।

এখানে, ৩৫ - ৫ = ৩০
৫০ - ২ = ৪৮
৭৭ - ৫ = ৭২

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩০, ৪৮ ও ৭২ এর গ. সা. গু।

৩০, ৪৮ ও ৭২ এর গ. সা. গু = ৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৬

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক রূপে রূপান্তর করি,

৭/৮ = ০.৮৭৫
৫/৭ = ০.৭১৪
১১/১৫ = ০.৭৩৩
১৩/২০ = ০.৬৫

∴ উপরের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ১৩/২০ এর মান সবচেয়ে কম।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ৯ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৩২৪ হলে তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু = ক
ল.সা.গু = ৯ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল
৯ক^২ = ৩২৪
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = ৬

∴ ল.সা.গু = ৯ × ৬ = ৫৪

৩৩/৫০ = ০.৬৬
৮/১১ = ০.৭২৭
৩/৫ = ০.৬
১৩/২৭ = ০.৪৮১৪

২/৩ = .৬৬৭

৮/১১ এর মান ২/৩ এর মানের চেয়েও বড়।

প্রশ্ন: ১১ জন লোকের গড় ওজন ৭০ কেজি । ৯০ কেজি ওজনের একজন লোক চলে গেলে বাকিদের গড় ওজন কত কেজি হবে?

সমাধান:
মোট ১১ জনের গড় ওজন = ৭০ কেজি
অতএব, মোট ওজন = ৭০ × ১১ = ৭৭০ কেজি
৯০ কেজি ওজনের ব্যক্তি চলে গেলে বাকি মোট ওজন = ৭৭০ - ৯০ = ৬৮০ কেজি
অতএব, নতুন গড় ওজন = ৬৮০/১০ = ৬৮ কেজি।

এক অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 1
এবং এক অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = 9
∴ বিয়োগফল = 1 - 9
= -8

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের ল.সা.গু ৫৬০। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৭ক ও ৮ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৫৬ক 

শর্তমতে, 
৫৬ক = ৫৬০ 
বা, ক = ৫৬০/৫৬ 
∴ ক = ১০
সুতরাং ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ এবং ৮ক = ৮ × ১০ = ৮০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৭০ ও ৮০ ।

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৮, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান: 
সমাধান:
সৈন্যদলের সৈন্যদের ৮, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়।
ফলে তাদের সংখ্যা ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য।
এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৮, ১০ ও ১২ এর লসাগু।

৮, ১০ ও ১২ এর লসাগু = (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫  যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়। 

 (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে (২ × ৩ × ৫) বা ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

৮, ১০ ও ১২ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদলের সৈন্যদের সংখ্যা হবে
= (২ × ২) × (২ × ২) × (৩ × ৩) × ৫ × ৫ জন
= ৩৬০০ জন

৬৪৩৫ ÷ ৩ = ২১৪৫
৬৪৩৫ ÷ ৫ = ১২৮৭
৬৪৩৫ ÷ ৯ = ৭১৫
৬৪৩৫ সংখ্যাটি ৩, ৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্য

(a – b)/ab + (b - c)/bc + (c – a)/ca
= (ca – bc + ab – ca + bc – ab)/abc
= 0/abc
= 0