বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৭২ টি কলম এবং ৯৬ টি পেন্সিল এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক কলম ও পেন্সিল থাকে এবং কোনোটি অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
আমরা এমন সর্বাধিক সংখ্যক বাক্স চাই যেখানে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যা হবে।
∴ সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ৭২ এবং ৯৬ গ.সা.গু 

এখন, ৭২ এবং ৯৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 

∴ ৭২ এবং ৯৬ গ সা গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪ 

সুতরাং, সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩০১ থেকে যত বড় ৩৮১ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৩০১ থেকে বড় এবং ৩৮১ থেকে ছোট সংখ্যা 
= (৩০১ + ৩৮১)/ ২
= ৬৮২/২
= ৩৪১ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৪১

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১১ এবং তাদের ল.সা.গু. ৬৯৩। একটি সংখ্যা ৭৭ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১ 
বা, ৭৭ × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১
বা, অপর সংখ্যা = (৬৯৩ × ১১)/৭৭ 
∴  অপর সংখ্যা = ৯৯

মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় x, x + 1
∴ (x + 1)² - x² = 999
বা, x² + 2x + 1 - x² = 999
বা, 2x = 999 - 1
বা, 2x = 998
বা, x = 499
∴ x + 1 = 499 + 1 = 500
যা নির্ণেয় বড় সংখ্যাটি।

প্রশ্ন: ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল কত?

সমাধান:
গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়,
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৩০ = ২ × ৩ × ৫
সাধারণ উৎপাদক ২ এবং ৩
∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

এবং 
ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়, 
৩৬ এবং ৩০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৪ × ৯ × ৫
= ১৮০

∴ গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ৬ × ১৮০
= ১০৮০

অতএব, ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল = ১০৮০

১২ - ৫ = ৭; ১৬ - ৯ = ৭
এখন,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
∴ ১২, ১৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ২ = ৪৮
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা = ৪৮ - ৭ = ৪১

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

এখানে, 
৪৮২০৬৪ সংখ্যাটির শেষ দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ ৬৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।অর্থাৎ (৬৪ ÷ ৪) = ১৬ 
(৪৮২০৬৪ ÷ ৪) = ১২০৫১৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১০, ১২, ১৮ এবং ২৪ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫ = ২^১ × ৫^১
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^১ = ৩৬০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে। 
এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৫ এর ঘাত = ১ (বিজোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ এবং ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩৬০ × ২ × ৫ = ৩৬০০

∴ সর্বনিম্ন ৩৬০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =
 
∴ 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 8 × 16)^1/3
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.) / (হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব গুলো ২, ৩ ও ৬ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর গুলো ৫, ৫ ও ১৫ এর ল.সা.গু. ১৫
∴ গ.সা.গু. = ১/১৫

প্রশ্ন: একটি সম্পত্তির ৭/৮ অংশ ২ পুত্র ও ৩ কন্যার মধ্যে এমনভাবে বণ্টন করা হলো যার ফলে প্রত্যেক কন্যা প্রত্যেক পুত্রের অর্ধেক পায়। প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির কত অংশ পেল?

সমাধান:
মনেকরি,
প্রত্যেক পুত্র পায় 'ক' অংশ।
তাহলে, প্রত্যেক কন্যা পায় = ক/২ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৭/৮
⇒ ২ক + ৩(ক/২) = ৭/৮
⇒ ৪ক + ৩ক = ১৪/৮ = ৭/৪
⇒ ৭ক = ৭/৪
⇒ ক = ৭/(৪ × ৭)
∴ ক = ১/৪

সুতরাং, প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির ১/৪ অংশ পেল।

৬৩ = ৭ × ৯ = ১ম × ২য়
৯৯ = ৯ × ১১ = ২য় × ৩য়
∴ ২য় সংখ্যাটি = ৯।

১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
৫/৮ = ০.৬২৫
১২/১৭ = ০.৭১
১৫/২০ = ০.৭৫
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ হচ্ছে ১১/১৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

n টাকায় পাওয়া যায় m সংখ্যক নারকেল
∴ 1 টাকায় পাওয়া যায় m/n সংখ্যক নারকেল
∴ m টাকায় পাওয়া যায় (m × m)/n = m²/n সংখ্যক নারকেল

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৫/৮ অংশ ৬০ এর সমান?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

শর্ত অনুযায়ী,
ক এর ৫/৮ অংশ = ৬০
⇒ ৫ক/৮ = ৬০
⇒ ৫ক = ৬০ × ৮
⇒ ক = (৬০ × ৮)/৫
∴ ক = ৯৬

∴ সংখ্যাটি = ৯৬

প্রশ্ন: x ও y মানের গড় 9 এবং z = 12 হলে, x, y এবং Z এর মানের গড় কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x ও y এর গড় = 9
অতএব,
⇒ (x + y)/2 = 9
⇒ x + y = 18

তাহলে তিনটি সংখ্যার মোট যোগফল
x + y + z = 18 + 12 = 30

গড় = 30/3 = 10

∴ x, y এবং z এর গড় = 10

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
৩/১০ = ০.৩ (বৃহত্তম), 
৫/১৭ = ০.২৯৪ (বৃহত্তম), 
৪/১৫ = ০.২৬৭ (ক্ষুদ্রত্তম) এবং 
২/৫ = ০.৪ (বৃহত্তম) । 

∴ ৪/১৫ ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম। 

৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৫ এবং ৭
এদের গুণফল = ৫×৭ = ৩৫

এখানে,
প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল বা ব্যবধান ২। ৩, ৪, ৫ এবং ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. = ৬০
সুতরাং নির্ণেয় পূর্ণ সংখ্যা = ৬০ - ২
= ৫৮

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৪ = ১৬ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+১৬ = ২১ টি।

মোট সময় নেয় = ৭ ঘন্টা।
যাত্রা বিরতি = ১ ঘন্টা।
নিট সময় নেয় = ৭ - ১ = ৬ ঘন্টা।
মোট দূরত্ব = ২৭৬ কিলোমিটার।
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = ২৭৬/৬ কিমি/ঘন্টা।
= ৪৬ কিমি/ঘন্টা।

 প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭ এবং x এর গড়মান ৫.৫ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
(৪ + ৬ + ৭ + x)/৪ = ৫.৫
বা, ৪ + ৬ + ৭ + x = ৫.৫ × ৪
বা, ১৭ + x = ২২
বা, x = ২২ - ১৭
∴ x = ৫

প্রশ্ন: বাংলাদেশের রাত ৮টা আন্তর্জাতিক সময় কত?

সমাধান:
আন্তর্জাতিক সময় ২৪ ঘণ্টায় হিসেব করা হয়।
অর্থাৎ, ১২ টার পর ১৩টা, ১৪টা, ..., ২৪টা।

সে অনুযায়ী বাংলাদেশে,
দুপুর ১টা = ১৩ টা,
দুপুর ২টা = ১৪ টা
...
......
রাত ৮টা = ২০ টা।

অতএব, বাংলাদেশের রাত ৮টা, আন্তর্জাতিক সময় অনুযায়ী তখন বাংলাদেশে আন্তর্জাতিক সময় ২০টা।

ধরি ১ম সংখ্যা x
১ম ৫ টি সংখ্যার যোগফল = x + (x + ১) + (x + ২) + .... + (x + ৪) = ৫৫০
∴ x = ১০৮
২য় ৫ টি সংখ্যার যোগফল  = (x+৫)+(x+৬)+.......(x+৯) = ৫x + ৩৫ = ৫ × ১০৮ + ৩৫ = ৫৭৫

৯৭.১৭ ÷ ০.১২৩
= (৯৭১৭ × ১০০০০)/(১২৩ × ১০০)
= ৭৯০০