বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

• ৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১টি।
• ৯৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
• ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।

আমরা জানি,
৬০ থেকে ৯০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৮৯ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১।
সুতরাং সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য = ৮৯ - ৬১
= ২৮

প্রশ্ন: 4.3^. এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
4.333..
= 4 + 0.3333 
= 4 + 1/3
= (12 + 1)/3
= 13/3

প্রশ্ন: m ও n উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 1 = (1 × 3) + 1 = 4  ⇒ জোড়
গ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
ঘ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒  বিজোড়

∴ শুধুমাত্র খ) mn + 1 জোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২ × ৩^২

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ = ৮ × ৯ = ৭২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৭২ × ২ = ১৪৪

∴ সর্বনিম্ন ১৪৪টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৬৫। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, (ক + ২) এবং (ক + ৪)
​
প্রশ্নমতে,
ক+ (ক + ২) + (ক + ৪) = ১৬৫
⇒ ৩ক + ৬ = ১৬৫
⇒ ৩ক = ১৬৫- ৬
⇒ ৩ক = ১৫৯
⇒ ক = ১৫৯/৩
⇒ ক = ৫৩

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (৫৩ + ২) = ৫৫

৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৬০+৩ = ৬৩

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৮৪০
সুতরাং পাঁচটি ঘণ্টা ৮৪০ সেকেন্ড বা (৮৪০ ÷ ৬০) = ১৪ মিনিট পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

এখানে,
2450
= 2 × 5 × 5 × 7 × 7
= 2 × (35 × 35)
∴ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে।

2|2450
5|1225
5|245
7|49
7

ধরি,
সংখ্যাটি x
∴ x - (২৫x/১০০) = ৯০
বা, ৭৫x/১০০ = ৯০
বা, x = (৯০×১০০)/৭৫
বা, x = ১২০

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুণ, যা তার বর্গের থেকে ৫৬ কম।

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক^২ - ক = ৫৬
⇒ ক^২- ক - ৫৬ = 0
⇒ ক^২ - ৮ক + ৭ক - ৫৬ = 0
⇒ ক(ক - ৮) + ৭(ক - ৮) = 0
⇒ (ক - ৮) (ক + ৭) = 0
হয়,
(ক - ৮) = ০
∴ ক = ৮ [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা
(ক + ৭) = ০
⇒ ক = - ৭ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

নির্ণেয় সংখ্যাটি ৮ ।

 প্রশ্ন: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) = কত?

সমাধান: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) 
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৬)
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - ৯
= ৫ × ২ - ৯
= ১০ - ৯
= ১

√2/(√6 - 2) = {√2(√6 + 2)}/{(√6)² - 2^2}
{√2(√6 + 2)}/(6 - 4)
= {√2(√6 + 2)}/2
= (√6.√2 + 2√2)/2
= (√12 + 2√2)/2
= (2√3 + 2√2)/2
= √3 + √2

প্রশ্ন: √২৭ + √৭৫ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, √২৭ + √৭৫
= √(৩ × ৯) + √(৩ × ২৫)
= ৩√৩ + ৫√৩
= ৮√৩

সংখ্যাদ্বয়  x, x +১
∴ ( x +১)^২ - x^২ = ১১
বা,  x^২+২x+১- x^২ = ১১
বা, ২x = ১০
∴ x = ৫
সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যা = ৬

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৮১
বা, (ক^২ + ২ক + ১) - ক^২ = ৮১
বা, ২ক + ১ = ৮১
বা, ২ক = ৮১ - ১
বা, ২ক = ৮০
বা, ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১ = ৪০ + ১ = ৪১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২০ = ৫৮০ - ক
⇒ ক + ক = ৫৮০ + ৪২০
⇒ ২ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০/২
∴ ক = ৫০০

প্রশ্ন: তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। যদি বাতিগুলো সন্ধ্যা ৬টায় একত্রে জ্বলে, তবে পুনরায় কখন একত্রে জ্বলবে?

সমাধান:
তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। 
এখন, 
সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ১২, ১৫ এবং ২০ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ মিনিট
∴ সন্ধ্যা ৬:০০ থেকে ৬০ মিনিট পরে = সন্ধ্যা ৭ : ০০

অতএব, পুনরায় একত্রে জ্বলবে ৭ : ০০ টায়। 

রোমান প্রতীকঃ
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

এখানে,
৪, ১৬, ৩২ লবগুলোর ল.সা.গু. = ৩২
৫, ৫, ৩৫ হরগুলোর গ.সা.গু. = ৫
∴ ভগাংশের ল.সা.গু. =৩২/৫

সাধারণত মূলদ সংখ্যাকে (Rational Number) Q এবং অমূলদ সংখ্যাকে (Irrational Number) I বা Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
এবং বাস্তব সংখ্যার(Real Number) সেট গঠিত হয় মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা নিয়ে। সুতরাং বাস্তব সংখ্যার সেট হবে R = {Q ∪ Q′}.

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

১০০০ কে ৭২ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৭২ = ১৩ (ভাগফল), ১৩ × ৭২ = ৯৩৬
১০০০ - ৯৩৬ = ৬৪ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ৬৪ = ৮

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০৮,
যা ৭২ এর গুণিতক এবং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (-4)² + 2xy + 2y(-4) + 2(-4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: ৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৫৩০
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৯

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৯৫৩০ + ৩০৫৯)/২
= ১২৫৮৯/২
= ৬২৯৪.৫

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কলার সাথে আর কতগুলো কলা যোগ করলে তা ৬, ৭ বা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কলা যোগ করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি।

যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
এখানে,
√27/√48
=3√3/4√3
=3/4 একটি মূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং ল.সা.গু ৫৪ হলে সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৫৪ এবং অনুপাত = ২ : ৩ 

ধরি,
সংখ্যাগুলো হলো ২ক ও ৩ক
∴ ​ল.সা.গু = ৬ক 

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৬ 
⇒ ​ক = ৯ 

∴ একটি সংখ্যা = (২ × ৯) = ১৮ 
​এবং অপর সংখ্যা = (৩ × ৯) = ২৭ 

∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১৮ + ২৭ = ৪৫

২, ৮, ৮ এর গ.সা.গু. = ২, ৫, ৯, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ২/৪৫

ধরি,
সংখ্যাটি =x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x
প্রশ্নমতে,
x/2+6 = 2x -21
x = 18

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার বেতনের ১/৪ অংশ ভাড়া বাবদ এবং ১/৩ অংশ খাদ্য বাবদ খরচ করেন। যদি তার কাছে অবশিষ্ট ১০,০০০ টাকা থাকে, তবে তার মোট বেতনের পরিমাণ কত ছিল?

সমাধান:
ভাড়া ও খাদ্য বাবদ মোট খরচ হয় = ১/৪ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৪)/১২ অংশ
= ৭/১২ অংশ

মনে করি, সম্পূর্ণ বেতন = ১ অংশ
∴ অবশিষ্ট আছে = ১ - ৭/১২ অংশ
= (১২ - ৭)/১২ অংশ
= ৫/১২ অংশ

প্রশ্নমতে,
৫/১২ অংশ = ১০,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ১০,০০০ × ১২/৫ টাকা
= ২০,০০০ × ১২ টাকা
= ২৪,০০০ টাকা

∴ তাঁর সম্পূর্ণ বেতনের পরিমাণ ছিল ২৪,০০০ টাকা।