বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: A = x² - xy + y² , B = x² + xy + y² হলে, AB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = x² - xy + y²
B = x² + xy + y²

∴ AB = (x² - xy + y²) × (x² + xy + y²)
= (x² + y² - xy)(x² + y² + xy)
= (x² + y²)² - (xy)²
=(x²)² + 2x²y² + (y²)² - x²y²
= x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²
= x⁴ + x²y² + y⁴ 

ধরি, 1/(x - y) এবং 1/(x+y) এর যোগফলের সাথে p বিয়োগ করলে বিয়োগফল ২ হবে
1/(x - y) + 1/(x + y) -p = 2
⇒ p = 1/(x - y) + 1/(x + y) -2
⇒ p = (2x - 2(x² - y²))/(x² - y²)
⇒ p = (2x/(x² - y² )) - ( 2(x² -y²)/(x² - y²) 
⇒ p = ( 2x/(x² - y²)) - 2

প্রশ্ন: p² = 5 + 2√6 হলে, 1/p এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
p² = 5 + 2√6 
⇒ p² = 3 +  2√6 + 2
⇒ p² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ p² = (√3 + √2)²
∴ p = √3 + √2

এখন, 
 1/p = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/p = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/p = (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
⇒ 1/p = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/p= √3 - √2

প্রশ্ন: যদি x⁴ - 6x² + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x⁴ - 6x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = 6x²
⇒ (x⁴ + 1)/x² = 6
⇒ x² + (1/x²) = 6
⇒ {x - (1/x)}² + 2.x.(1/x) = 6
⇒ {x - (1/x)}² = 6 - 2 
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = ± 2

প্রশ্ন: a² + b² = 74 এবং ab = 35 হলে, a + b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² = 74
ab = 35

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 74 = (a + b)² - (2 × 35)
⇒ (a + b)² = 74 + 70
⇒ (a + b)² = 144
⇒ √(a + b)² = √144
∴ a + b = 12

প্রশ্ন: (3, 2) এবং (5, 4) বিন্দু দুইটির দুরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 (3, 2) এবং (5, 4)।

আমরা জানি, 
দূরত্ব, d =√(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

এখানে,
x₁ = 3, y₁ = 2, x₂ = 5, y₂ = 4

∴ d =√{(5 - 3)² + (4 - 2)²}
= √{(2)² + (2)²}
= √(4 + 4)
= √8
= 2√2

(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4.x.1/x
= 5² + 4
(x + 1/x)² = 29
∴ x + 1/x = √29

∴ x² - 1/x²
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= √29 × 5
= 5√29

প্রশ্ন: যদি p + q = √13 এবং p - q = √5 হয়, তবে pq এর মান কত?

সমাধান:
p + q = √13
p - q = √5

আমরা জানি,
pq = {(p + q)/2}² - {(p - q)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: x⁴ - 2x² + 1 = 0 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x⁴ - 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² - 2.x².1 + 1² = 0
⇒ (x² - 1)² = 0
⇒ x² - 1 = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = 1

প্রশ্ন: 9a³b²c², 12a²bc ও 15ab³c³ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
9, 12, 15 এর গ.সা.গু. = 3
a³, a², a এর গ.সা.গু = a
b², b, b³ এর গ.সা.গু = b
c², c, c³ এর গ.সা.গু = c

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 3abc

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে a² + (1/a²) এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a² + (1/a²) = {a + (1/a)}² - 2. a. (1/a) 
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন: যদি p - q = 4 এবং pq = 45, তবে p² - q² = ?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​p - q = 4 এবং pq = 45
​
​আমরা জানি,
​(p + q)² = (p - q)² + 4pq
⇒ ​(p + q)² ​= (4)² + 4 × 45
⇒ ​​(p + q)² = 16 + 180
⇒ ​​(p + q)² = 196
⇒ ​p + q = √196 = 14
∴ ​​p + q = 14​
​
​এখন,
​ p² - q² = (p + q)(p - q) = 14 × 4 = 56

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
এবং 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

∴ প্রদত্ত রাশি = 16ab(a² + b²)
= 2. 4ab. 2(a² + b²)
= 2.{(a + b)²- (a - b)²} . {(a + b)² + (a - b)²}
= 2.(7 - 5) . (7 + 5)
= 2. 2. 12
= 48

সুতরাং, 16ab(a² + b²) = 48

প্রশ্ন: যদি x - (1/x)= p হলে, c/x(x - p) এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/x(x - p)
= c/1 
= c

প্রশ্ন: x + y = 9 এবং x − y = 5 হলে xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 9  এবং 
x − y = 5

আমরা জানি 
xy  = {(x + y)² − (x − y)²}/4
⇒ xy = {(9)² − (5)²}/4
⇒ xy = (81 − 25)/4
⇒ xy = 56/4
∴ xy = 14

প্রশ্ন: x² + y² + z² = 29, xy + yz + zx = 26 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² + y² + z² = 29
এবং xy + yz + zx = 26

প্রদত্ত রাশি = (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)²
= x² + 2x × 2y + (2y)² + y² + 2y × 2z + (2z)² + z²+ 2z × 2x + (2x)²
= x²  + 4xy + 4y² + y²  + 4yz + 4z² + z²  + 4xz + 4x²
= 5x² + 5y² + 5z² + 4xy + 4yz + 4xz
= 5(x²  + y²  + z² ) + 4(xy + yz + zx)
= (5 × 29) + (4 × 26)
= 145 + 104
= 249

প্রশ্ন: a + b + c = 6, ab + bc + ca = 11 হলে, a² + b² + c² = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11

আমরা জানি, 
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
= (6)² - (2 × 11)
= 36 - 22
= 14

প্রশ্ন: x - 3y = 4 হলে, x³ - 27y³ - 36xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - 3y = 4

এখন,
x³ - 27y³ - 36xy
= x³ - (3y)³ - 36xy
= (x - 3y)³ + 3 . x . 3y(x - 3y) - 36xy
= 4³ + 9xy × 4 - 36xy
= 64 + 36xy - 36xy
= 64

প্রশ্ন: x² = 11 + 2√30 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = 11 + 2√30
⇒ x² = 6 + 2√30  + 5
⇒ x² = (√6)² + 2.√6.√5 + (√5)²
⇒ x² = (√6 + √5)²
∴ x = √6 + √5

এখন,  
1/x
= 1/(√6 + √5)
= (√6 - √5)/(√6 + √5) (√6 - √5)
=  (√6 - √5)/ {(√6)² - (√5)²}
= (√6 - √5)/(6 - 5)
= √6 - √5
∴ 1/x = √6 - √5

x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
∴ x = 1

এখন, x - 1/x³ - 1
= (1-1)/(1-1)
= 0/0
= অসংজ্ঞায়িত

আমরা জানি,
(a+b)² = (a-b)²+4ab
= 2² + 4×3
= 16
∴ a+b = 4
এখন,
a² - b² = (a+b)(a-b)
= 4×2
= 8

দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং ab = 12
= 6 × 2
= 3 × 4
= 1 × 12
∵ 3 + 4 = 7
∴ a = 3, b = 4 (ধরে নেই)
∴ 1/a² + 1/b² = 1/3² + 1/4²
= 1/9 + 1/16
= (16 + 9)/144
= 25/144

প্রশ্ন: (2x + 3y) (4x - 5y) এর দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ -

সমাধান:
আমরা জানি,
ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²

∴ ‍(2x + 3y) (4x - 5y)
= {(2x + 3y + 4x - 5y)/2}² - {(2x + 3y - 4x + 5y)/2}²
= {(6x - 2y)/2}² - {(8y - 2x)/2}²
= (3x - y)² - (4y - x)²

x³ + x²y = x²(x + y)
x²y + xy² = xy(x + y)

∴ রাশিদ্বয়ের গসাগু = x(x + y)

প্রশ্ন: যদি x² + 1/x² = 7 হয়, তবে x³ + 1/x³ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 1/x² = 7
⇒ (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 7
⇒ (x + 1/x)² = 7 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 9
⇒ (x + 1/x) = √9 = 3
∴ (x + 1/x) = 3

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . 1/x (x + 1/x)
= 3³ - 3 . 3
= 27 - 9
= 18

Question: If a = 0.202 , then the value of

is:

Solution:

সঠিক উত্তর 1.202 হবে,
কারণ (+) যোগ চিহ্ন দিয়ে বের করা রাশির উত্তর নেই।

a² + 1/a² = 11
বা, (a - 1/a)² + 2a.1/a = 11
বা, (a - 1/a)² = 11 - 2 = 9
বা, (a - 1/a) = 3

We know,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
Or, 9² = a² + b² + c² + 2×31
∴ a² + b² + c² = 81 - 62 = 19

x² + y² = 4
x + y = 2
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 2² = 4 + 2xy
∴ xy = 0
প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

প্রশ্ন: যদি (p + q)⁴ - (p - q)⁴ = kpq(p² + q²) হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(p + q)⁴ - (p - q)⁴ = kpq(p² + q²)

∴ (p + q)⁴ - (p - q)⁴
= {(p + q)²}² - {(p - q)²}²
= {(p + q)² + (p - q)²} {(p + q)² - (p - q)²}
= {(p² + 2pq + q²) + (p² - 2pq + q²)} {(p² + 2pq + q²) - (p² - 2pq + q²)
= (p² + 2pq + q² + p² - 2pq + q²) (p² + 2pq + q² - p² + 2pq - q²)
= 2(p² + q²) × 4pq
= 8pq(p² + q²)
∴ 8pq(p² + q²) = kpq(p² + q²)
উভয়পাশ তুলনা করে পাই, k = 8

সুতরাং, k = 8