বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

(a+1/a)² = 3
∴ a+1/a = √3
এখন,
a³+1/a³ = (a+1/a)³ -3.a.1/a. (a+1/a)
= √3³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: a + 1/a = √5 হলে, 3(a² + 1/a²) এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 1/a = √5
আমরা জানি, (a² + 1/a²) = (a + 1/a)² - 2a(1/a)

∴ 3(a² + 1/a²) = 3(a + 1/a)² - 2a(1/a)
= 3{(√5)² - 2}
= 3(5 - 2)
= 3 × 3
= 9 

x - 2)x³ - x²(x² + x + 2
        x³ - 2x²
                x²
         x² - 2x
                2x
           2x - 4
                 4 (ভাগশেষ)

প্রশ্ন: a + 1, a² - 1 এবং a³ + 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a + 1

২য় রাশি = a² - 1
= a² - 1²
= (a + 1)(a - 1)

এবং
৩য় রাশি = a³ + 1
= a³ + 1³
= (a + 1)(a² - a + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (a + 1)

প্রশ্ন: যদি m − n = 5 এবং m² − n² = 25 হয়, তবে (m + n) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m − n = 5
m² − n² = 25

আমরা জানি, 
m² − n² = (m + n) (m - n)
⇒ (m + n) = (m² − n²)/(m - n)
⇒ (m + n) = 25/5 = 5

∴ (m + n) = 5

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং ab = 10 হয়, তাহলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
a + b = 5
ab = 10

এখন
a² + b²
= (a + b)² - 2ab
= (5)² - 2.10
= 25 - 20
= 5

আমরা জানি,
x²+y² = (x-y)² + 2xy
= 14+2×2
= 18

প্রশ্ন: f(x) = x³ + kx² - 6x - 9, k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(3) = 0 

এখন
f(x) = x³ + kx² - 6x - 9 
∴ f(3) = (3)³ + k(3)² - 6 × 3 - 9 = 0 
⇒ 27 + 9k - 18 - 9 = 0 
⇒ 27 + 9k - 27 = 0 
⇒ 9k = 0 
⇒ k = 0/9 
∴ k = 0 

x³ + y³ + 15xy
= (x + y) ³ - 3xy(x + y) + 15xy
= 5³ - 15xy + 15xy
= 5³ = 125

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: x⁵ + (1/x⁵) = 2√5 হলে, {x⁵ - (1/x⁵)}² এর মান বের করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, {x⁵ - (1/x⁵)}² = {x⁵ + (1/x⁵)}² - 4 × x⁵ × 1/x⁵
= (2√5)² - 4
= (4 × 5) - 4
= 20 - 4
= 16

প্রশ্ন: (4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)²(m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³ = ? 

সমাধান:
ধরি,
4m + 2n = a
এবং m - 2n = b

প্রদত্ত রাশি,
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
= (a + b)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 6 হলে, (a²/b²) + (b²/a²) + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6

এখন,
(a²/b²) + (b²/a²) + 1
= (a/b)² + (b/a)²  + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 .(a/b). (b/a) + 1
= {(a/b) + (b/a)}² - 2 + 1
= 6² - 2 + 1
= 36 - 2 + 1
= 35

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
বা, (x + y)² = (4)² + 4 × 60
বা, (x + y)² = 256
বা, x + y = ±√256
∴ x + y = ±16

প্রশ্ন: 9a² + 16b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
9a² + 16b²
= (3a)² + 2 . 3a . 4b + (4b)² - 24ab
= (3a + 4b)² - 24ab

∴ 9a² + 16b² এর সাথে 24ab যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

দেওয়া আছে,
a² - √3a + 1 = 0
বা, a² + 1 = √3a
বা, a + 1/a = √3 [উভয় পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে]
বা, (a + 1/a)³ = (√3)³ [ঘন করে]
বা, a³ + 1/a³ + 3 . a .1/a (a + 1/a) = 3√3
বা, a³ + 1/a³ + 3√3 = 3√3
বা, a³ + 1/a³ = 3√3 - 3√3
সুতরাং a³ + 1/a³ = 0

প্রশ্ন: যদি x² - √20x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √20x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √20x
⇒ x + (1/x) = √20 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

 আমরা জানি, 
{x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}² = (√20)² - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 20 - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 16
⇒ x - (1/x) = √16
∴ x - (1/x) = 4

প্রশ্ন: যদি a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3 হয়, তাহলে a² + b² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3

এখন,
a + b = 1 + √3 + 1 - √3 = 2
এবং ab = (1 + √3)(1 - √3) = 1² - (√3)² = 1 - 3 = - 2

প্রদত্ত রাশি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= 2² - 2(- 2)
= 4 + 4
= 8
∴ a² + b² = 8

প্রশ্ন: a² + b² = 45 এবং ab = 18 হলে, (a - b)² এর মান কত? 

সমাধান:
(a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
= a² + b² - 2ab
= 45 - (2 × 18)
= 45 - 36
= 9

a = √6 + √5  হলে, 1/a = 1/( √6 + √5 ) = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²} = √6 - √5
a - 1/a = 2√5 
∴ ( a⁶ - 1 )/a³ = a³ - 1/a³
= ( a - 1/a )³ + 3 . a . 1/a ( a - 1/a )
= (2√5)³ + 3 × 2√5 = 46√5 

প্রশ্ন: a + b = √10 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √10
a - b = √6

আমরা জানি,
(a + b)² - (a - b)² = 4ab
(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√10)² - (√6)²} × {(√10)² + (√6)²}
= (10 - 6) × (10 + 6)
= 4 × 16
= 64

দেওয়া আছে, a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
(a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 8
(a² - ab + b²) = 8/4 = 2
সুতরাং, (a² + ab + b²) - (a² - ab + b²) = 4 - 2
বা, 2ab = 2
বা, ab = 1

প্রশ্ন:

​সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6

এখন,
(a²/b²) + (b²/a²) + 1
= (a/b)² + (b/a)²  + 1
= {(a/b) + (b/a)}² - 2 .(a/b). (b/a) + 1
= {(a/b) + (b/a)}² - 2 + 1
= 6² - 2 + 1
= 36 - 2 + 1
= 35

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 21 হয়, তবে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং ab = 21

আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 10² - (4 × 21)
= 100 - 84
= 16
⇒ (a - b) = √16
∴ a - b = 4

দেওয়া আছে
x² - √3x + 1 = 0
x(x - √3 + (1/x)) = 0
x + (1/x) = √3

প্রদত্ত রাশি,
x³ + (1/x)³
= (x + (1/x))³ - 3 x.(1/x).(x + (1/x))
=(√3)³ - 3√3 [x + (1/x) = √3 বসিয়ে]
= √3(√3)² - 3√3
=3√3 - 3√3
= 0

x = √3 + √2
1/x =  √3 - √2
∴x+1/x = 2√3 
x³+1/x³ = (x+1/x)³ - 3.x.1/x(x+1/x)
= (2√3)³ -6√3
=24√3 - 6√3
= 18√3

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
17² - 77 = 2(ab + bc + ca)
∴ (ab + bc + ca) = 212/2 = 106

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয়, তবে a/(a² + a - 2) এর মান কত?

সমাধান:
a + (4/a) = 4
⇒ (a² + 4)/a = 4
⇒ a² - 4a + 4 = 0
⇒ a² - 2 · a · 2 + 2² = 0
⇒ (a - 2)² = 0
⇒ a - 2 = 0
∴ a = 2

∴ a/(a² + a - 2) = 2/(2² + 2 - 2) = 2/4 = 1/2